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第三章　指数运算与指数函数
§1　指数幂的拓展
【学习目标】
1.理解分数指数幂的概念,会进行分数指数幂与根式的互化.
2.了解无理数指数幂的概念,了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近得到的思想方法.
3.通过指数幂的拓展的学习,培养逻辑推理的核心素养;通过分数指数幂与根式的互化,培养数学运算的核心素养.
◆ 知识点一　分数指数幂
1.正分数指数幂的定义:给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂,记作b=　　　　,这就是正分数指数幂.
2.负分数指数幂的定义:给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),定义==.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)=. (　 )
(2)若(1-2x有意义,则x≠. (　 )
(3)分数指数幂(a>0)可以理解为个a相乘. (　 )
2.根式(n∈N+)一定有意义吗
◆ 知识点二　无理数指数幂
　 无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的正实数.至此,指数幂aα中指数的取值范围扩充为R.
◆ 探究点一　根式与分数指数幂
例1 (1)(多选题)下列各式中,根式化成分数指数幂的形式正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.=(a>0)
B.==(a>0)
C.=y3(y>0)
D.=a3(a>0)
(2)将-(x>0)表示为根式的形式为　　　　.
变式 (多选题)[2024·四川南充高级中学高一月考] 已知xy≠0,且=-3xy2,则下列不等关系可能成立的是 (　 )
A.x>0,y>0
B.x<0,y<0
C.x>0,y<0
D.x<0,y>0
[素养小结]
(1)根式与分数指数幂互化的规律:根指数指数位置分数的分母,被开方数(式)的指数指数位置分数的分子.
(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
◆ 探究点二　化简、求值
例2 化简:
(1);
(2)(x(3)-,x∈(-3,1).
变式 (1)(多选题)下列各式的值相等的是 (　 )
A.-和 B.和 C.和 D.和
(2)计算:--8×(-)0+.
[素养小结]
(1)解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.
(2)开偶次方时,先用绝对值表示开方的结果,再去掉绝对值符号化简,化简时要结合条件或分类讨论.
拓展 化简:+.
第三章　指数运算与指数函数
§1　指数幂的拓展
【课前预习】
知识点一
1.
诊断分析
1.(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)=.
(2)根据分数指数幂的定义知,要使(1-2x有意义,应满足1-2x>0,即x<.
(3)分数指数幂不可以理解为个a相乘,其实质是一个数.
2.解:①若n为奇数,则对任意的实数a,都有意义;
②若n为偶数,则当a≥0时,才有意义,当a<0时,没有意义.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)ABD　(2)-　[解析] (1)==(y>0),C错误,易知A,B,D正确.故选ABD.
(2)由分数指数幂的意义可知,-=-.
变式　BD　[解析] 因为=3|x|·y2,且=-3xy2,所以3|x|·y2=-3xy2,故x<0,又xy≠0,所以y>0或y<0.故选BD.
探究点二
例2　解:(1)=-0.1.
(2)因为x(3)因为-3变式　(1)BC　[解析] 对于A,===,不符合题意;对于B,=,符合题意;对于C,===,符合题意;对于D,==,=23=8,不符合题意.故选BC.
(2)解:原式=(100-1-(-1)-8+(23=10-+1-8+=10+1-8=3.
拓展　解:原式=+
=+=
|-|+|+|=2.

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