资源简介

§2　对数的运算
2.1　对数的运算性质
【学习目标】
1.掌握对数的运算性质.
2.理解对数运算性质的推导过程.
3.通过推导对数运算性质的过程,提升数学运算的核心素养.
◆ 知识点　对数的运算性质
若a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R,则有
(1)loga(M·N)=　　　　　　　;
(2)loga=　　　　　　　;
(3)logaMb=blogaM.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)loga(M·N)=logaM·logaN,其中a>0,且a≠1,M>0,N>0. (　 )
(2)loga(M±N)=logaM±logaN,其中a>0,且a≠1,M>0,N>0. (　 )
(3)logaM·logaN=loga(M+N),其中a>0,且a≠1,M>0,N>0. (　 )
(4)log2=-2. (　 )
◆ 探究点一　对数的运算性质
例1 已知a>0且a≠1,x>0,y>0,z>0,用logax,logay,logaz表示下列各式:
(1)loga(xyz);　　(2)loga;
(3)loga;　　(4)loga.
变式 [2024·广东两阳中学高一月考] 若2a=log28,b=log2,则+= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0 B.2 C.4 D.8
[素养小结]
利用对数的运算性质解题时,一定要注意真数的取值范围是(0,+∞).公式可以逆用.
◆ 探究点二　利用对数运算性质求值
例2 计算:(1)4lg 2+3lg 5-lg;
(2);
(3)2log32-log3+log38-.
变式 计算:
(1)lg-lg+lg;
(2)+;
(3)lg 5·(lg 8+lg 1000)+(lg )2+lg+lg 0.06.
[素养小结]
利用对数的运算性质求值时,一般有两个思路:
(1)正用公式:将式中真数的积、商、幂运用对数的运算性质化为对数的和、差、积,然后化简求值;
(2)逆用公式:将式中对数的和、差、积运用对数的运算性质化为真数的积、商、幂,然后化简求值.
拓展 已知m>0,且10x=lg(10m)+lg ,求实数x的值.
◆ 探究点三　条件求值与化简
例3 (1)已知lg 2=m,lg 3=n,求100m-2n的值.
(2)已知log32=a,3b=5,用a,b表示log3.
变式 (1)设5m=9,则log53= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C.m D.
(2)已知log53=a,log54=b,则log5270可表示为 (　 )
A.ab B.3a++1
C.3a+ D.a3++1
[素养小结]
条件求值与化简的基本原则和方法:①正用或逆用对数运算性质;②对真数进行处理,要么把已知条件的真数化简,要么化简所求对数的真数.
§2　对数的运算
2.1　对数的运算性质
【课前预习】
知识点
(1)logaM+logaN　(2)logaM-logaN
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)loga(xyz)=logax+logay+logaz.
(2)loga=loga(xy2)-logaz=logax+logay2-logaz=logax+2logay-logaz.
(3)loga=loga(y)-loga=loga+logay-loga=logax+logay-logaz.
(4)loga=loga(x5y3)-logaz2=logax5+logay3-2logaz=5logax+3logay-2logaz.
变式　A　[解析] 由2a=log28得2a=3,所以a=log23,又b=log2,所以a+b=log23+log2=log21=0,所以+==0.故选A.
探究点二
例2　解:(1)原式=lg=lg 104=4.
(2)原式===.
(3)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3=5log32-(5log32-2)-3=-1.
变式　解:(1)原式=(5lg 2-2lg 7)-×lg 2+(2lg 7+lg 5)=lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5=lg 2+lg 5=(lg 2+lg 5)=lg 10=.
(2)原式=+()-1=1-1=0.
(3)原式=3lg 5·(1+lg 2)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2=3lg 2·(lg 5+lg 2)+3lg 5-2=3-2=1.
拓展　解:10x=lg(10m)+lg =lg=lg 10=1,所以x=0.
探究点三
例3　解:(1)∵lg 2=m,lg 3=n,∴10m=2,10n=3,
∴100m-2n=(102)m-2n=102m-4n====.
(2)∵3b=5,∴b=log35.又log32=a,∴log3=log3(2×3×5)=(log32+log33+log35)=(a+b+1).
变式　(1)D　(2)B　[解析] (1)由5m=9得m=log59=log532=2log53,∴log53=.故选D.
(2)log5270=log527+log510=3log53+log52+1=3a++1.故选B.

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