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§2　函数
2.1　函数概念
【学习目标】
1.理解用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用.
2.了解构成函数的要素.
3.会求一些简单函数的定义域和值域.
4.能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域.
◆ 知识点　函数的概念
1.定义
给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系f,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有　　　　确定的数y和它对应,那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A.
其中集合A称为函数的定义域,x称为　　　,与x值对应的y值称为　　　　,集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域.
2.函数的构成要素:　　　　、　　　　和　　　　.
3.同一个函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数是同一个函数.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的定义域和值域一定是无限集合. (　 )
(2)根据函数的定义,定义域中的一个x可以对应着不同的y. (　 )
(3)f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量. (　 )
2.如何理解函数符号“y=f(x)”表示“y是x的函数”
◆ 探究点一　函数定义的应用
例1 (1)(多选题)以下从M到N的对应关系表示函数的是 (　 )
A.M=R,N=R,f:x→y=
B.M=R,N={y|y≥0},f:x→y=|x|
C.M={x|x>0},N=R,f:x→y=±
D.M={x|x≥2,x∈N*},N={y|y≥0,y∈N*},f:x→y=x2-2x+2
(2)[2024·安徽淮南高一期中] 设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是 (　 )
A B C D
(3)下列各组函数表示同一个函数的是 (　 )
A.f(x)=,g(x)=x-1
B.f(x)=·,g(x)=
C.f(x)=,g(x)=x
D.f(x)=|x+2|,g(t)=
[素养小结]
判断两个函数是否为同一个函数,一定要看定义域和对应关系是否全部相同.定义域和值域分别相同的两个函数不一定是同一个函数,如果对应关系不同,那么这两个函数一定不是同一个函数.
◆ 探究点二　求函数的定义域
例2 求函数y=++(x+1)0的定义域.
变式 函数f(x)=的定义域为　　　　　　　.
[素养小结]
求函数定义域的方法及注意问题:
(1)使函数有意义的条件一般有:①分式的分母不为0;②偶次根式的被开方数非负;③对于y=x0,要求x≠0.
(2)不对解析式化简变形,以免定义域变化.
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各个式子都有意义的公共部分的集合.
拓展 (1)已知函数y=f(x)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.[-1,4]
C. D.[-5,5]
(2)已知函数f(2x-1)的定义域为(-1,9),则函数f(3x+1)的定义域为 (　 )
A. B.
C. D.(-2,28)
◆ 探究点三　函数的求值问题
例3 已知函数f(x)=x2+x-1.
(1)求f(2),f[f(2)],f(a+1);
(2)若f(x)=5,求x的值.
变式 (1)已知f(x)=则f+f等于 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1 B. C.2 D.
(2)已知函数f(x)满足f(x)=则f[f(5)]=　　　　.
[素养小结]
函数求值问题的解题思路.
(1)已知函数的解析式求函数值,只需将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值,当自变量的值为含有字母的代数式时,要将代数式作为一个整体代入解析式求解.
(2)已知函数解析式,求对应函数值的自变量的值,只需将函数值代入解析式,建立关于自变量的方程即可求解,注意函数定义域对自变量取值的限制.
◆ 探究点四　求函数的值域
例4 求下列函数的值域.
(1)y=;
(2)f(x)=-x2+2x+1,x∈[0,3];
(3)f(x)=x-;
(4)y=.
变式 求下列函数的值域.
(1)y=-2;
(2)y=;
(3)y=x-;
(4)y=;
(5)y=(x>1).
[素养小结]
求函数值域的方法有观察法、图象法、分离常数法、换元法、判别式法等,对于一些常用的方法应熟练掌握.
§2　函数
2.1　函数概念
【课前预习】
知识点
1.唯一　自变量　函数值
2.定义域　对应关系　值域
诊断分析
1.(1)×　(2)×　(3)√
2.解:①f(x)表示与x对应的函数值,而不是f乘x.
②这里x是自变量.
③f是对应关系,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述.
④在研究函数问题时,我们除了常用f(x)表示函数外,还经常会用到g(x),F(x),G(x)等符号来表示.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)BD　(2)B　(3)D　[解析] (1)对于A选项,0∈M,但0没有倒数,即在N中找不到与0对应的数,该对应关系不表示函数,故A项错误;对于B选项,任意实数的绝对值都是非负数,即集合M中的每一个元素在集合N中都有唯一确定的元素与之对应,该对应关系表示函数,故B项正确;对于C选项,每个正数的平方根都有两个,即集合M中的每个元素在集合N中都有两个元素与之对应,该对应关系不表示函数,故C项错误;对于D选项,y=x2-2x+2=(x-1)2+1,当x≥2,x∈N*时,可得y≥2,y∈N*,且集合M中的每个x在集合N中都有唯一的y值与之对应,该对应关系表示函数,故D项正确.故选BD.
(2)对于A,对于集合M中的元素x,当1(3)对于A选项,f(x)的定义域为{x|x≠-1},g(x)的定义域为R,两个函数的定义域不同,故不是同一个函数.对于B选项,f(x)的定义域为{x|x≥2},g(x)的定义域为{x|x≥2,或 x≤-2},两个函数的定义域不同,故不是同一个函数.对于C选项,f(x)==|x|,g(x)=x,两个函数的定义域都为R,但对应关系不同,故不是同一个函数.对于D选项,两个函数的定义域都为R,对应关系相同,故是同一个函数.故选D.
探究点二
例2　解:要使函数有意义,需满足解得x≤1且x≠0且x≠-1,所以函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,0)∪(0,1].
变式　(-∞,1)∪(1,3]　[解析] 由题得解得x<1或1拓展　(1)C　(2)B　[解析] (1)令-2≤2x-1≤3,解得-≤x≤2,∴y=f(2x-1)的定义域是.故选C.
(2)因为函数f(2x-1)的定义域为(-1,9),即-1探究点三
例3　解:(1)f(2)=22+2-1=5,f[f(2)]=f(5)=52+5-1=29,f(a+1)=(a+1)2+(a+1)-1=a2+3a+1.
(2)由题意得x2+x-1=5,即x2+x-6=0,解得x=2或x=-3.
变式　(1)B　(2)1　[解析] (1)由题意知f=2×=,f=-+1=,所以f+f=.故选B.
(2)因为函数f(x)=所以f(5)=f(3)=f(1)=12=1,所以f[f(5)]=f(1)=12=1.
探究点四
例4　解:(1)要使函数y=有意义,需满足16-x2≥0,解得-4≤x≤4,∴该函数的定义域为[-4,4].
易知当x=0时,函数y取得最大值4,当x=±4时,函数y取得最小值0,故函数y的值域为[0,4].
(2)f(x)=-x2+2x+1=-(x-1)2+2,
∵x∈[0,3],∴x-1∈[-1,2],
∴-(x-1)2+2∈[-2,2],
即函数f(x)=-x2+2x+1,x∈[0,3]的值域为[-2,2].
(3)f(x)=x-=- ,
∵≥0,∴-≥-,
即函数f(x)=x-的值域为.
(4)y===1-,
∵x2+1≥1,∴∈(0,4],∴-∈[-4,0),
则1-∈[-3,1),∴y=的值域为[-3,1).
变式　解:(1)因为≥0,所以-2≥-2,故函数y=-2的值域为[-2,+∞).
(2)因为y=1-,且x2-x+1=+≥,所以0<≤,所以-≤y<1,故函数的值域为.
(3)令=t,则t≥0,且x=,所以y=-t=-(t+1)2+1,由t≥0,可得y≤,故函数的值域为.
(4)y====
=-,其中x≠1,当x=1时,==-.又因为≠0,所以y≠.故函数的值域为∪∪.
(5)因为x>1,所以x-1>0,
所以y===x-1++2≥2+2=8,当且仅当x-1=,
即x=4时,取等号,此时y取得最小值8.故函数的值域为[8,+∞).

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