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§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1　函数的奇偶性
第1课时　函数的奇偶性
【学习目标】
1.理解、掌握函数奇偶性的概念与图象特征.
2.能够根据定义和图象判断简单函数的奇偶性.
3.能够应用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题.
4.通过函数奇偶性概念的学习和简单的应用,体会数形结合、化归与转化等基本的数学思想方法,提高数学运算和直观想象能力.
◆ 知识点　函数的奇偶性
1.奇偶性的定义
(1)奇函数定义:一般地,设函数f(x)的定义域是D,如果对任意的x∈D,有-x∈D,且　　　　　　,那么称函数f(x)为奇函数.
(2)偶函数定义:一般地,设函数f(x)的定义域是D,如果对任意的x∈D,有-x∈D,且　　　　　　,那么称函数f(x)为偶函数.
2.奇、偶函数的图象特征
(1)f(x)为奇函数 f(x)的图象关于原点对称.
(2)f(x)为偶函数 f(x)的图象关于y轴对称.
(3)在x=0处有定义的奇函数f(x)的图象必过原点,即f(0)=0.
【诊断分析】 若对定义域内的任意x都有f(-x)+f(x)=0或=-1(f(x)≠0),则函数f(x)是不是奇函数
◆ 探究点一　函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)m(x)=x2+;
(2)f(x)=;
(3)g(x)=
变式 (1)若f(x)是定义在R上的函数,则下列函数中一定是偶函数的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=|f(x)| B.y=f(|x|)
C.y= D.y=f(-x)-f(x)
(2)判断下列函数的奇偶性:
①m(x)=x|x|;②h(x)=(x>0);
③g(x)=;④f(x)=+.
[素养小结]
函数奇偶性的判断方法有多种,但不管采用哪种方法,都应先求出函数的定义域,观察其定义域是否关于原点对称,若定义域关于原点对称,再判断f(x)与f(-x)的关系,否则既不是奇函数也不是偶函数.
拓展 (多选题)已知函数f(x)的定义域为R,对任意的x,y∈R,都有f(xy)=x2f(y)+y2f(x)成立,则 (　 )
A.f(0)=0 B.f(-1)=0
C.f(x)是奇函数 D.f(x)是偶函数
◆ 探究点二　奇、偶函数图象的应用
例2 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.
(1)请补出函数f(x)在y轴右侧的图象;
(2)根据图象写出函数f(x)的单调递增区间;
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值范围.
变式 若将例2中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,如何解答本题
[素养小结]
利用奇偶性作函数图象,可先确定函数的奇偶性,作出函数在[0,+∞)(或(-∞,0])上的图象,再根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称作出函数在(-∞,0](或[0,+∞))上的图象.
拓展 已知f(x)是定义在[-2,0)∪(0,2]上的奇函数,当x>0时,f(x)的图象如图所示,那么f(x)的值域是　　　　　　.
◆ 探究点三　利用函数奇偶性求值
[提问] 若函数f(x)为奇函数,且f(2)=1,则f(-2)=　　　　.
例3 (1)设函数f(x)=为奇函数,则实数a= (　 )
A.-1 B.1
C.0 D.-2
(2)已知函数f(x)=x5+ax3+bx+8,且f(-2)=10,那么f(2)=　　　　.
变式 (1)已知f(x)是定义在[m-5,3-2m]上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+2x,则f(m)的值为 (　 )
A.8 B.0 C.-8 D.4
(2)已知函数f(x)=为奇函数,则a+b=　　　　.
(3)已知函数f(x)=ax3+bx-+2,若f(2023)=6,则f(-2023)=　　　　.
[素养小结]
(1)已知函数的奇偶性求函数值:利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.
(2)已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值时常常利用待定系数法,利用f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性求得参数的值.
拓展 已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)= (　 )
A.2 B.3
C.4 D.5
§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1　函数的奇偶性
第1课时　函数的奇偶性
【课前预习】
知识点
1.(1)f(-x)=-f(x)　(2)f(-x)=f(x)
诊断分析
解:根据奇函数的定义知,满足这两种关系的函数都是奇函数.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)函数m(x)的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,故该函数不具有奇偶性.
(2)易知函数f(x)=的定义域为[-1,0)∪(0,1],则|x+2|-2=x,所以f(x)=,
因为f(-x)=-=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(3)画出函数g(x)的图象如图所示,
由于g(x)的图象关于原点对称,所以函数g(x)为奇函数.
变式　(1)B　[解析] 对于A,f(x)的奇偶性不确定,因此f(-x)与f(x)的关系不确定,则|f(-x)|与|f(x)|的关系不确定,故A错误;对于B,由题意知,函数f(x)的定义域为R,且f(|-x|)=f(|x|),则y=f(|x|)为偶函数,故B正确;对于C,f(x)的奇偶性不确定,因此与的关系不确定,故C错误;对于D,因为f(x)的定义域为R,且f(x)-f(-x)=-[f(-x)-f(x)],所以y=f(-x)-f(x)是奇函数,故D错误.故选B.
(2)解:①m(x)=x|x|的定义域为R,关于原点对称,m(-x)=-x|-x|=-x|x|=-m(x),则m(x)为奇函数.
②h(x)=(x>0)的定义域不关于原点对称,故h(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
③因为g(x)=的定义域为R,关于原点对称,
g(-x)===g(x),所以g(x)为偶函数.
④因为f(x)=+,
所以解得x=±1,则f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,
又f(x)=0,所以f(-x)=±f(x),
所以f(x)既为偶函数也为奇函数.
拓展　ABD　[解析] 令x=y=0,则f(0)=0,A正确;令x=y=1,则f(1)=2f(1),即f(1)=0,令x=y=-1,则f(1)=2f(-1),即f(-1)=0,B正确;令y=-1,则f(-x)=x2f(-1)+f(x)=f(x),故f(x)是偶函数,C错误,D正确.故选ABD.
探究点二
例2　解:(1)由题意作出函数f(x)的图象如图.
(2)由图可知,f(x)的单调递增区间为[-1,0],[1,+∞).
(3)由图可知,使f(x)<0的x的取值范围为(-2,0)∪(0,2).
变式　解:(1)由题意作出函数f(x)的图象如图.
(2)由图可知,f(x)的单调递增区间为[-1,1].
(3)由图可知,使f(x)<0的x的取值范围为(-2,0)∪(2,+∞).
拓展　[-3,-2)∪(2,3]　[解析] 利用奇函数图象的性质可以作出函数f(x)在[-2,0)上的图象,如图所示,利用图象得到函数f(x)的值域为[-3,-2)∪(2,3].
　　　　　　　探究点三
提问 -1
例3　(1)A　(2)6　[解析] (1)∵函数f(x)=为奇函数,∴在定义域内,f(-x)+f(x)=+=0恒成立,整理得(a+1)x=0恒成立,∴a+1=0,解得a=-1.
(2)设h(x)=f(x)-8,则h(x)=x5+ax3+bx(x∈R),因为h(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-x5-ax3-bx=-h(x),所以h(x)为奇函数,则f(2)=h(2)+8=-h(-2)+8=-f(-2)+8+8=6.
变式　(1)C　(2)-1　(3)-2　[解析] (1)因为f(x)是定义在[m-5,3-2m]上的奇函数,所以m-5+3-2m=0,解得m=-2,所以f(m)=f(-2)=-f(2)=-8.故选C.
(2)f(x)=的定义域为{x|x≠1且x≠a},因为函数f(x)=为奇函数,所以其定义域关于原点对称,所以a=-1,则f(x)==.由f(-x)=-f(x),即==-,解得b=0,所以a+b=-1.
(3)设g(x)=ax3+bx-,则函数g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),g(-x)=-ax3-bx+=-g(x),所以函数g(x)为奇函数.因为f(2023)=g(2023)+2=6,所以g(2023)=4,所以f(-2023)=g(-2023)+2=-g(2023)+2=-4+2=-2.
拓展　D　[解析] 设g(x)=f(x)+x,∵函数g(x)=f(x)+x是偶函数,∴g(-x)=g(x),即f(-x)-x=f(x)+x.令x=2,则f(-2)-2=f(2)+2=1+2=3,∴f(-2)=3+2=5.

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