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第2课时　函数性质的应用
【学习目标】
掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性),能应用函数的基本性质解决一些问题.
◆ 知识点　函数的奇偶性、单调性
(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.
(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值;奇函数在关于原点对称的区间上的最大(小)值与最小(大)值互为相反数.
(3)奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,研究的是函数值随自变量的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,研究的是函数图象在整个定义域上的对称性.
◆ 探究点一　利用函数的奇偶性求函数的解析式　　　　　 　　　　　 　　　　　
例1 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2-x+1,求函数f(x)的解析式.
(2)已知函数f(x)(x∈R)满足y=f(x)-x2-3为奇函数,函数y=f(x)+2x为偶函数,求f(x)的解析式.
变式 (1)已知函数f(x)为奇函数,函数g(x)为偶函数,f(x)+g(x)=x2-x+1,则f(2)=(　 )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
(2)将例1(1)中的“奇函数”改为“偶函数”,其他条件不变,求当x>0时,函数f(x)的解析式.
[素养小结]
利用奇偶性求函数解析式的思路:(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就设在哪个区间上.(2)利用f(x)在已知区间上的解析式,写出f(-x).(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(x),从而得到f(x)的解析式.
◆ 探究点二　利用函数的单调性、奇偶性解不等式
例2 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若对于任意不相等的实数x1,x2∈[0,+∞),不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,求不等式f(2x)>f(x-1)的解集.
变式 f(x)是定义在[-4,2b]上的偶函数,且在[-2b,0]上单调递增,则f(x+1)≤f(-1)的解集为 (　 )
A.[-2,0]
B.[-5,3]
C.[-5,-2]∪[0,3]
D.(-∞,-2]∪[0,+∞)
[素养小结]
利用函数的单调性、奇偶性解不等式,首先应利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式,然后再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性一致,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解.
◆ 探究点三　利用函数的单调性、奇偶性比较大小
例3 f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递减,则 (　 )
A.f(-2)B.f(1)C.f(3)D.f(3)变式 (多选题)[2024·河南省实验中学高一期中] 已知函数f(x)是定义在[-5,5]上的奇函数,f(x)在[0,5]上单调,且f(-4)A.f(4)[素养小结]
利用函数的单调性、奇偶性比较大小时,当自变量在同一单调区间上时,直接利用函数的单调性比较大小;当自变量不在同一单调区间上时,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.
◆ 探究点四　函数图象的对称性的判断
例4 已知函数g(x)=,证明:函数g(x)的图象关于点(2,-4)对称.
变式 (多选题)已知函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数,则下列说法正确的是 (　 )
A.f(x)=x3-3x2的图象关于点(1,2)对称
B.若f(x+1)+f(1-x)=2,则f(x)的图象关于点(1,1)对称
C.函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是y=f(x+a)为偶函数
D.若f(x)=x2-2x+5,则y=f(x-1)为偶函数
[素养小结]
(1)要证明函数f(x)的图象关于直线x=h对称,只需证明对定义域内的任意x,都有f(h-x)=f(h+x).
(2)要证明函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,只需证明对定义域内的任意x,都有f(a+x)+f(a-x)=2b.
拓展 若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点对称,且当x∈[0,1]时,f(x)=-x+,则f(π)= (　 )
A.-π B.-π
C.π- D.π-
第2课时　函数性质的应用
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)当x>0时,-x<0,所以f(-x)=(-x)2+x+1=x2+x+1.
因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=0,且f(-x)=-f(x),
所以当x>0时,-f(x)=x2+x+1,
即f(x)=-x2-x-1.
故函数f(x)的解析式为f(x)=
(2)∵y=f(x)-x2-3为奇函数,
∴f(-x)-(-x)2-3=-f(x)+x2+3,
∴f(x)+f(-x)=2x2+6①.
∵y=f(x)+2x为偶函数,∴f(-x)-2x=f(x)+2x,
∴f(x)-f(-x)=-4x②.
由①+②,得2f(x)=2x2-4x+6,∴f(x)=x2-2x+3.
变式　(1)A　[解析] 根据题意,由f(x)+g(x)=x2-x+1①,得f(-x)+g(-x)=x2+x+1,因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以-f(x)+g(x)=x2+x+1②.由①-②得2f(x)=-2x,所以f(x)=-x,则f(2)=-2.故选A.
(2)解:当x>0时,-x<0,所以f(-x)=(-x)2+x+1=x2+x+1.
因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),
所以当x>0时,f(x)=x2+x+1.
探究点二
例2　解:因为对于任意不相等的实数x1,x2∈[0,+∞),不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减,又函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在R上为减函数.由f(2x)>f(x-1),得2x变式　C　[解析] 因为f(x)是定义在[-4,2b]上的偶函数,所以-4+2b=0,解得b=2,所以f(x)的定义域为[-4,4],又因为f(x)在[-4,0]上单调递增,所以f(x)在[0,4]上单调递减.因为f(x+1)≤f(-1),所以f(|x+1|)≤f(|-1|),所以解得-5≤x≤-2或0≤x≤3,所以f(x+1)≤f(-1)的解集为[-5,-2]∪[0,3].故选C.
探究点三
例3　C　[解析] 由题意得,对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有<0,所以f(1)>f(2)>f(3).又f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2),所以f(1)>f(-2)>f(3),故选C.
变式　BCD　[解析] 因为函数f(x)是定义在[-5,5]上的奇函数,所以f(-4)=-f(4),f(-2)=-f(2),因为f(-4)f(2),故A错误;因为f(x)在[0,5]上单调,f(4)>f(2),所以f(x)在[0,5]上单调递增,所以f(x)在[-5,5]上单调递增,所以f(2)探究点四
例4　证明:∵g(x)=,x∈(-∞,2)∪(2,+∞),
∴g(4-x)==,
∴g(x)+g(4-x)=+==-8.
即对任意的x∈(-∞,2)∪(2,+∞),
都有g(x)+g(4-x)=-8成立,
∴函数g(x)的图象关于点(2,-4) 对称.
变式　BC　[解析] 由题意知,若函数y=f(x+a)-b为奇函数,则f(x+a)-b=-f(-x+a)+b,则f(x+a)+f(-x+a)=2b.对于A,f(x)=x3-3x2=x2(x-3),a=1,b=2,则f(x+1)+f(-x+1)=(x+1)2(x+1-3)+(-x+1)2(-x+1-3)=-4≠2b=4,故A错误;对于B,由f(x+1)+f(1-x)=2,得f(x+1)-1+f(-x+1)-1=0,设F(x)=f(x+1)-1,则F(x)+F(-x)=0,所以F(x)是奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,1)对称,故B正确;对于C,若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则f(x)=f(2a-x),令x=t+a,则f(t+a)=f(a-t),用x替换t,则f(x+a)=f(a-x),故y=f(x+a)是偶函数,若y=f(x+a)是偶函数,则f(x+a)=f(-x+a),令h=x+a,则f(h)=f(2a-h),故函数y=f(h)的图象关于直线h=a对称,用x替换h,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,故C正确;对于D,因为f(x-1)=x2-4x+8,f(-x-1)=x2+4x+8,所以f(x-1)≠f(-x-1),所以y=f(x-1)不是偶函数,故D错误.故选BC.
拓展　D　[解析] ∵f(x)是偶函数,且其图象关于点对称,∴f(x)=f(-x),f(1-x)=-f(x),∴f(1-x)=-f(-x),∴f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x).又当x∈[0,1]时,f(x)=-x+,∴f(π)=f(π-2+2)=f(π-2)=f(π-4+2)=f(π-4)=f(4-π)=-(4-π)+=π-.故选D.

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