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3.2　基本不等式
第1课时　基本不等式
【学习目标】
1.掌握基本不等式,从代数结构、几何直观、数量关系、实际意义等角度分析、理解基本不等式.
2.初步运用基本不等式解决简单的证明问题,发展数学运算素养和逻辑推理素养,培养发现问题、提出问题的意识与能力.
◆ 知识点　基本不等式
1.基本不等式:≥(a≥0,b≥0),当且仅当　　　　时,等号成立.
2.算术平均值与几何平均值:设a≥0,b≥0,则 　　　称为a,b的算术平均值,　　　 称为a,b的几何平均值.
3.基本不等式又称为均值不等式,也可以表述为:两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.当且仅当a,b两数相等时两者相等.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若ab≥0,则≥. (　 )
(2)当x≠0时,有x+≥4. (　 )
◆ 探究点一　正确理解基本不等式
例1 (1)(多选题)下列说法正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2
B.若a>0,b>0,则ab≤
C.对任意的a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2均成立
D.若a≠0,则a+≥2=2
(2)设0A.aB.a<<C.a<D.变式 (多选题)[2024·石家庄联邦外国语中学高一期中] 下列不等式中恒成立的是 (　 )
A.a2+1>2a B.≥2
C.x2+≥1 D.≤2
[素养小结]
基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化,当题目中不等号的一端是“和式”而另一端是“积式”时,就可以考虑利用基本不等式来解决.在应用基本不等式的过程中要注意“一正、二定、三相等”.
◆ 探究点二　利用基本不等式求最值
例2 (1)已知函数y=9x+-2,当x>0时,(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y有最大值4 B.y有最小值4
C.y有最小值8 D.y有最大值8
(2)若x>2,则x+的最小值为 (　 )
A.2 B.3
C.4 D.5
变式 (1)已知x>0,则4-2x-的最大值为(　 )
A.-2 B.-1
C.0 D.2
(2)已知x>0,则的最小值为 (　 )
A.5 B.3
C.-5 D.-3
[素养小结]
利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时,需满足(1)a,b必须都是正数(一正);(2)当a+b为定值时,可以知道ab的最大值,当ab为定值时,可以知道a+b的最小值(二定);(3)当且仅当a=b时,等号成立(三相等).
◆ 探究点三　利用基本不等式比较大小
例3 已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,试比较+,,4的大小.
变式 已知a>1,则,,三个数的大小关系是 (　 )
A.<<
B.<<
C.<<
D.<<
[素养小结]
应用基本不等式比较大小,一般有两种思路:(1)结合基本不等式,确定每个式子的范围,用不等式的传递性比较大小;(2)观察待比较式子的结构特征,合理选取基本不等式或其变式,利用不等式的性质比较大小.
◆ 探究点四　利用基本不等式证明不等式
[提问] 要证明不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx,你会联想到哪些不等式 通过怎样的方式求证呢


例4 设a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c.
变式 [2024·福建将乐一中高一月考] 已知a>0,b>0,且a+b=2,证明:+≤2.
[素养小结]
要证明的不等式具有一边或两边是三个式子相加或相乘的形式时,通常先用基本不等式两两结合,再用同向不等式相加或相乘的性质来证明.
拓展 已知a,b,c都是正实数,且a+b+c=1.
求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.
3.2　基本不等式
第1课时　基本不等式
【课前预习】
知识点
1.a=b　2.　
诊断分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)在基本不等式中,要求a,b都是非负数,故(1)错误.
(2)没有考虑x的正负,当x>0时,x+≥2=4(当且仅当x=2时,等号成立);当x<0时,x+=-≤-2=-4(当且仅当x=-2时,等号成立),故(2)错误.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)AB　(2)B　[解析] (1)由基本不等式可知A,B正确;当a≥0,b≥0时,a+b≥2成立(当且仅当a=b时,等号成立),故C错误;而D中,当a<0时,该不等式不成立.故选AB.
(2)因为b>a>0,所以>,ab>a2,2b>b+a,所以b>,>a,所以a<<变式　BC　[解析] 对于A,当a=1时, a2+1=2a=2,故A错误.对于B,由题意可知 x≠0,所以 |x|>0,>0,所以=|x|+≥2=2,当且仅当|x|=,即x=±1时取等号,故B正确.对于C,因为x2+1>0,所以x2+=x2+1+-1≥2-1=1,当且仅当x2+1=,即x=0时取等号,故C正确.对于D,当a=1,b=4时,==>2,故D错误.故选BC.
探究点二
例2　(1)B　(2)C　[解析] (1)由x>0,得y=9x+-2≥2-2=4,当且仅当9x=,即x=时,等号成立,所以当x>0时,函数y=9x+-2有最小值4.故选B.
(2)由x>2,得x-2>0,所以x+=x-2++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时,等号成立,所以x+的最小值为4.故选C.
变式　(1)C　(2)B　[解析] (1)因为x>0,所以4-2x-=4-≤4-2=4-4=0,当且仅当2x=,即x=1时,等号成立,所以4-2x-的最大值是0.故选C.
(2)由x>0,得=x+-1≥2-1=3,当且仅当x=,即x=2时等号成立,所以的最小值为3,故选B.
探究点三
例3　解:∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≤=,当且仅当a=b=时,等号成立.
∴+==≥4,==-ab≥-=,即≤4.
故+≥4≥.
变式　C　[解析] 易知当a,b是正数时,≤≤(当且仅当a=b时,等号同时成立),令b=1,得≤≤(当且仅当a=1时,等号同时成立).又a>1,所以<<,故选C.
探究点四
提问 解:联想到不等式x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,z2+x2≥2zx(当且仅当x=y=z时,三式中的等号同时成立),将它们相加再化简即可.
例4　证明:∵a,b,c都是正数,∴,,也都是正数,
∴+≥2c,+≥2a,+≥2b,当且仅当a=b=c时,三式中的等号同时成立,三式相加得2≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.
变式　证明:因为×≤,当且仅当a=1时等号成立,×≤,当且仅当b=1时等号成立,
所以×+×≤+=4,当且仅当a=b=1时,等号成立,则(+)≤4,即+≤2,故得证.
拓展　证明:∵a+b+c=1,
∴(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b).
又∵a,b,c都是正实数,∴≥>0,≥>0,≥>0,当且仅当a=b=c=时,三式中的等号同时成立.
∴≥abc,
∴(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.

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