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§3　指数函数
3.1　指数函数的概念
3.2　指数函数的图象和性质
第1课时　指数函数y=ax(a>1)的图象和性质
【学习目标】
1.掌握指数函数的定义,会画指数函数的图象,掌握指数函数的性质,并会简单应用.
2.通过作出函数的图象,观察,归纳出函数所具有的性质,提高观察、归纳的能力.
3.会利用指数函数的图象与性质解决比较大小、求定义域、作图等问题.
4.进一步了解学习一种新函数的方法.
◆ 知识点一　指数函数的概念
一般地,　　　　(a>0,且a≠1)是一个定义在实数集上的函数,称为指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是　　　　.
特别提醒:
(1)规定y=ax中a>0,且a≠1的理由:
①当a≤0时,ax可能无意义;②当a>0时,x可以取任何实数;③当a=1时,ax=1(x∈R),无研究价值.因此规定y=ax中a>0,且a≠1.
(2)要注意指数函数的解析式:①底数是大于0且不等于1的常数;②指数函数的自变量必须位于指数的位置上;③ax的系数必须为1;④指数函数等号右边不会是多项式,如y=2x+1不是指数函数.
【诊断分析】 下列所给函数是指数函数的在括号里打“√”,不是指数函数的在括号里打“×”.
(1)y=2×3x. (　 )
(2)y=. (　 )
(3)y=0.2x+1. (　 )
◆ 知识点二　指数函数y=ax(a>1)的图象和性质
函数 y=ax(a>1)
图象
(续表)
函数 y=ax(a>1)
性质 定义域 R
值域 y∈(0,+∞),当x>0时,　　　;当x=0时,y=1;当x<0时,　　　　
过定点 　　　
单调性 在定义域R上为　　函数
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)指数函数的值域为[0,+∞). (　 )
(2)在x轴上方任取一点,一定能确定过此点的图象所对应的指数函数. (　 )
(3)指数函数y=2x与y=3x的单调性一致. (　 )
2.函数y=2x(x∈N*)的图象与y=2x的图象一致吗
◆ 知识点三　指数函数y=ax与y=bx(a>b>1)的特点
如图.
(1)当x<0时,0(2)当x=0时,ax=bx=1;
(3)当x>0时,ax>bx>1.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)指数函数y=ax(a>1)与y=bx(b>1)的图象在第一象限内具有的性质为:图象在上面的底数较大. (　 )
(2)3x>2x. (　 )
◆ 探究点一　指数函数的概念
例1 (1)(多选题)下列各函数中,是指数函数的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=(-3)x B.y=3x
C.y=3x-1 D.y=
(2)(多选题)[2024·江西新余六中高一期中] 若函数f(x)=(m2+2m-2)ax(a>0且a≠1)是指数函数,则实数m的值可能为 (　 )
A.-3 B.1
C.-1 D.-2
(3)已知指数函数y=(2a-1)x,则实数a的取值范围是　　　　　　.
变式 (1)函数y=(a2-4a+4)ax是指数函数,则a的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1或3 B.1
C.3 D.4
(2)已知指数函数f(x)的图象经过点,则f(-1)=　　　　,f(3)=　　　　.
[素养小结]
利用指数函数y=ax的概念判断一个函数是否是指数函数时,必须满足以下条件:(1)自变量是指数x,且指数位置只能有x这一项;(2)底数a只能有一项,且其系数必须为1;(3)底数a的取值范围是a>0且a≠1.
◆ 探究点二　指数函数的图象变换
例2 (1)函数f(x)=ax-4+3(a>1)的图象恒过的定点的坐标为　　　　.
(2)若直线y=a与函数y=|2x-1|的图象有两个公共点,则a的取值范围是　　　　.
变式 (1)若函数y=2x+1+m的图象不经过第二象限,则实数m的取值范围是 (　 )
A.m≤-1 B.m>-1
C.m≤-2 D.m>-2
(2)若函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象如图所示,且f(-1)=0,则实数a,b的值分别可能为 (　 )
A.3,-3
B.,-
C.2,-
D.,-2
[素养小结]
常见的指数函数图象的变换如下(以下a>0且a≠1):
拓展 函数y=a|x|(a>1)的大致图象是 (　 )
◆ 探究点三　指数函数y=ax(a>1)的性质及其应用
角度1　比较大小
例3 设a=1.42,b=21.1,c=80.4,则 (　 )
A.a变式 已知a=(2)2,b=,c=2π,则a,b,c的大小关系为 (　 )
A.aC.b[素养小结]
同底数幂比较大小时可以构造指数函数,根据其单调性比较.能化成同底数幂的先化成同底数幂,再比较;当底数不同时可以借助图象,利用图象之间的关系比较.
角度2　解不等式
例4 (1)若x满足不等式≤,则x的取值范围是　　　　.
(2)[2024·江西赣州中学高一期中] 若2<<8,则实数x的取值范围是 (　 )
A.(-4,-2)
B.(-2,2)
C.(-∞,-4)∪(-2,+∞)
D.(0,2)
变式 (1)使不等式23x-1>2成立的x的取值范围为 (　 )
A. B.(1,+∞)
C. D.
(2)已知0.2x<25,则实数x的取值范围是　　　　.
[素养小结]
解指数不等式时,可先将底数不同的表达式化为同底数的形式,底数统一后直接利用指数函数的单调性转化为一元一次或一元二次不等式求解.
§3　指数函数
3.1　指数函数的概念
3.2　指数函数的图象和性质
第1课时　指数函数y=ax(a>1)的图象和性质
【课前预习】
知识点一
y=ax　R
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)中3x的系数是2,而不是1,故(1)不是指数函数;(2)中指数是x+1,而不是自变量x,故(2)不是指数函数;(3)中等号右边不是单独的一项,故(3)不是指数函数.
知识点二
y>1　0诊断分析
1.(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)指数函数的值域为(0,+∞),故错误.
(2)若取的点在y轴的正半轴上且不是点(0,1),则没有指数函数的图象过此点.故错误.
(3)两个指数函数均为增函数,故正确.
2.解:不一致,函数y=2x(x∈N*)的图象仅是指数函数y=2x的图象上横坐标为正整数的一些孤立的点.
知识点三
诊断分析
(1)√　(2)×　[解析] (1)正确.可令x=1,即可判断出大小.(2)当x>0时,3x>2x;当x=0时,3x=2x;当x<0时,3x<2x.故错误.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)BD　(2)AB　(3)a>且a≠1　[解析] (1)根据指数函数的定义判断可知B,D符合题意.故选BD.
(2)因为函数f(x)=(m2+2m-2)ax是指数函数,所以m2+2m-2=1,解得m=1或m=-3.故选AB.
(3)根据指数函数的定义知,底数要大于0且不等于1,所以解得a>且a≠1.
变式　(1)C　(2)　64　[解析] (1)由已知得即解得a=3.故选C.
(2)设f(x)=ax(a>0,且a≠1),将代入f(x)=ax,得=a-2,得a=4,即函数f(x)=4x,所以f(-1)=,f(3)=64.
探究点二
例2　(1)(4,4)　(2)(0,1)　[解析] (1)令x-4=0,得x=4,所以f(4)=a0+3=4,所以函数f(x)=ax-4+3(a>1)的图象恒过定点(4,4).
(2)y=|2x-1|的图象可由指数函数y=2x的图象向下平移1个单位长度,再将x轴下方的部分向上翻折而得到,作出y=|2x-1|的图象和直线y=a,如图,由图可知,a∈(0,1).
变式　(1)C　(2)C　[解析] (1)将函数y=2x的图象至少向下平移1个单位长度时,所得图象不经过第二象限,则1+m≤-1,得m≤-2,故选C.
(2)由函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象,可得函数f(x)为增函数,所以a>1.由f(-1)=0,可得a-1+b=0,可得ab=-1,结合选项知,只有C符合.故选C.
拓展　B　[解析] y=a|x|=则y=a|x|(a>1)在[0,+∞)上的图象与指数函数y=ax(a>1)在[0,+∞)上的图象相同,且y=a-x(x<0)的图象与y=ax(x>0)的图象关于y轴对称,故选B.
探究点三
例3　A　[解析] a=1.42,b=21.1=(20.55)2,c=80.4=21.2=(20.6)2,因为y=2x是R上的增函数,所以1.4<=20.5<20.55<20.6,又y=x2在(0,+∞)上单调递增,所以a变式　B　[解析] a=(2)2=8=23,b==,因为2<3<π,y=2x为R上的增函数,所以<23<2π,即b例4　(1)[-3,1]　(2)A　[解析] (1)由≤可得≤=3-2(x-2),因为y=3x在R上是增函数,所以x2+1≤-2x+4,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1,所以x的取值范围是[-3,1].
(2)由2<<8,得21<2-(x+1)<23,又y=2x在R上是增函数,所以1<-x-1<3,即-4变式　(1)A　(2)(-2,+∞)　[解析] (1)由23x-1>2,得3x-1>1,∴x>,∴使不等式23x-1>2成立的x的取值范围为.故选A.
(2)因为0.2x=5-x,所以原不等式等价于5-x<52,由此可得-x<2,即x>-2,故实数x的取值范围为(-2,+∞).

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