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第2课时　基本不等式的简单应用
【学习目标】
1.能够运用基本不等式变形求最值.
2.掌握基本不等式在实际问题中的应用.
◆ 知识点一　基本不等式与最大(小)值
当x,y均为正数时,下面的命题均成立:
(1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值;
(2)若xy=p(p为定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最小值2.
拓展:当a>0,b>0时,≤≤≤,当且仅当a=b时,等号同时成立.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于实数a,b,若ab为定值,则a+b有最小值. (　 )
(2)若x>2,则x+的最小值为2. (　 )
◆ 知识点二　基本不等式在实际问题中的应用
用基本不等式解决实际问题时的常用思路
(1)理解题意,设出变量,设变量时一般把需要求最大值或最小值的变量定义为函数;
(2)建立相应的函数关系式,把实际问题转化、抽象为函数的最大值或最小值问题;
(3)根据已知变量的范围,求出函数的最大值或最小值;
(4)结合实际意义求出正确的答案,回答实际问题.
◆ 探究点一　利用基本不等式的变形求最值
例1 (1)若x>3,则x+的最小值为　　　　.
(2)若x>0,y>0,且+=1,则x+2y的最小值是　　　　.
(3)设0(4)设x>1,则y=的最小值为　　　　.
变式 (1)已知x<,则y=4x-2+的最大值为　　　　.
(2)已知x>0,y>0,且+=1,则xy的最小值为　　　　.
[素养小结]
(1)利用基本不等式求最值时,各项必须为正数,小于0的项可以通过取相反数或绝对值变为大于0的项后再求解;(2)等号能否成立是一个关键步骤,要认真验证,不能省略;(3)主要方法有常数代换法、凑配法、分离变量法、多元化一元法等.　　　　　 　　　　　 　　　　　
拓展 [2024·黑龙江龙东五地高一期中] 已知a>0,b>0,2a+b=ab,则+的最小值为 (　 )
A.2 B.3 C.2 D.4
◆ 探究点二　基本不等式在实际问题中的应用
例2 某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境,计划建一个八边形的休闲区域,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的“十字形”地域,如图所示.现计划在正方形MNPO上建一花坛,造价为4200元/m2,在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪,造价为210元/m2,再在四个空角上铺草坪,造价为80元/m2.设总造价为S元,AD边的长为x m.
(1)试建立S关于x的函数关系式;
(2)至少要投入多少元才能建造这个休闲区域
变式 [2024·陕西榆林府谷中学高一月考] 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD,如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH=2EF),宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2.为了美观,要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm(宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10 cm),设EF=x cm.
(1)当x=60时,求海报纸(矩形ABCD)的周长;
(2)为节约成本,应如何选择海报纸的尺寸,可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)
[素养小结]
在应用基本不等式解决实际问题时,应注意以下两点:
(1)从题意中要确定使得基本不等式中等号成立的条件,或者从构建的函数模型中直接求出等号成立的条件;
(2)所求出的最值必须符合实际情况.
第2课时　基本不等式的简单应用
【课前预习】
知识点一
诊断分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)要求a,b都为正实数且等号能取到,才会有最值,故(1)错误;(2)取不到等号,错误.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)+3　(2)8　(3)　(4)2　[解析] (1)(凑配法)因为x>3,所以2x-6>0,所以x+=x-3++3≥2+3=+3,当且仅当x-3=,即x=3+时,等号成立,故x+的最小值为+3.
(2)(常数代换法)因为x>0,y>0,且+=1,所以x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8,当且仅当即时,等号成立,所以x+2y的最小值为8.
(3)(凑配法)∵0(4)(分离变量法) ∵x>1, ∴ y===x-1+≥2=2, 当且仅当x-1=,即x=+1时等号成立,∴y=的最小值为2.
变式　(1)1　(2)36　[解析] (1)因为x<,所以5-4x>0,所以y=4x-2+=-+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立.故y=4x-2+的最大值为1.
(2)因为x>0,y>0,所以+=≥==(当且仅当y=9x时,等号成立),又因为+=1,所以≤1,则xy≥36,当且仅当x=2,y=18时,等号成立,即xy的最小值为36.
拓展　A　[解析] (多元化一元法)由a>0,b>0,2a+b=ab,得(a-1)(b-2)=2,∴b-2=,∴b=>0,故a-1>0.又a-1=,∴+= +(a-1)≥2,当且仅当=a-1,即a=2,b=4时等号成立,即+的最小值为2,故选A.
探究点二
例2　解:(1)设DO边的长为y m,则x2+4xy=200,即y=,∴S=4200x2+210×4xy+80×4×y2=38 000+4000x2+(0(2)S=38 000+4000x2+≥38 000+2=118 000,当且仅当4000x2=,即x=时,等号成立,故Smin=118 000.
因此,至少要投入118 000元才能建造这个休闲区域.
变式　解:(1)设阴影部分直角三角形中EF边上的高为y cm,
则阴影部分的面积S=6×xy=3xy=36 000,所以xy=12 000,又x=60,所以y=200.
由图可知AD=y+20=220(cm),AB=3x+50=230(cm),
故海报纸的周长为2×(220+230)=900(cm).
(2)由(1)知xy=12 000,x>0,y>0,
则S矩形ABCD=(3x+50)(y+20)=3xy+60x+50y+1000≥3xy+2+1000=49 000,
当且仅当6x=5y,即x=100,y=120时等号成立,
此时,AB=350 cm,AD=140 cm.
故选择长、宽分别为350 cm,140 cm的矩形海报纸,可使用纸量最少.

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