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2.2　换底公式
【学习目标】
1.通过对数换底公式的推导,提升逻辑推理的核心素养.
2.通过用对数换底公式进行化简求值,培养数学运算的核心素养.
◆ 知识点　对数换底公式
1.换底公式
logab=　　　　(a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1).
2.几个重要结论
lobm=　　　　logab(a>0,b>0,且a≠1,n≠0);
logab=　　　　(a>0,b>0,且a≠1,b≠1).
【诊断分析】 对数换底公式中底数a是特定数还是任意数
◆ 探究点一　用换底公式化简计算
例1 (1)log45·log56·log64= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.1
C.2 D.3
(2)化简:(log43+log83)·(log32+log92)=　　　　.
变式 (1)(log32+log23)2--的值为 (　 )
A.log26 B.log36
C.2 D.1
(2)计算下列各式的值:
①lg 20+log10025;
②(log2125+log425+log85)·(log1258+log254+log52).
[素养小结]
在解题方向尚不明确的情况下,一般统一将对数换成常用对数(当然也可以换成以其他非1正数为底数的对数或自然对数),然后再化简计算.
◆ 探究点二　用已知对数表示其他对数
例2 (1)已知log189=a,18b=5,试用a,b表示log3645;
(2)已知2a=3b=5,用a,b表示lg 15的值.
变式 已知lg 2=a,lg 3=b,用a,b表示log1815=　　　　.
[素养小结]
用已知对数表示其他对数时,常用换底公式,把其他对数化成和已知对数底数相同的形式,从而进行表示.
◆ 探究点三　利用对数式与指数式的互化解题
例3 已知正实数x,y,z满足3x=4y=6z,求证:-=.
变式 若实数a,b,c满足25a=404b=2020c=2022,则 (　 )
A.+= B.+=
C.+= D.+=
[素养小结]
求解此类问题,通常先把指数式化成对数式,然后根据已知条件,利用对数的运算性质进行计算.
2.2　换底公式
【课前预习】
知识点
1.　2.　
诊断分析
解:底数a是大于0,且不等于1的任意数.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)B　(2)　[解析] (1)由换底公式得log45·log56·log64=··=1,故选B.
(2)原式===×××=.
变式　(1)C　[解析] 原式=(log32)2+2log32·log23+(log23)2-=(log32)2+2×1+(log23)2-=2.故选C.
(2)解:①lg 20+log10025=1+lg 2+=1+lg 2+lg 5=2.
②(log2125+log425+log85)·(log1258+log254+log52)=(log253+lo52+lo5)·(lo23+lo22+log52)=×log25×(1+1+1)×log52=×3=13.
探究点二
例2　解:(1)方法一:∵18b=5,∴log185=b,
又log189=a,∴log3645=====.
方法二:∵18b=5,∴log185=b,又log189=a,∴log3645===.
方法三:∵log189=a,18b=5,∴lg 9=alg 18,lg 5=blg 18,
∴log3645====.
(2)∵2a=3b=5,∴a=log25,b=log35,∴lg 15====.
变式　　[解析] ∵lg 2=a,lg 3=b,∴log1815====.
探究点三
例3　证明:令3x=4y=6z=m,由x,y,z均为正实数,
得m>1,x=log3m,y=log4m,z=log6m,
∴=logm3,=logm4,=logm6,
∴-=logm6-logm3=logm2=.故得证.
变式　A　[解析] 由已知,得52a=404b=2020c=2022,得2a=log52022,b=log4042022,c=log20202022,所以=log20225,=log2022404,=log20222020,又5×404=2020,所以+=,即+=.故选A.

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