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§3 函数的单调性和最值
第1课时 函数的单调性和最值
【学习目标】
1.利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间.
2.掌握函数的单调性的定义,会用定义法证明函数的单调性.
3.熟悉常见函数(绝对值函数、二次函数、分段函数等)的单调性及简单应用.
4.通过函数单调性的概念的学习和简单的应用,体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法,提高数学运算和直观想象能力.
◆ 知识点一 函数单调性的定义
1.增函数
设函数y=f(x)的定义域是D.如果对于任意的x1,x2∈D,当x12.减函数
设函数y=f(x)的定义域是D.如果对于任意的x1,x2∈D,当x1【诊断分析】 判断函数f(x)=x2在区间[-1,1]上的单调性时,因为-1,0∈[-1,1],f(-1)>f(0),所以函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,这种叙述对吗
◆ 知识点二 函数的单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有 .此时,区间I为函数y=f(x)的 .
【诊断分析】 1.如果函数f(x)在定义域上的两个区间D1,D2上都单调递减,那么f(x)的单调递减区间能写成D1∪D2吗
2.任何函数在定义域上都具有单调性吗
◆ 知识点三 函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 设函数y=f(x)的定义域为D,存在实数M,对所有的x∈D,都有
f(x) M f(x) M
存在x0∈D,使得
结论 称M为函数y=f(x)的最大值 称M为函数y=f(x)的最小值
几何 意义 f(x)图象上最高点的 f(x)图象上最低点的
【诊断分析】 若函数f(x)=x2满足f(x)≥-1恒成立,则此函数的最小值就是-1吗
◆ 探究点一 函数单调性定义的理解
例1 若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(2)A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.单调性无法确定
变式 下列说法正确的是 ( )
A.在区间A上存在x1,x2,当x1B.所有的函数都具有单调性
C.函数f(x)=-在整个定义域上是增函数
D.若函数f(x)在R上单调,且f(0)>f(2),则函数f(x)在R上是减函数
[素养小结]
函数单调性的定义中x1,x2有三个特征:一是x1,x2属于同一区间;二是x1,x2是该区间内的任意两个实数,判断单调性时不能用两个特殊值代替;三是x1,x2有大小之分,通常规定x1◆ 探究点二 利用图象求函数的单调区间、最值
例2-1 函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象如图所示,求函数的单调区间及最值.
例2-2 已知函数f(x)=
(1)画出函数f(x)的图象;
(2)求函数f(x)的单调区间、最大值.
变式 (1)如图所示是函数f(x)=x+的大致图象,则函数f(x)的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .
(2)[2024·福建厦门高一期中] 设函数f(x)=x|x-2|.
①画出函数f(x)的图象;
②写出函数f(x)的单调递增区间;
③求f(x)在区间[1,a](a>1)上的最小值g(a).
[素养小结]
1.图象法求函数单调区间的关键:
(1)作图:准确作出函数图象.
(2)结论:上升图象对应单调递增区间,下降图象对应单调递减区间.
2.利用图象求函数最值,关键是在图象上找到最高点和最低点的纵坐标,从而确定函数的最大值与最小值.
拓展 [2024·湖北孝感高一期中] 设函数f(x)=x+2,g(x)=x2.用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为M(x)=max{f(x),g(x)},则M(x)的最小值是 .
◆ 探究点三 一元二次函数的单调性与最值
例3 已知函数f(x)=2x2+mx-1,m为实数.
(1)若m=4,求f(x)在[-2,1]上的取值范围;
(2)若x∈[-1,1],求函数f(x)的最小值.
变式 已知函数f(x)=-x2+mx-m.
(1)若函数f(x)的值域是(-∞,0],求实数m的值.
(2)若函数f(x)在[-1,0]上单调递减,求实数m的取值范围.
(3)是否存在实数m,使得f(x)在[2,3]上的取值范围是[2,3] 若存在,求出实数m的值;若不存在,说明理由.
[素养小结]
对于不含参数的一元二次函数的最值问题,只需确定二次函数图象的对称轴,由函数的图象确定最高点、最低点,代入相应的自变量的值求出最值.
而对于含参数的一元二次函数的最值问题,通常需根据所给区间及图象的对称轴位置进行分类讨论,即常见的有“动轴动区间”“动轴定区间”“定轴动区间”三种类型.
以一元二次函数f(x)的图象开口向上、对称轴为直线x=m为例,在区间[a,b]上,
①最小值:f(x)min=
②最大值:f(x)max=
§3 函数的单调性和最值
第1课时 函数的单调性和最值
【课前预习】
知识点一
1.f(x1)f(x2)
诊断分析
解:不对.判断函数在区间上的单调性时不能取特殊值,而应在此区间上任选两数x1,x2,且有大小之分,再比较f(x1)与f(x2)的大小,从而判断单调性.
知识点二
单调性 单调区间
诊断分析
1.解:不能.单调区间不能取并集,如y=在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上也单调递减,但不能说y=在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数.
2.解:函数的单调性是指函数在定义域上或定义域的某个区间上的变化趋势,是单调递增或单调递减的一种定性描述,它是函数的局部性质.有的函数不具有单调性,例如函数y=再如函数y=x+1(x∈Z),它的定义域不能用区间表示,也不能说它在定义域上具有单调性.
知识点三
≤ ≥ f(x0)=M 纵坐标 纵坐标
诊断分析
解:不是.虽然x2≥-1恒成立,但在函数定义域内找不到一个x0的值使f(x0)=-1,根据最小值的定义可知题中结论不成立.
【课中探究】
探究点一
例1 D [解析] 函数单调性的定义突出了x1,x2 的任意性,仅凭区间内有限个函数值的大小关系是不能判断函数的单调性的,排除A,B,C.故选D.
变式 D [解析] 根据单调性的定义可知A错误;不是所有的函数都具有单调性,如函数f(x)=1,B错误;对于C,f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递增,但不能说在整个定义域上是增函数,如-1<2,而f(-1)>f(2),故C错误;对于D,由函数f(x)在R上单调,即f(x)在R上是增函数或减函数,且0<2,f(0)>f(2),可以判断函数f(x)在R上是减函数,D正确.故选D.
探究点二
例2-1 解:由题图可知,函数的单调递增区间是[-1.5,3],[5,6],单调递减区间是[-4,-1.5],[3,5],[6,7].
当x=3时,f(x)取得最大值3,当x=-1.5时,f(x)取得最小值-2.
故函数的最大值为3,最小值为-2.
例2-2 解:(1)函数f(x)的图象由三段构成,每段都为一次函数图象的一部分,作出f(x)的图象如图所示.
(2)由函数f(x)的图象可知,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1],单调递减区间为(1,+∞).当x=1时,函数f(x)取得最大值6,
∴函数f(x)的最大值为6.
变式 (1)(-∞,-1],[1,+∞) [-1,0),(0,1] [解析] 观察图象可知f(x)的单调递增区间为(-∞,-1],[1,+∞),单调递减区间为[-1,0),(0,1].
(2)解:①f(x)=x|x-2|=
画出函数f(x)的图象如图所示.
②由图可知,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1),(2,+∞).
③由图知,当1此时g(a)=f(a)=2a-a2;当a>2时,g(a)=f(2)=0.
所以g(a)=
拓展 1 [解析] 令x2≥x+2,解得x≥2或x≤-1,则M(x)=
作出M(x)的图象,如图中实线所示.由图可知,函数M(x)的最小值为M(-1)=1.
探究点三
例3 解:(1)当m=4时,f(x)=2x2+4x-1,其图象开口向上,对称轴为直线x=-1,
所以f(x)在[-2,-1]上单调递减,在(-1,1]上单调递增.
当x∈[-2,1]时,f(x)min=f(-1)=-3,f(x)max=f(1)=5,所以f(x)在[-2,1]上的取值范围为[-3,5].
(2)函数f(x)=2x2+mx-1的图象开口向上,对称轴为直线x=-.
当-≤-1,即m≥4时,函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,所以f(x)min=f(-1)=1-m;
当-≥1,即m≤-4时,函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以f(x)min=f(1)=1+m;当-1<-<1,即-4综上,当x∈[-1,1]时,f(x)min=
变式 解:(1)∵函数f(x)=-x2+mx-m的值域是(-∞,0],且二次函数f(x)的图象是抛物线,其开口向下,
∴方程f(x)=0有且只有一个解,即Δ=m2-4m=0,
解得m=0或m=4,∴m的值为0或4.
(2)函数f(x)=-x2+mx-m的图象是抛物线,其开口向下,对称轴是直线x=,要使f(x)在[-1,0]上单调递减,应满足≤-1,∴m≤-2,∴m的取值范围是(-∞,-2].
(3)假设存在实数m,使得f(x)在[2,3]上的取值范围是[2,3].当≤2,即m≤4时,f(x)在[2,3]上单调递减,
则即无解;
当≥3,即m≥6时,f(x)在[2,3]上单调递增,
则即解得m=6;
当2<<3,即4且f(x)在x=处取得最大值,
由f=-+m·-m=3,
解得m=-2或m=6(不满足4
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