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第2课时　函数的单调性和最值的应用
【学习目标】
1.理解函数单调性的实质,会用函数单调性解决相关问题.
2.理解复合函数的单调性,并会证明和判断.
3.熟悉单调性在研究函数问题中的应用.
◆ 知识点一　判断函数单调性的方法
1.用定义法判断并证明
(1)取值,即设x1,x2是所给区间内的　　　　两个值,且x1(2)作差变形,即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子.
(3)判号,即确定f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,要进行　　　　.
(4)定论,即根据定义得出结论.
2.用函数单调性的运算性质判断
设C为常数.
(1)函数y=f(x)与函数y=f(x)+C的单调性相同.
(2)当C>0时,函数y=f(x)与函数y=Cf(x)的单调性相同;当C<0时,函数y=f(x)与函数y=Cf(x)的单调性相反.
(3)当f(x)恒为正值或恒为负值时,函数y=f(x)与函数y=的单调性相反.
(4)在f(x),g(x)的公共单调区间上,有如下结论:
y=f(x) y=g(x) y=f(x)+g(x) y=f(x)-g(x)
单调递增 单调递增 单调递增 不能确定单调性
单调递增 单调递减 不能确定单调性 单调递增
单调递减 单调递减 单调递减 不能确定单调性
单调递减 单调递增 不能确定单调性 单调递减
◆ 知识点二　函数最值与单调性的联系
(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)在区间[a,b]上的最大值为　　　　,最小值为　　　　.
(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则f(x)在区间[a,b]上的最大值为　　　　,最小值为　　　　.
◆ 探究点一　用定义证明或判定函数的单调性
例1 判断函数f(x)=x-在区间(-1,+∞)上的单调性并用定义证明.
变式 判断函数f(x)=-x3+1在R上的单调性并用定义证明.
[素养小结]
(1)利用定义证明函数单调性时,要严格按照定义的步骤进行,同时要注意取值的任意性.(2)利用定义证明函数单调性的关键是将f(x2)-f(x1)(或f(x1)-f(x2))进行恒等变形,转化成易于判断其正负的形式.当原函数是多项式函数时,通常作差后进行因式分解.当原函数是分式函数时,作差后往往先进行通分,然后对分子进行因式分解.当原函数是二次函数时,作差后若不能分解因式,则需考虑配方.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.
拓展 讨论函数f(x)=(a≠0)在区间(-1,1)上的单调性.
◆ 探究点二　利用单调性求函数的最值
例2 已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间(-1,+∞)上的单调性并用定义证明;
(2)求f(x)在区间[2,4]上的最大值与最小值.
变式 已知f(x)=.
(1)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明;
(2)若f(x)在[m,n]上的取值范围为,求n-m的取值范围.
[素养小结]
利用单调性求函数的最大(小)值只需先判断函数的单调性,再利用单调性求出最大(小)值即可,但求最值时勿忘先看定义域.对于函数在闭区间上的最值,不能不判断单调性而直接将区间两端点值代入求解.
◆ 探究点三　利用函数单调性比较大小、解不等式
例3 (1)已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且当10恒成立.设a=f,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.bC.b(2)若函数f(x)在R上是减函数,且f(m-2)>f(-m),则实数m的取值范围是 (　 )
A.(1,+∞) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,1)
变式 (1)若函数f(x)在R上为减函数,a>0,则下列不等式一定成立的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.f(a2)C.f(a)(2)已知函数f(x)=-x|x|,则满足f(2+5m)A.
B.
C.∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪
[素养小结]
1.已知函数的单调性比较函数值的大小,只需先比较相应的自变量的大小,再利用单调性得出函数值的大小关系,这当中有时需结合函数的图象先转化再进行比较.
2.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.
第2课时　函数的单调性和最值的应用
【课前预习】
知识点一
1.(1)任意　(3)分类讨论
知识点二
(1)f(b)　f(a)　(2)f(a)　f(b)
【课中探究】
探究点一
例1　解:f(x)=x-在区间(-1,+∞)上单调递增.证明如下:任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=x1--x2+=x1-x2+-=x1-x2+=(x1-x2),
因为x1又x1,x2∈(-1,+∞),所以1+>0,
则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)<0,
即f(x1)变式　解:函数f(x)在R上是减函数.证明如下:
任取x1,x2∈R,且x1因为x10,
所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在R上是减函数.
拓展　解:任取x1,x2,且-1则f(x1)-f(x2)=-=
=.
∵-1∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(-1)(-1)>0.
当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数f(x)在(-1,1)上单调递增.
探究点二
例2　解:(1)函数f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增.证明如下:任取x1,x2,且-1则f(x1)-f(x2)=-=.
因为-10,x2+1>0,x1-x2<0,
所以f(x1)(2)由(1)知f(x)在区间[2,4]上单调递增,
所以当x∈[2,4]时,f(x)max=f(4)==,f(x)min=f(2)==.
变式　解:(1)当x>0时,f(x)==≤(当且仅当x=2时取等号),则函数f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.证明如下:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1=.
当00,
又+4>0,+4>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)在(0,2)上单调递增;
当2又+4>0,+4>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(2,+∞)上单调递减.
(2)因为f(x)在[m,n]上的取值范围为,
所以由(1)知0令=,即x2-5x+4=0,解得x=1或x=4.
当m=1时,2≤n≤4,则有n-m∈[1,3],
当n=4时,1≤m≤2,则有n-m∈[2,3],
综上所述,n-m的取值范围为[1,3].
探究点三
例3　(1)A　(2)D　[解析] (1)因为当10恒成立,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增.又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=f=f,又1<2<<3,所以f(2)(2)由函数f(x)在R上是减函数,f(m-2)>f(-m),得m-2<-m,解得m<1,所以实数m的取值范围是(-∞,1).故选D.
变式　(1)D　(2)A　[解析] (1)对于A,a2-a=a(a-1),当a>1时,a2>a,所以f(a2)1时,a>,所以f(a)0,所以2a>a,则f(a)>f(2a),即C一定不成立;对于D,a2-(a-1)=a2-a+1=+>0,则a2>a-1,所以f(a2)(2)函数f(x)=-x|x|=根据二次函数的性质,可得f(x)在(-∞,0),[0,+∞)上均单调递减,又f(x)的定义域为R,当x=0时,-x2=x2,所以函数f(x)在R上为减函数.由f(2+5m)2m2-1,即(2m+1)(m-3)<0,解得-

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