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4.2　一元二次不等式及其解法
【学习目标】
1.能够从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,了解一元二次不等式的现实意义,发展数学建模素养.
2.探索并归纳一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系,进一步完成一元二次函数的再认识.
3.通过类比一元一次不等式的求解,从具体实例探究一元二次不等式的解法,感受从特殊到一般的研究方法及函数、方程、不等式的基本思想,感悟函数的基本观点,总结求解一元二次不等式的步骤,发展数学运算素养.
◆ 知识点一　一元二次不等式
1.定义:一般地,形如ax2+bx+c>0,或ax2+bx+c<0,或ax2+bx+c≥0,或ax2+bx+c≤0(其中,x为未知数,a,b,c均为常数,且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式.
2.一元二次不等式的解集:使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.
◆ 知识点二　三个“二次”之间的关系
Δ>0 Δ=0 Δ<0
一元二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两个相异实根x1,x2(x1ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1【诊断分析】 1.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为x1,x2(x10(a≠0)的解集一定为{x|xx2}吗
2.一元二次函数与一元二次不等式有什么关系
◆ 探究点一　解一元二次不等式
例1 解下列不等式:
(1)-2x2+x+1<0;
(2)3x2+5≤3x;
(3)-2x2+5x+7≥0.
变式 (1)[2024·广东珠海金砖四校高一期中] 不等式(x+1)(2-x)>0的解集是 (　 )
A.{x|x<-1}
B.{x|x<-1或x>2}
C.{x|-1D.{x|x>2}
(2)[2024·江苏徐州高级中学高一期中] 不等式x(x+2)[素养小结]
解一元二次不等式时,若二次项系数为负数,则可先将二次项系数化为正数,再求对应方程的根,并根据根的情况画出对应函数的图象,观察图象写出解集.
◆ 探究点二　解含参数的一元二次不等式
例2 解关于x的不等式ax2-x>0(a∈R).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式 (多选题)[2024·安徽六安二中高一期中] 对于给定实数a,关于x的一元二次不等式(x-a)(x+1)<0的解集可能为 (　 )
A. B.(-1,a) C.(a,-1) D.(a,+∞)
[素养小结]
含参数的一元二次不等式的解法
◆ 探究点三　三个“二次”之间的关系及应用
例3 若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为,求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集.
变式 若将例3中的“”改为“”,其他条件不变,如何求解
[素养小结]
(1)在三个“二次”中,二次函数是主体,讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程或一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图象及性质来解决问题,关系如下:
4.2　一元二次不等式及其解法
【课前预习】
知识点二
诊断分析
1.解:不一定.当a>0时,不等式的解集为{x|xx2};当a<0时,不等式的解集为{x|x12.解:(1)从“形”的方面看:一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x轴上方的图象上的所有点的横坐标组成的集合是一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集;一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x轴下方的图象上的所有点的横坐标组成的集合是一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.
(2)从“数”的方面看:当一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值大于0时,相应的自变量的值组成的集合是一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集;当一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值小于0时,相应的自变量的值组成的集合是一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)由-2x2+x+1<0得2x2-x-1>0,
因为方程2x2-x-1=0的Δ=1-4×2×(-1)>0,
所以该方程有两个不相等的实数根,解得x1=-,x2=1,
画出函数y=2x2-x-1的图象,由图可知原不等式的解集为.
(2)由3x2+5≤3x,得3x2-3x+5≤0,
令3x2-3x+5=0,可知Δ=9-4×3×5=-51<0,
又函数y=3x2-3x+5的图象开口向上,
所以易知3x2-3x+5≤0的解集为 ,
即3x2+5≤3x的解集为 .
(3)由-2x2+5x+7≥0可得2x2-5x-7≤0,
因为方程2x2-5x-7=0的Δ=25-4×2×(-7)>0,
所以该方程有两个不相等的实数根,解得x1=-1,x2=,
结合一元二次函数y=2x2-5x-7的图象得原不等式的解集为.
变式　(1)C　(2)　[解析] (1)不等式(x+1)(2-x)>0可化为(x+1)(x-2)<0,解得-1(2)不等式x(x+2)探究点二
例2　解:①当a=0时,不等式即为-x>0,解得x<0,
此时不等式的解集为(-∞,0).
②当a≠0时,方程ax2-x=0有两个不相等的实根,分别为0和.
当a>0时,>0,此时不等式的解集为(-∞,0)∪;当a<0时,<0,此时不等式的解集为.
综上所述,当a>0时,不等式的解集为(-∞,0)∪;当a=0时,不等式的解集为(-∞,0);
当a<0时,不等式的解集为.
变式　ABC　[解析] 一元二次不等式(x-a)(x+1)<0对应的一元二次方程为(x-a)(x+1)=0,两根为a和-1.当a>-1时,一元二次不等式(x-a)(x+1)<0的解集为(-1,a);当a=-1时,不等式(x-a)(x+1)<0可化为(x+1)2<0,无解,则一元二次不等式(x-a)(x+1)<0的解集为 ;当a<-1时,一元二次不等式(x-a)(x+1)<0的解集为(a,-1).故选ABC.
探究点三
例3　解:由题意知可得
代入不等式cx2-bx+a>0,
得ax2+ax+a>0(a<0),
即x2+x+1<0,化简得x2+5x+6<0,解得-3变式　解:由题意知可得
代入不等式cx2-bx+a>0,
得ax2+ax+a>0(a>0),
即x2+x+1>0,化简得x2+5x+6>0,
解得x>-2或x<-3.
所以所求不等式的解集为{x|x>-2,或x<-3}.

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