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4.2　简单幂函数的图象和性质
【学习目标】
1.掌握幂函数的概念和定义.
2.学会使用函数的知识自主分析、研究指数不同时幂函数的图象和性质的不同情况,学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手分析幂函数的性质,掌握探究函数性质的一般方法和步骤.
3.通过自主探究幂函数的图象和性质,培养知识的应用能力,提高数学运算和逻辑推理的核心素养.
◆ 知识点　幂函数
1.幂函数的定义:一般地,形如　　　　(α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数.
2.简单幂函数的图象和性质
(1)在(0,+∞)上都有意义,图象都过点　　　　.
(2)当α>0时,图象都过原点,并且在(0,+∞)上　　　　;当α=0时,图象是除去点(0,1)的直线y=1;当α<0时,图象都不过原点,并且在(0,+∞)上　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=-x2是幂函数. (　 )
(2)函数y=x-1是幂函数. (　 )
(3)幂函数的图象都过点(0,0)和点(1,1). (　 )
(4)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. (　 )
(5)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数. (　 )
◆ 探究点一　幂函数的定义　　　　　 　　　　　 　　　　　
例1 (1)[2024·辽宁阜新高级中学高一月考] 现有下列函数:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x.其中幂函数的个数为 (　 )
A.4 B.3 C.2 D.1
(2)已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,则实数m= (　 )
A.2或-1 B.-1
C.4 D.2
[素养小结]
在利用幂函数的定义解题时要特别注意,幂函数y=xα的系数必须是1,且没有其他项.
◆ 探究点二　幂函数的图象的认识
例2 已知函数①y=xa,②y=xb,③y=xc,④y=xd的大致图象如图所示,
则有理数a,b,c,d的大小关系为 (　 )
A.dB.aC.bD.a变式 已知幂函数f(x)的图象过点,则f(x)的大致图象为 (　 )
A B C D
[素养小结]
(1)依据图象高低判断幂函数的指数大小,相关结论为:①在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);②在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂函数的指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3的图象)来判断.
◆ 探究点三　幂函数性质的应用
例3 (1)已知幂函数y=(p∈Z)的图象关于y轴对称,如图所示,则 (　 )
A.p为奇数,且p>0
B.p为奇数,且p<0
C.p为偶数,且p>0
D.p为偶数,且p<0
(2)比较下列各题中两个值的大小.
①2.,2.;
②(,(.
变式 (1)已知a=,b=1.,c=,则a,b,c的大小关系为 (　 )
A.cC.a(2)若幂函数f(x)的图象过点,则f(x)在[1,3]上的最大值为 (　 )
A. B.-1
C.1 D.-3
(3)已知幂函数f(x)=m满足f(3-a)>f(a),则实数a的取值范围是　　　　.
[素养小结]
1.比较幂函数的函数值大小的方法:
(1)若指数相同,则利用幂函数的单调性比较大小.
(2)若指数不同,则可采用中介值法,如先与0比较大小,若都大于0,再与1比较,直到比较出所有数的大小.若中介值法不行则要采用估值法,判断各数的范围,进而比较出各数的大小.
2.利用幂函数的性质解不等式,应借助相应的幂函数的单调性和奇偶性,将不等式转化为自变量的大小关系来求解.
4.2　简单幂函数的图象和性质
【课前预习】
知识点
1.y=xα　2.(1)(1,1)　(2)单调递增　单调递减
诊断分析
(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　[解析] (1)根据幂函数的定义可知,y=-x2不是幂函数.
(2)根据幂函数的定义可知,y=x-1是幂函数.
(3)只有当α>0时,幂函数y=xα的图象才同时过点(0,0)和点(1,1).
(4)由幂函数的定义及图象知,对于幂函数y=xα(α为常数),当α>0时,该函数的图象与坐标轴相交于原点,当α≤0时,该函数的图象与坐标轴不相交.
(5)如函数y=x-1在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)C　(2)A　[解析] (1)幂函数的一般表达式为y=xα(α为常数),逐一对比可知题中的幂函数有①y=x3,⑤y=x,共2个.故选C.
(2)由幂函数的定义知m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.故选A.
探究点二
例2　B　[解析] 根据幂函数的图象可知,a<0,b>c>1,0变式　B　[解析] 因为函数f(x)为幂函数,所以设f(x)=xa,由f(2)=2a=,可得a=-2,所以f(x)=x-2=,则x≠0,所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0},排除A,C,D,故选B.
探究点三
例3　(1)D　[解析] 因为函数y=(p∈Z)的图象关于y轴对称,所以函数y=为偶函数,即p为偶数.由题图知函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递减,则有<0,所以p<0.故选D.
(2)解:①因为y=为[0,+∞)上的增函数,且2.3<2.4,
所以2.<2..
②因为y=为(0,+∞)上的减函数,且<,
所以(>(.
变式　(1)A　(2)C　(3)　[解析] (1)因为a=,b=,c=,且y=在[0,+∞)上单调递增,>>>0,所以>>,即b>a>c.故选A.
(2)设幂函数f(x)=xα,将代入,得(-2)α=-,解得α=-1,则f(x)=x-1,它在[1,3]上单调递减,故f(x)在[1,3]上的最大值为f(1)=1.故选C.
(3)因为f(x)=m为幂函数,所以m=1,则f(x)=,故f(x)的定义域为[0,+∞),且在定义域上为增函数.由f(3-a)>f(a),可得解得0≤a<,故a的取值范围为.

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