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2.2　函数的表示法
【学习目标】
1.掌握函数常用的三种表示法.
2.能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,了解函数不同表示法的优缺点.
3.理解分段函数及其表示法,会处理某些简单的分段函数问题.
4.培养数形结合与分类讨论的数学思想,激发学习热情.
◆ 知识点　函数的表示法
函数的 表示 方法 解析法 一个函数的对应关系可以用　　　的解析表达式(简称解析式)表示出来,这种方法称为解析法
列表法 用　　　　的形式表示两个变量之间的函数关系的方法,称为列表法
图象法 用　　　　把两个变量间的函数关系表示出来的方法,称为图象法
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个函数都可以用图象法表示. (　 )
(2)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线. (　 )
(3)函数f(x)=x+1与g(x)=x+1(x∈N)的图象相同. (　 )
◆ 探究点一　函数的解析式
例1 根据下列条件,求f(x)的解析式.
(1)已知f(x)满足f(x+1)=x2+4x+1;
(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x;
(3)已知f(x)满足f()=x-1;
(4)已知f(x)满足2f+f(x)=x(x≠0).
变式 (1)已知f(-1)=2x-8+11,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　　　　.
(2)(多选题)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]=81x+80,则f(x)的解析式可能为 (　 )
A.f(x)=9x+8
B.f(x)=-9x-8
C.f(x)=9x+10
D.f(x)=-9x-10
[素养小结]
求解函数解析式的几种常用方法:
(1)待定系数法,如果已知函数的类型,通常用待定系数法;
(2)换元法或配凑法,已知复合函数f[g(x)]的表达式可用换元法,当表达式较简单时也可用配凑法;
(3)消参法,若已知抽象函数f(x)的表达式,则可用解方程组消参的方法求解f(x).
拓展 [2024·四川自贡高一期中] 已知f(x)+2f(-x)=9x+2,则f(x)的解析式为　　　　.
◆ 探究点二　作函数图象
例2 作出下列函数的图象.
(1)y=x+1(x∈Z);
(2)y=x2-2x(x∈[0,3)).
变式 已知函数f(x)=
(1)求f,f的值;
(2)在给出的平面直角坐标系(如图)中,画出f(x)的图象;
(3)由(2)中作出的图象指出函数f(x)的值域.
[素养小结]
作函数图象时通常需通过列表、描点、连线三个步骤来完成,具体作图时需注意四点:(1)先确定函数的定义域,要在定义域内作图;(2)图象是实线还是虚线,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;(3)作分段函数的图象时,应根据不同取值范围上的解析式分别作出;(4)函数图象可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.
◆ 探究点三　列表法表示函数
例3 (1)已知函数f(x),g(x)分别由下表给出,则
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
①f[g(1)]=　　　　;
②若g[f(x)]=2,则x=　　　　.
(2)已知函数f(x)由下表给出,
x x<1921 1921≤ x<1949 1949≤ x<2021 2021≤ x<2049 x≥2049
f(x) 1 2 3 4 5
则f[1949f(2022)]的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 B.3 C.4 D.5
[素养小结]
用列表法表示函数时不用计算函数值,看表就知道函数值,列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系.不是所有函数都可以用列表法表示,如函数f(x)=x.
◆ 探究点四　求分段函数的解析式
[提问] 如何求分段函数的解析式


例4 某市出租汽车收费标准如下:路程在3 km以内(含3 km)按起步价11元收费,超过3 km的路程按2.4元/km收费.
(1)试写出收费额y(单位:元)关于路程x(单位:km)的函数解析式;
(2)若王先生某次乘车付车费35元,求此次出租车行驶的路程.
变式 已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是　　　　　　　　.
[素养小结]
求实际问题中的分段函数,应结合实际问题的意义进行分段,求出自变量在各个取值范围内的对应关系(解析式或图象)即可.
2.2　函数的表示法
【课前预习】
知识点
自变量　表格　图象
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)有些函数是不能画出图象的,如f(x)=
(2)函数图象可以是连续不断的曲线,也可以是直线、折线、孤立的点等.如f(x)=的图象就不是连续不断的曲线.
(3)两函数的定义域不同,故图象不同.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)f(x+1)=x2+4x+1=(x+1)2+2(x+1)-2,
所以f(x)=x2+2x-2.
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),因为f(0)=1,所以c=1,
因为f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2x,整理得2ax+a+b=2x,
所以解得所以f(x)=x2-x+1.
(3)令t=,则t≥0,所以x=t2-1,则f(t)=t2-1-1=t2-2,t≥0,所以f(x)=x2-2(x≥0).
(4)在2f+f(x)=x(x≠0)①中,用替换x得2f(x)+f=(x≠0)②,
由②得f=-2f(x)③,
将③代入①得f(x)=-(x≠0).
变式　(1)f(x)=2x2-4x+5(x≥-1)　(2)AD
[解析] (1)设t=-1,则t≥-1,=t+1,所以f(t)=2(t+1)2-8(t+1)+11=2t2-4t+5,所以f(x)的解析式为f(x)=2x2-4x+5(x≥-1).
(2)设f(x)=kx+b(k≠0),则f[f(x)]=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=81x+80,所以解得或则f(x)=9x+8或f(x)=-9x-10.故选AD.
拓展　f(x)=-9x+　[解析] 因为f(x)+2f(-x)=9x+2,所以f(-x)+2f(x)=-9x+2,两式联立解得f(x)=-9x+.
探究点二
例2　解:(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=x+1上,其部分图象如图①所示.
(2)因为0≤x<3,所以这个函数的图象如图②所示.
变式　解:(1)因为f(x)=
所以f=+2×=-, f=-+2×=.
(2)f(x)的图象如图所示.
(3)由f(x)的图象可知函数f(x)的值域为[-1,1].
探究点三
例3　(1)①1　②1　(2)D　[解析] (1)①由表知g(1)=3,∴f[g(1)]=f(3)=1.
②由表知g(2)=2,∵g[f(x)]=2,∴f(x)=2,由表知x=1.
(2)∵f(2022)=4,∴f[1949f(2022)]=f(1949×4)=5.故选D.
探究点四
提问 解:根据不同“段”上的自变量,分段求出解析式.
例4　解:(1)由题意知当0≤x≤3时,y=11,当x>3时,y=11+2.4(x-3)=2.4x+3.8,
因此y关于x的函数解析式为y=
(2)由(1)可知y=由y=35,
得2.4x+3.8=35,解得x=13,
即此次出租车行驶的路程为13 km.
变式　f(x)=　[解析] 函数f(x)的图象由两条线段组成,结合图象知f(x)=

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