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第3课时　指数函数图象和性质的综合应用
◆ 知识点一　y=ax(a>0,且a≠1)的图象与
y=的图象之间的关系
函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与y=的图象关于y轴对称.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=3x,x∈[-1,1]的值域与函数y=,x∈[-1,1]的值域相同. (　 )
(2)函数y=a|x|(a>0且a≠1),x∈[-k,k](k>0)的图象关于y轴对称. (　 )
◆ 知识点二　与指数函数有关的复合函数问题
1.定义域
函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的定义域就是函数f(x)的定义域.
2.值域
求形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的值域时,应先求u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.
3.单调性
将函数y=af(x)(a>0,且a≠1)视为由u=f(x)与y=au复合而成,利用复合函数单调性的判定方法可判断函数y=af(x)的单调性.类似地,可判断函数y=f(ax)(a>0,且a≠1)的单调性.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=2f(x)与函数y=f(x)有相同的定义域. (　 )
(2)函数y=af(x)(a>0,且a≠1)与函数y=f(x)的单调性相同. (　 )
◆ 探究点一　与指数函数有关的定义域与值域问题
例1 求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;(2)y=;(3)y=;
(4)y=4x+2x+1+1.
变式 (1)函数y=的定义域和值域分别为 (　 )
A.(0,2],(0,1]
B.(-∞,2],[0,1)
C.(0,2],[0,1)
D.(-∞,2],(0,1]
(2)函数y=(-3≤x≤1)的值域是　　　　.
[素养小结]
对于形如y=f(ax)(a>0,且a≠1)的函数的值域的求解,可令t=ax,先求出t的取值范围,再借助函数y=f(t)的单调性确定整个函数的值域.
拓展 已知函数y=(a>0,且a≠1)的定义域是(-∞,0],求实数a的取值范围.
◆ 探究点二　与指数函数有关的单调性问题
例2 判断函数y=的单调性.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式 (1)已知函数f(x)=,则函数f(x)的单调递增区间为 (　 )
A.(4,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,2) D.(2,+∞)
(2)若函数f(x)=在区间[1,2]上单调递减,则实数a的取值范围是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.a≤-4 B.a≤-2 C.a≥-2 D.a>-4
[素养小结]
复合函数的单调性一般是看包含的两个函数的单调性.若两个函数均为增函数或均为减函数,则复合函数为增函数;若两个函数一增一减,则复合函数为减函数.简记为“同增异减”.
拓展 [2024·江西师大附中高一期中] 已知函数f(x)=ax2+x+1(a≠0).
(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为(-3,b),求a,b的值;
(2)已知g(x)=4x+1-2x+2,当x∈[-1,1]时,f(2x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
第3课时　指数函数图象和性质的综合应用
【课前预习】
知识点一
诊断分析
(1)√　 (2)√ 　[解析] (1)因为函数y=3x,x∈[-1,1]与函数y=,x∈[-1,1]的定义域相同,且图象关于y轴对称,所以值域相同.
(2)设y=f(x)=a|x|,x∈[-k,k](a>0且a≠1,k>0),因为f(-x)=a|-x|=a|x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数,图象关于y轴对称.
知识点二
诊断分析
(1)√　(2)×　[解析] (2)当a>1时,函数y=af(x)与函数y=f(x)的单调性相同;当0【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)由x-4≠0,得x≠4,
故y=的定义域为(-∞,4)∪(4,+∞).
由≠0,得≠1,
故y=的值域为(0,1)∪(1,+∞).
(2)由1-2x≥0,得2x≤1,∴x≤0,
∴y=的定义域为(-∞,0].
∵0<2x,∴-2x<0,∴1-2x<1,
又1-2x≥0,∴y=的值域为[0,1).
(3)易知y=的定义域为R.
∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
∴≤=16.
又>0,∴函数y=的值域为(0,16].
(4)易知y=4x+2x+1+1的定义域为R.
∵y=4x+2x+1+1=(2x)2+2×2x+1=(2x+1)2,且2x>0,∴y>1,故函数y=4x+2x+1+1的值域为(1,+∞).
变式　(1)B　(2)　[解析] (1)由1-6x-2≥0,得x-2≤0,即x≤2,故函数的定义域为(-∞,2].因为0<6x-2≤1,所以0≤1-6x-2<1,即0≤<1,故函数的值域为[0,1).故选B.
(2)设t=-2x2-8x+1=-2(x+2)2+9, 则y=.∵-3≤x≤1,∴当x=-2 时,t取得最大值9;当x=1 时,t取得最小值-9.∴-9≤t≤9,又函数y=(-9≤t≤9)是减函数,∴原函数的值域是 .
拓展　解:由ax-1≥0,得ax≥1.
因为函数y=(a>0,且a≠1)的定义域是(-∞,0],
所以ax≥1的解集为(-∞,0],所以0探究点二
例2　解:设u=x2-2x,则y=,易知对任意的1≤x1因为y=是减函数,设y1=,y2=,
所以y1>y2,所以y=在[1,+∞)上单调递减.
易知对任意的x3u4,因为y=是减函数,
设y3=,y4=,所以y3所以y=在(-∞,1]上单调递增.
变式　(1)D　(2)C　[解析] (1)令u=x2-4x=(x-2)2-4,则该函数在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,而函数y=2u在R上为增函数,所以函数f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,即f(x)的单调递增区间为(2,+∞).故选D.
(2)记u=x2+ax=-,其图象为抛物线,对称轴为直线x=-,且抛物线的开口向上.∵函数f(x)=在区间[1,2]上单调递减,∴函数u=x2+ax在区间[1,2]上单调递增,又u=x2+ax在区间上单调递增,∴-≤1,解得a≥-2.
拓展　解:(1)f(x)=ax2+x+1<0的解集为(-3,b),则a>0,ax2+x+1=0的解为x=-3和x=b,
由解得
(2)由f(x)=ax2+x+1,f(2x)≤g(x),得a×(2x)2+2x+1≤4x+1-2x+2,
设t=2x,x∈[-1,1],因为t=2x在[-1,1] 上单调递增,所以t∈,则at2+t+1≤4t2-t+2,
整理得a≤-+4=+3.
当t=1时,y=+3取得最小值3,故a≤3且a≠0,即a的取值范围为(-∞,0)∪(0,3].

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