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§4　一元二次函数与一元二次不等式
4.1　一元二次函数
【学习目标】
1.通过具体实例研究一元二次函数的图象和性质,得到一般性结论,培养归纳、抽象能力.
2.掌握一元二次函数的概念、表达式、图象与性质,会用配方法解决有关问题,能熟练地求一元二次函数的最值.
◆ 知识点一　一元二次函数
定义:一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫作x的一元二次函数.
结构特征:(1)等号左边是因变量,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是　　　　;
(2)二次项系数不为　　　　.
【诊断分析】 一元二次函数的解析式有哪几种形式
◆ 知识点二　一元二次函数的图象及变换
1.抛物线的定义:通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.
2.一元二次函数图象的平移
一元二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以由y=ax2的图象经过向左(或向右)平移　　　　个单位长度,再向上(或向下)平移　　　　个单位长度得到.且有以下规律:“h正右移,h负左移”,“k正上移,k负下移”.
◆ 知识点三　一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
函数 一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
图象 a>0 a<0
(续表)
函数 一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
性质 图象开口　　　　,并向上无限延伸 图象开口　　　　,并向下无限延伸
对称轴方程为　　　　　, 顶点坐标为　　　　
在区间上,函数值y随自变量x的增大而　　　　;在区间上,函数值y随自变量x的增大而　　　　 在区间上,函数值y随自变量x的增大而　　　　　;在区间上,函数值y随自变量x的增大而　　　　
当x=-时,y取得最小值　　　 当x=-时,y取得最大值　　　
【诊断分析】 1.函数y=x2-4x+3,x∈[1,4]的最小值为　　　　.
2.如何判断一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点个数
◆ 探究点一　一元二次函数解析式的求解
例1 已知一元二次函数的图象经过点(2,-1),(-1,-1),且函数的最大值为8,求该一元二次函数的解析式.
变式 已知一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过原点,图象关于直线x=1对称且函数的最小值为-1,求该一元二次函数的解析式.
[素养小结]
一元二次函数解析式的求法
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0).
当已知抛物线上的任意三点时,通常将函数的解析式设为一般式,然后列出三元一次方程组并求解.
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,且a≠0).
当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点的坐标时,通常将函数的解析式设为顶点式.
(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2是常数,且a≠0).当已知抛物线与x轴的交点的横坐标时,通常将函数的解析式设为交点式.
◆ 探究点二　一元二次函数的图象及变换
例2 (1)设abc>0,则一元二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是 (　 )
A B C D
(2)为了得到函数y=-2x2+4x+6的图象,只需把函数y=-2x2的图象 (　 )
A.向左平移1个单位长度,再向上平移8个单位长度
B.向右平移1个单位长度,再向上平移8个单位长度
C.向左平移1个单位长度,再向下平移8个单位长度
D.向右平移1个单位长度,再向下平移8个单位长度
变式 将函数y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,便得到函数y=x2-2x+1的图象,求b,c的值.
[素养小结]
一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象在平移过程中,a不变,只是h或k发生变化,故对于一元二次函数图象的平移问题,关键是准确地求出函数图象的顶点坐标.
◆ 探究点三　一元二次函数性质的应用
例3 [2024·北京五十五中高一期中] (1)求函数y=x2+2x-3,x∈[-2,3]的最大值和最小值;
(2)若函数y=x2+ax-3在[1,3]上的最小值为1,求实数a的值.
变式 已知函数y=x2-2x+4在区间[0,m](m>0)上的最大值为4,最小值为3,则实数m的取值范围是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1≤m≤2 B.0C.0[素养小结]
因为一元二次函数的最值与其图象的对称轴有关,所以求解一元二次函数的最值问题时,需要利用配方法,确定一元二次函数图象的对称轴的位置,从而确定当自变量x为何值时,一元二次函数取得最值.
§4　一元二次函数与一元二次不等式
4.1　一元二次函数
【课前预习】
知识点一
2　0
诊断分析
解:一元二次函数的解析式有以下三种形式.
一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);
顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0);
交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
任意一个一元二次函数的解析式都有一般式和顶点式,但不一定有交点式.
知识点二
2.|h|　|k|　
知识点三
向上　向下　x=-　　减小　增大　增大　减小　　
诊断分析
1.-1　[解析] 因为y=x2-4x+3=(x-2)2-1,x∈[1,4],所以当x=2时,函数取得最小值-1.
2.解:若b2-4ac>0,则函数图象与x轴有两个交点;若b2-4ac=0,则函数图象与x轴有一个交点;若b2-4ac<0,则函数图象与x轴没有交点.
【课中探究】
探究点一
例1　解:方法一:利用一元二次函数的一般式.
根据题意可设y=ax2+bx+c(a≠0),
由题意得可得
故所求一元二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7.
方法二:利用一元二次函数的交点式.
根据题意可设y+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),
即y=ax2-ax-2a-1(a≠0).
∵函数有最大值8,∴=8,可得a=-4.
故所求一元二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7.
方法三:利用一元二次函数的顶点式.
根据题意可设y=a(x+m)2+n(a≠0).
∵函数图象经过点(2,-1),(-1,-1),∴函数图象的对称轴为直线x==,∴m=-,
又函数的最大值为8,∴n=8,∴y=a+8.
把点(2,-1)的坐标代入,得a+8=-1,可得a=-4,∴y=-4+8=-4x2+4x+7.
故所求一元二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7.
变式　解:由题可得解得
所以该一元二次函数的解析式为y=x2-2x.
探究点二
例2　(1)D　(2)B　[解析] (1)由A中的图象知,a<0,c<0,-<0,所以b<0,与abc>0矛盾;由B中的图象知,a<0,c>0,->0,所以b>0,与abc>0矛盾;由C中的图象知,a>0,c<0,-<0,所以b>0,与abc>0矛盾;由D中的图象知,a>0,c<0,->0,所以b<0,abc>0成立.故选D.
(2)y=-2x2+4x+6可化为y=-2(x-1)2+8,故将y=-2x2的图象向右平移1个单位长度,再向上平移8个单位长度即可得到y=-2(x-1)2+8的图象.故选B.
变式　解:∵y=x2-2x+1可变形为y=(x-1)2,
∴函数y=x2-2x+1的图象的顶点坐标为(1,0).
根据题意,把此函数的图象反向平移,可得到函数y=x2+bx+c的图象,即把函数y=x2-2x+1的图象向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,就可得到函数y=x2+bx+c的图象,此时点(1,0)平移至点(3,-3)处,
∴函数y=x2+bx+c的图象的顶点坐标是(3,-3),
则解析式为y=(x-3)2-3=x2-6x+6,
对照y=x2+bx+c,得b=-6,c=6.
探究点三
例3　解:(1)函数y=x2+2x-3的图象开口向上,且图象的对称轴为直线x=-1,
又x∈[-2,3],所以当x=-1时,y=x2+2x-3取得最小值-4,当x=3时,y=x2+2x-3取得最大值12.
所以函数y=x2+2x-3,x∈[-2,3]的最大值为12,最小值为-4.
(2)y=x2+ax-3的图象的对称轴为直线x=-,图象开口向上.
①当-≤1,即a≥-2时,函数y=x2+ax-3在x=1处取得最小值1,即a-2=1,得a=3,符合题意;
②当-≥3,即a≤-6时,函数y=x2+ax-3在x=3处取得最小值1,即3a+6=1,得a=-,与a≤-6矛盾,舍去;
③当1<-<3,即-6综上可得a=3.
变式　A　[解析] 由y=x2-2x+4可知其图象的对称轴为直线x=1,图象开口向上,所以易知ymin=1-2+4=3,所以m≥1.令x2-2x+4=4,解得x=0或x=2,易知1≤m≤2.

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