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§2　指数幂的运算性质
【学习目标】
1.掌握实数指数幂的运算性质及利用性质进行综合运算,能够熟练、准确地进行指数式、根式等的相互转化,能够熟练地利用性质进行数式的化简、求值等综合运算.
2.通过实数指数幂的综合运算,提高数学运算的核心素养.
◆ 知识点　实数指数幂的运算性质
对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂满足下面的运算性质:
(1)aα·aβ=　　　　;
(2)(aα)β=aαβ;
(3)(ab)α=aαbα.
【诊断分析】 1.有理数指数幂的运算性质是否适用于底数a=0或a<0的情况
2.an·bn=(a·b)n,a,b,n∈R,这个等式对吗
◆ 探究点一　指数幂的综合运算
例1 化简与计算(式中的字母均为正实数):
(1);
(2)··(2)÷;
(3).
变式 (1)计算:+22×-×.
(2)已知a=,b=,求的值.
[素养小结]
利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧:
(1)有括号,则先化简或计算括号里的式子;
(2)无括号,则先进行指数运算;
(3)负指数幂化为正指数幂的倒数;
(4)底数是小数,先要化为分数,底数是带分数,先要化为假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,利用指数运算性质求解.
◆ 探究点二　条件求值
例2 已知+=5(a>0),求的值.
变式 若将例2中的条件+=5改为-=5,则结论如何
[素养小结]
对于“条件求值”问题,要根据式子的特点,弄清已知条件与待求式的联系,然后用整体代换的思想求解.要注意恰当地变形,如分解因式等,还要注意开方时正负值的选取.
拓展 [2024·皖豫名校联盟高一期中] 已知10a=2,102b=5,求的值.
§2　指数幂的运算性质
【课前预习】
知识点
(1)aα+β
诊断分析
1.解:因为0的负数指数幂无意义,所以a≠0.若a<0,如取a=-2,则[(-2)3没有意义.
故有理数指数幂的运算性质不适用于底数a=0或a<0的情况.
2.解:不对,例如(-2×(-2=[(-2)×(-2)不成立,其中(-2无意义.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)=-=4a.
(2)··(2)÷=10=10a.
(3)====()5=()5=.
变式　解:(1)原式=1+4×-×=1+6-1=6.
(2)原式====b,因为a=,b=,所以原式=(×3-1=3.
探究点二
例2　解:因为-=()3-()3,
所以==
a+a-1+1=(+)2-2+1=52-1=24.
变式　解:因为-=()3-()3,
所以==
a+a-1+1=(-)2+2+1=52+3=28.
拓展　解:因为10a=2,102b=5,所以=(10a÷102b==.

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