资源简介

4.3　一元二次不等式的应用
【学习目标】
1.能够从实际生产和生活中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.
2.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.
3.体会化归与转化思想的应用,加强数学建模素养的培养.
◆ 知识点　一元二次不等式的应用
利用不等式解决实际问题的一般步骤:
(1)选取合适的字母表示题中的未知数;
(2)由题中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组);
(3)求解所列出的不等式(组);
(4)结合题目的实际意义确定答案.
◆ 探究点一　一元二次不等式恒成立问题
例1 (1)若对于一切实数x,不等式mx2-mx-1<0恒成立,则m的取值范围是　　　　.
(2)若对任意的x∈[1,3],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,求m的取值范围.
变式 (1)当10恒成立,则实数m的取值范围为　　　　. 　　　　　 　　　　　 　　　　　
(2)已知二次函数y=x2+mx-1,若对任意x∈[m,m+1],都有y<0,则实数m的取值范围是 (　 )
A. B.
C. D.
[素养小结]
(1)对于一元二次不等式在R上恒成立的问题,通常转化为不等式组来求解.一般地,一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在R上恒成立的条件是一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立的条件是若所给不等式未指明为一元二次不等式,还应注意对二次项的系数进行讨论,需验证二次项系数为0时是否满足题意.
(2)对于给定区间的恒成立问题,通常转化为最值问题来求解.
◆ 探究点二　一元二次不等式的实际应用
例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品,并按收购金额的10%纳税(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担.当地政府为了鼓励农贸公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(0(1)写出降低征税率后税收y(万元)与x的函数关系式;
(2)要使此项税收在征税率调节后不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.
变式 (多选题)[2024·四川合江马街中学高一月考] 某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏,若单价每提高1元,则日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400)的销售收入,则这批台灯的单价x(单位:元)的取值可以是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.18 B.15 C.16 D.20
[素养小结]
求解数学应用题,需要过三关.
(1)事理关:通过阅读、理解,找出关键词、句,确定条件是什么,要解决什么问题.
(2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学符号语言,用数学式子表达数学关系.
(3)数理关:构建相应的数学模型,并求解模型,得到问题的答案.
拓展 为配制一种药液,进行了二次稀释,先在容积为V升的桶中盛满纯药液,第一次将桶中药液倒出10升后用水补满,搅拌均匀,第二次倒出8升后用水补满,若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%,则V的取值范围为　　　　.
4.3　一元二次不等式的应用
【课中探究】
探究点一
例1　(1)-4解得-4(2)解:方法一:要使mx2-mx-1<-m+5对x∈[1,3]恒成立,需满足m+m-6<0对x∈[1,3]恒成立.
令y=m+m-6,x∈[1,3],
则当m>0时,y在[1,3]上随自变量x的增大而增大,所以ymax=7m-6<0,所以0当m=0时,-6<0恒成立;
当m<0时,y在[1,3]上随自变量x的增大而减小,
所以ymax=m-6<0,所以m<6,所以m<0.
综上所述,m<.
方法二:当x∈[1,3]时,mx2-mx-1<-m+5恒成立,
即当x∈[1,3]时,m(x2 -x+1)-6<0恒成立.
因为x2-x+1=+>0,
所以当x∈[1,3]时,m<恒成立.
易知函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.
变式　(1)[-4,+∞)　(2)D　[解析] (1)令y=x2+mx+4,易知函数y=x2+mx+4的图象的对称轴为直线x=-.当-≤1,即m≥-2时,1+m+4≥0,解得m≥-5,所以m≥-2.当1<-<2,即-4(2)根据题意需满足解得-探究点二
例2　解:(1)降低征税率后的征税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担,收购总金额为200a(1+2x%)万元,
依题意得y=200a(1+2x%)(10-x)%=a(10-x)(0(2)原计划税收为200a×10%=20a(万元).
依题意得a(10-x)≥20a×83.2%,化简得x2+40x-84≤0,解得-42≤x≤2.
因为0故x的取值范围是0变式　ABC　[解析] 由题意知,为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400)的销售收入,需满足x[30-2(x-15)]>400,整理得x2-30x+200<0,解得10拓展　10≤V≤40　[解析] 第一次操作后,桶中剩下的纯药液为(V-10)升,第二次操作后,桶中剩下的纯药液为升.由题意可知V-10-×8≤V·60%,化简得V2-45V+200≤0,解得5≤V≤40,因为V≥10,所以10≤V≤40.

展开更多......

收起↑