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§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5　信息技术支持的函数研究
【学习目标】
1.通过作图,借助数学软件体会并了解指数函数、幂函数、对数函数的增长特性,提升数据分析、直观想象素养.
2.掌握幂函数与对数函数、指数函数的增长差异,并能解决相关问题.
3.能正确选择函数模型解决实际问题,提升数学建模素养.
◆ 知识点　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
给定常数a,b,c,可知函数y=ax(a>1),y=logbx(b>1)和y=xc(x>0,c>1)都是增函数,但它们的函数值增长速度不同,而且不在同一个“级别”上.随着自变量x的增大,y=ax(a>1)的函数值增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xc(c>1)的函数值增长速度,而y=logbx(b>1)的函数值增长速度则会越来越慢.
【诊断分析】 1.当a>1,n>0时,对任意的x∈(0,+∞),是否总有logax2.判断某个增函数增长快慢的依据是什么
◆ 探究点一　函数模型的增长差异
例1 (1)[2024·湖北崇阳二中高一月考] 下列函数中,随着x的增大,增长速度最快的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=2023x B.y=2023 C.y=log2023x D.y=2023x
(2)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数函数变化的变量最可能是　　　　.
变式 (1)若函数y1=a·x2,y2=c·2x,y3=b·x3,则由表中数据确定f(x),g(x),h(x)依次对应 (　 )
x f(x) g(x) h(x)
1 2 0.2 0.2
5 50 25 3.2
10 200 200 102.4
A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3
C.y3,y2,y1 D.y1,y3,y2
(2)如图是某市相关部门根据统计数据绘制的该市7岁以下女童身高的中位数的散点图,给出下列函数模型,其中可近似刻画身高y(单位:cm)随年龄x(单位:岁)变化规律的是 (　 )
A.y=mx+n(m>0)
B.y=m+n(m>0)
C.y=max+n(m>0,a>1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>1)
[素养小结]
三种函数(指数函数、幂函数、对数函数)都是增函数时,当自变量充分大时,指数函数的函数值最大,但必须满足自变量的值大到一定程度,因此判断一个增函数是否为指数型函数时,一般比较当自变量增加到一定程度时,自变量增加相同的量,函数值的增长量是否为最大,若是,则这个函数就可能是指数型函数.
◆ 探究点二　指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较
例2 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2021),g(2021)的大小关系.
变式 函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)指出曲线C1,C2分别对应哪一个函数;
(2)比较两函数的大小(以两图象交点的横坐标x1,x2为分界,对f(x),g(x)的大小进行比较).
[素养小结]
根据图象判断函数是指数函数、对数函数或幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数型函数,图象趋于平缓的函数是对数型函数.
◆ 探究点三　实际应用题
例3 [2024·浙江湖州高一期末] 随着电动汽车研发技术的日益成熟,电动汽车的普及率越来越高.某型号电动汽车进行耗电量测试,限速80 km/h(不含80 km/h),经多次测试得到该汽车每小时的耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)之间的一组数据如下表所示.
v 0 10 30 70
M 0 1325 3375 9275
为了描述该汽车每小时的耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择:
M(v)=v3+bv2+cv,M(v)=1000·+a,M(v)=300logav+b.
(1)当0≤v<80时,请选出一种你认为最符合表格中所列数据的函数模型,并求出相应的函数解析式.
(2)在本次测试中,该电动汽车的最长续航里程为400 km.若测试过程为匀速行驶,请计算本次测试时的车速为何值时,该电动汽车的总耗电量(单位:Wh)最小 并计算出该最小值.
变式 某公司为了实现年销售利润1000万元的目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案(该方案针对的销售利润范围为10万元~1000万元):按销售利润进行奖励,且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过5万元,同时奖金数额不超过销售利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.025x,y=1.003x,y=ln x+1.问其中是否有模型能完全符合公司的要求 请说明理由.
(参考数据:1.003538≈5,e3≈20,e8≈2981,参考结论:f(x)=2ln x+4-x在[10,1000]上单调递减)
[素养小结]
函数模型的选取主要取决于实际问题中变量的变化规律:(1)指数函数模型适合于描述增长速度急剧的变化规律;(2)对数函数模型适合于描述增长速度平缓的变化规律;(3)幂函数模型适合于描述增长速度一般的变化规律.
§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5　信息技术支持的函数研究
【课前预习】
知识点
诊断分析
1.解:不是,但总存在x0,使得当a>1,n>0,x>x0时,logax2.解:依据自变量增加相同的量,函数值增长量的大小判断.增长量越大,增长速度越快.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)D　(2)y2　[解析] (1)选项A,B,C,D分别为一次函数,常数函数,对数函数,指数函数,且对数函数与指数函数的底数都大于1,则随着x的增大,增长最快的是指数函数.故选D.
(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化的,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大的,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,可知变量y2最可能关于x呈指数函数变化.
变式　(1)D　(2)B　[解析] (1)因为=25=,=4=,所以f(x)=y1;因为=125=,=8=,所以g(x)=y3;因为=16=,=32=,所以h(x)=y2,故选D.
(2)由散点图知,随着x的增长,y的增长速度越来越慢,排除A,C;当x=0时,函数有意义,排除D,只有B符合题意.故选B.
探究点二
例2　解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)因为f(1)>g(1),f(2)g(10),所以1从图象可以看出,当x1所以f(6)当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2021)>g(2021).
又因为g(2021)>g(6),
所以f(2021)>g(2021)>g(6)>f(6).
变式　解:(1)由题图知,C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lg x.
(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x);
当x∈(x1,x2)时,g(x)当x∈(x2,+∞)时,g(x)>f(x).
探究点三
例3　解:(1)对于M(v)=300logav+b,当v=0时,它无意义,所以不符合题意;
对于M(v)=1000·+a,显然该函数是减函数,所以不符合题意,故应选M(v)=v3+bv2+cv.
根据提供的数据,可得解得所以当0≤v<80时,M(v)=v3-2v2+150v.
(2)设车速为v km/h,则所用时间为 h,
总耗电量f(v)==10(v2-80v+6000)=10(v-40)2+44 000,
所以当测试时的车速为40 km/h时,
该电动汽车的总耗电量最小,最小值为44 000 Wh.
变式　解:由题意,符合公司要求的模型需同时满足当x∈[10,1000]时,①函数单调递增;②y≤5;③y≤x·25%.
(1)对于y=0.025x,易知满足①,但当x>200时,y>5,故不满足公司的要求.
(2)对于y=1.003x,易知满足①,但当x>538时,y>5,故不满足公司的要求.
(3)对于y=ln x+1,易知满足①.
当x∈[10,1000]时,y≤ln 1000+1,
因为ln 1000+1-5=ln 1000-4=(ln 1000-8)≈(ln 1000-ln 2981)<0,所以y<5,满足②.
下面证明ln x+1≤x·25%,
即2ln x+4-x≤0,x∈[10,1000].
设F(x)=2ln x+4-x,x∈[10,1000],
则由题意知F(x)在[10,1000]上单调递减,
所以F(x)max=F(10)=2ln 10+4-10=2ln 10-6=2(ln 10-3)≈2(ln 10-ln 20)<0,
所以y≤x·25%,满足③.
综上,奖励模型y=ln x+1能完全符合公司的要求.

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