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第2课时　对数函数y=logax的性质与应用
【学习目标】
1.通过对数函数图象和性质的应用,体会数学抽象素养.
2.通过数形结合思想的应用,提升直观想象素养.
◆ 知识点　与对数函数有关的复合函数的综合
问题
对于函数y=logaf(x),它是由t=f(x),y=logat两个函数复合而成的,其单调性由t=f(x),y=logat的单调性决定,当两个函数在定义域内单调性相同(反)时,函数y=logaf(x)在定义域内是增(减)函数,即“同增异减”.而值域则往往先求出t=f(x)的值域再根据y=logat的单调性求解.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=log2(1-x)在R上单调递减. (　 )
(2)函数y=log0.5(x+1)在(-1,+∞)上单调递增. (　 )
◆ 探究点一　与对数函数有关的复合函数的单调性
例1 (1)函数f(x)=lo(x2+2x-8)的单调递增区间为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(-1,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,-4) D.(-∞,-1)
(2)已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在[2,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 (　 )
A.(-∞,4] B.(-∞,2]
C.(-4,4] D.(-4,2]
变式 (1)[2024·海南中学高一月考] 函数f(x)=lg(x2-2x-8)的单调递增区间是 (　 )
A.(-∞,-2) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
(2)若函数f(x)=ln(x2-2ax-a)在(-∞,-2]上单调递减,则实数a的取值范围为 (　 )
A. B.[-2,+∞) C. D.(-∞,-2]
[素养小结]
求形如y=logaf(x)的函数的单调区间时,首先要求出函数的定义域,再研究函数t=f(x)和函数y=logat在定义域上的单调性,最后判断出函数的单调区间.
◆ 探究点二　与对数函数有关的值域和最值
[提问] 求函数y=的定义域时要考虑哪些方面



例2 (1)求下列函数的值域:
①y=;②y=log0.5(x2+2x+5).
(2)求函数y=(lox)2-2lox+5在[2,4]上的最大值和最小值.
变式 (1)已知函数f(x)=log2x·log2(2x),x∈,则函数f(x)的最大值为　　　　　　,最小值为　　　　　　.
(2)若函数f(x)=lg(2x+2-x+a-1)的值域是R,则实数a的取值范围是　　　　.
[素养小结]
求与对数函数有关的函数的值域时,要先求出函数的定义域,明确真数的取值范围,再利用函数的单调性求解.
◆ 探究点三　与对数函数有关的复合函数的奇偶性
例3 已知函数f(x)=loga(a>0,且a≠1,b≠-2)是定义在(-2,2)上的奇函数.
(1)求f(0)和实数b的值;
(2)若f(x)满足f(t2-2)+f(3t-2)<0,求实数t的取值范围.
变式 (1)(多选题)函数f(x)=ln(x+1)-ln(1-x),则下列说法正确的是 (　 )
A.f(x)的图象关于y轴对称
B.f(x)的图象关于原点对称
C.函数f(x)在定义域上为增函数
D.函数f(x)在定义域上为减函数
(2)若函数f(x)=lg|x+a|是偶函数,则a=　　　　.
(3)已知函数f(x)=log5(-2x),实数m,n满足f(4m-2)+f(n)=0,则4m+n=　　　　.
[素养小结]
要判断函数的奇偶性,首先应求出定义域,看函数的定义域是否关于原点对称.对于形如f(x)=logag(x)的函数,利用f(-x)±f(x)=0来判断奇偶性较简便.
◆ 探究点四　与指数、对数型函数有关的实际问题
例4 风光秀丽的千岛湖盛产鳙鱼,记鳙鱼在湖中的游速为v m/s,鳙鱼在湖中的耗氧量的单位数为x,已知鳙鱼的游速v与log2(x≥100)成正比,当鳙鱼的耗氧量为200单位时,其游速为 m/s.若某条鳙鱼的游速提高了1 m/s,则它的耗氧量的单位数是原来的 (　 )
A.2倍 B.4倍
C.6倍 D.8倍
变式 某工厂产生的废气必须经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为P=P0·ekt,其中e是自然对数的底数,k为常数,P0为原污染物总量.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%,则k=　　　　;要能够按规定排放废气,还需要过滤n小时,则正整数n的最小值为　　　　.(参考数据:log52≈0.43)
[素养小结]
与指数、对数型函数有关的实际问题,关键是要认真审题,从中提炼出相应的函数模型,再将其转化为指数、对数函数相关问题来求解,但要注意所得结果要符合实际情况.
第2课时　对数函数y=logax的性质与应用
【课前预习】
知识点
诊断分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)令t=1-x>0,则x<1,y=log2t.因为t=1-x在(-∞,1)上单调递减,y=log2t在(0,+∞)上是增函数,所以函数y=log2(1-x)在(-∞,1)上单调递减.
(2)令t=x+1>0,则x>-1,y=log0.5t.因为t=x+1在(-1,+∞)上单调递增,y=log0.5t在(0,+∞)上是减函数,所以函数y=log0.5(x+1)在(-1,+∞)上单调递减.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)C　(2)C　[解析] (1)由x2+2x-8>0可得x<-4或x>2,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-4)∪(2,+∞).因为f(x)=lo(x2+2x-8)是由y=lot和t=x2+2x-8复合而成,y=lot在(0,+∞)上是减函数,t=x2+2x-8在(-∞,-4)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以f(x)=lo(x2+2x-8)在(-∞,-4)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以函数f(x)=lo(x2+2x-8)的单调递增区间为(-∞,-4),故选C.
(2)若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在[2,+∞)上单调递增,则当x∈[2,+∞)时,x2-ax+3a>0且函数y=x2-ax+3a单调递增,则≤2,且4+a>0,解得-4变式　(1)D　(2)A　[解析] (1)对于函数f(x)=lg(x2-2x-8),需满足x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4,故函数f(x)=lg(x2-2x-8)的定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞).函数y=x2-2x-8的图象开口向上,对称轴为直线x=1,函数y=lg x在(0,+∞)上单调递增,则根据复合函数的单调性可知,f(x)的单调递增区间是(4,+∞).故选D.
(2)若函数f(x)=ln(x2-2ax-a)在(-∞,-2]上单调递减,则解得即a>-,故选A.
探究点二
提问 解:①真数要大于0;②偶次根式的被开方数不小于0.
例2　解:(1)①要使函数有意义,需满足
即解得x>1,所以函数y=的定义域为(1,+∞),值域为(0,+∞).
②因为x2+2x+5=(x+1)2+4≥4,
所以函数y=log0.5(x2+2x+5)的定义域为R.
又log0.5(x2+2x+5)≤log0.54=-2,
所以函数y=log0.5(x2+2x+5)的值域为(-∞,-2].
(2)设u=lox,因为2≤x≤4,所以-2≤u≤-1.
又y=(lox)2-+5=u2-u+5=+,且y=+在[-2,-1]上单调递减,所以当u=-1时,y取得最小值,ymin=+=7,
当u=-2时,y取得最大值,ymax=+=11.
变式　(1)2　-　(2)(-∞,-1]　[解析] (1)f(x)=log2x·log2(2x)=log2x·(log2x+1),x∈,令t=log2x,则t∈[-2,1],设g(t)=t(t+1),其中t∈[-2,1],则g(t)=t2+t=-,可得当t=-时,函数g(t)取得最小值,最小值为g=-;当t=-2或t=1时,函数g(t)取得最大值,最大值为g(1)=2.
(2)设g(x)=2x+2-x+a-1,则g(x)=2x+2-x+a-1≥2+a-1=a+1,当且仅当x=0时,等号成立,故g(x)的值域为[a+1,+∞).由f(x)=lg(2x+2-x+a-1)的值域为R知,[a+1,+∞) (0,+∞),所以a≤-1,故实数a的取值范围是(-∞,-1].
探究点三
例3　解:(1)根据题意可得f(0)=loga1=0.
因为f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,所以f(-x)=loga=-f(x)=-loga=loga,
可得=,所以16-4x2=16-b2x2,可得b=2.
(2)由(1)可知,f(x)=loga=loga=loga(a>0,a≠1),
易知函数y=-1在(-2,2)上单调递减,
由奇函数性质及f(t2-2)+f(3t-2)<0可得f(t2-2)<-f(3t-2)=f(2-3t),
当0当a>1时,由复合函数的单调性可知f(x)在(-2,2)上单调递减,需满足解得1所以当01时,t的取值范围为.
变式　(1)BC　(2)0　(3)2　[解析] (1)函数的定义域为(-1,1).因为f(-x)=ln(-x+1)-ln(1+x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,A错误,B正确;因为y=ln(x+1)在(-1,1)上单调递增,y=ln(1-x)在(-1,1)上单调递减,所以f(x)=ln(x+1)-ln(1-x)在(-1,1)上为增函数,C正确,D错误.故选BC.
(2)依题意知lg|x+a|=lg|-x+a|,所以当x≠±a时,|x+a|=|-x+a|恒成立,所以a=0.
(3)因为>=|2x|≥2x,所以f(x)的定义域为R,又f(x)+f(-x)=log5(-2x)+log5(+2x)=log5[(-2x)(+2x)]=log51=0,所以f(x)是奇函数,由f(4m-2)+f(n)=0可得4m-2+n=0,则4m+n=2.
探究点四
例4　B　[解析] ∵鳙鱼的游速v与log2(x≥100)成正比,∴不妨设v=klog2(x≥100),∵当x=200时,v=,∴=klog2,解得k=,∴v=log2(x≥100).设鳙鱼开始时的游速为v0 m/s,耗氧量的单位数为x0,提速后的游速为v1 m/s,提速后的耗氧量的单位数为x1,则v1=v0+1=log2+1==log2,又∵v1=log2,∴x1=4x0,故选B.
变式　-　11　[解析] ∵前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%,∴(1-80%)P0=P0·e4k,得0.2=e4k,则k=-.由0.25%P0=P0·ekt,得ln 0.002 5=-t,∴t==4log5400=8(1+2log52)≈14.88.故正整数n的最小值为15-4=11.

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