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第四章　对数运算与对数函数
§1　对数的概念
【学习目标】
1.掌握对数式和对数运算的概念,灵活运用指数式与对数式的互化进行简单的对数运算.
2.掌握常用对数和自然对数的概念.
3.掌握指数式与对数式的联系,理解对数式的含义、熟练进行对数运算,通过对数运算的学习,提升数学抽象、数学运算等核心素养.
◆ 知识点一　对数的概念
1.对数定义
一般地,如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N,即　　　　,那么数b称为以a为底N的　　　　,记作　　　　　　,其中a叫作对数的底数,N叫作　　　　.
2.两类特殊的对数
当对数的底数a=10时,通常称之为　　　　,并将log10N简记为lg N;以无理数e=2.718 281…为底数的对数叫作　　　　,并将logeN简记为ln N.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)负数和零没有对数. (　 )
(2)loga1=0(a>0且a≠1). (　 )
(3)logaa=1(a>0且a≠1). (　 )
(4)loga=-1(a>0且a≠1). (　 )
(5)lg 10=1. (　 )
(6)(-2)3=-8可化为log(-2)(-8)=3. (　 )
◆ 知识点二　指数式与对数式的关系
【诊断分析】 依据指数式与对数式的关系,=N(a>0且a≠1)正确吗
◆ 探究点一　指数式与对数式
例1 (1)在对数式b=log(a-2)(5-a)中,实数a的取值范围是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.a>5或a<2 　B.2C.2(2)将下列指数式与对数式互化:
①log416=2;②lo9=-2;③lox=3;④44=256;⑤2-3=.
变式 (多选题)[2024·江西抚州金溪一中高一期中] 下列指数式与对数式的互化正确的是 (　 )
A.e0=1与ln 1=0
B.=与log27=-
C.log24=2与=2
D.log55=1与51=5
◆ 探究点二　利用指数式与对数式的关系求值
例2 求下列各式中x的值:
(1)logx3=;
(2)log64x=-;
(3)lo(2x2-4x+1)=1.
变式 (1)若log27x=-,则x=　　　　;
(2)若logx16=-4,则x=　　　　;
(3)若lg =x,则x=　　　　.
[素养小结]
利用指数式与对数式的关系求值时,关键是先根据对数的定义将对数式改为指数式,再利用指数运算得出相应的值.
◆ 探究点三　利用对数性质与对数恒等式求值
例3 求下列各式的值:
(1)log464=　　　　;(2)log530=　　　　;
(3)lg 0.01=　　　　;(4)log1212=　　　　;
(5)=　　　　.
变式 (1)①若=x,则x=　　　　.
②若log3[log4(log5x)]=0,则x=　　　　.
(2)计算:①=　　　　.
②=　　　　.
[素养小结]
利用对数的性质及恒等式求值时,关键是熟悉性质,如有多重对数式的求值应先由内到外或由外到内逐步脱去“log”后再求解,而对于不能直接利用对数恒等式=N的首先要借助指数幂的运算性质,将其变形为能直接运用对数恒等式的情况求值.
第四章　对数运算与对数函数
§1　对数的概念
【课前预习】
知识点一
1.ab=N　对数　logaN=b　真数　
2.常用对数　自然对数
诊断分析
(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√　(6)×
知识点二
诊断分析
解:正确.若ab=N①,则b=logaN②,将②代入①得=N.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)C　[解析] 由题意得解得2(2)解:①log416=2,化为指数式是42=16.
②lo9=-2,化为指数式是=9.
③lox=3,化为指数式是()3=x.
④44=256,化为对数式是log4256=4.
⑤2-3=,化为对数式是log2=-3.
变式　ABD　[解析] 根据指数式与对数式的互化公式ab=N logaN=b(a>0且a≠1)可知,A,B,D正确;对于C,log24=2化为指数式是22=4,故C错误.故选ABD.
探究点二
例2　解:(1)由logx3=,得=3,所以x=9.
(2)由log64x=-,得x==(43=4-2=,所以x=.
(3)由lo(2x2-4x+1)=1,得2x2-4x+1=x2-2,解得x=1或x=3.当x=1时,x2-2=-1<0,舍去;
当x=3时,x2-2=7>0,2x2-4x+1=7>0,符合题意.
综上,x=3.
变式　(1)　(2)　(3)-3　[解析] (1)因为log27x=-,所以x=2=(33=3-2=.
(2)因为logx16=-4,所以x-4=16,即x-4=24.
所以=24,又x>0,且x≠1,所以=2,即x=.
(3)因为lg =x,所以10x=10-3,所以x=-3.
探究点三
例3　(1)3　(2)0　(3)-2　(4)1　(5)　[解析] (1)设log464=x,则4x=64=43,得x=3,即log464=3.
(2)log530=log51=0.
(3)设lg 0.01=y,则10y=0.01=10-2,得y=-2,即lg 0.01=-2.
(4)设log1212=z,则12z=12,得z=1,即log1212=1.
(5)==.
变式　(1)①2　②625　(2)①4　②　[解析] (1)①x==2.
②∵log3[log4(log5x)]=0,∴log4(log5x)=30=1,∴log5x=4,∴x=54=625.
(2)①=(==4.
②原式=×=3×(3-1=3×()-1=3×2-1=.

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