资源简介

1.2　利用二分法求方程的近似解
【学习目标】
1.探索用二分法求方程近似解的思路,并会画程序框图.
2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解,并知道用二分法求方程近似解具有一般性.
◆ 知识点一　二分法的概念
对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条　　　　　　,f(a)·f(b)<0,则每次取区间的　　　　,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法叫作二分法.
【诊断分析】 区间(a,b)的中点是什么 它是点还是数
◆ 知识点二　用二分法求方程近似解的步骤
用二分法求方程f(x)=0近似解的步骤如图所示.
(1)“初始区间”是一个两端点函数值　　　　的区间.
(2)新区间的一个端点是原区间的　　　　,另一端点是原区间两端点中的一个,并且新区间两端点的函数值　　　　.
(3)方程的解满足要求的精确度且选取区间内的　　　　数作为方程的近似解.
【诊断分析】 初始区间选的不同,会影响最终的计算结果吗
◆ 探究点一　二分法应用条件的考查
例1 (1)下列图象所对应的函数中,不能用二分法求零点的是 (　 )
　 　　　　 A　　　　　　　　B
　 　　　 C　　　　　　　　D
(2)设函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程f(x)=0在区间(1,2)内近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根所在的区间是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2) D.不能确定
(3)[2023·福州格致中学高一期中] 下列函数中不能用二分法求零点的是 (　 )
A.f(x)=3x+1 B.f(x)=x3
C.f(x)=x2 D.f(x)=ln x
[素养小结]
运用二分法求函数的零点应具备的条件:
(1)函数图象在零点附近连续不断;
(2)在该零点附近,左、右两侧的函数值异号.
只有同时满足上述两个条件,才可用二分法求函数零点.
◆ 探究点二　利用二分法求方程的近似解
例2 用二分法求方程2x=6-3x的近似解.(精确度为0.1)
变式 (1)用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解(精确度为0.1).
(2)用二分法求函数f(x)=2x3+3x-3在(0,1)上的一个零点,至少要经过多少次等分后精确度达到0.1
[素养小结]
利用二分法求方程的近似解时,取不同的初始区间,其计算就有繁简之分,一般地,可用特殊值代入计算并结合估算寻找确定一个使计算最简单的初始区间.
拓展 已知f(x)=ln x+x-2,用二分法求方程f(x)=0的一个近似解(精确度为0.5).
1.2　利用二分法求方程的近似解
【课前预习】
知识点一
连续的曲线　中点
诊断分析
解:我们把称为区间(a,b)的中点,区间的中点是数不是点.
知识点二
(1)异号　(2)中点　异号　(3)任意一个
诊断分析
解:不会.初始区间的选定,往往需要通过分析函数的性质和试算,长度应尽可能的小.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)B　(2)B　(3)C　[解析] (1)用二分法求函数零点的近似值仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.观察所给的四个函数的图象,它们与x轴都有交点,但B中的图象在x轴上或x轴上方,即函数在零点附近的函数值不变号,无法用二分法.故选B.
(2)∵f(1.5)·f(1.25)<0,且f(x)在R上是增函数,∴方程的根所在的区间是(1.25,1.5).
(3)易知选项C中的函数f(x)=x2的零点为x=0,而在零点左右两侧的函数值都为正数,故不能用二分法求零点;选项A,B,D中的函数,它们在各自的零点左右两侧的函数值符号相反,可以用二分法求函数的零点.故选C.
探究点二
例2　解:设f(x)=2x+3x-6,在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x和y=6-3x的图象,观察图象可以发现,它们的图象仅有一个交点,即方程2x=6-3x有唯一解,设为x0.因为f(1)=2+3-6=-1<0,f(2)=4+6-6=4>0,所以f(1)·f(2)<0,即方程2x=6-3x的解x0∈(1,2).利用二分法,可以得到下表:
区间(a,b) f(a) f(b) 区间中点 f
(1,2) f(1)<0 f(2)>0 1.5 f(1.5)≈1.33>0
(1,1.5) f(1)<0 f(1.5)>0 1.25 f(1.25)≈0.13>0
(1,1.25) f(1)<0 f(1.25)>0 1.125 f(1.125)≈-0.44<0
(1.125,1.25) f(1.125)<0 f(1.25)>0 1.187 5 f(1.187 5)≈-0.16<0
因为|1.187 5-1.25|=0.062 5<0.1,所以当精确度为0.1时,方程的解x0∈(1.187 5,1.25),因此可选取这一区间上的任意一个数作为方程的近似解,如可取x0=1.2作为方程2x=6-3x的一个近似解.
变式　解:(1)令f(x)=2x3+3x-3,经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,f(0)·f(1)<0,
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点,
即方程f(x)=0在(0,1)内有解.
取区间(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)=-1.25<0,
又f(1)>0,所以方程f(x)=0在(0.5,1)内有解.
如此下去,得到方程f(x)=0的正实数根所在的区间,如表:
区间(a,b) f(a) f(b) 区间中点 f
(0,1) f(0)<0 f(1)>0 0.5 f(0.5)<0
(0.5,1) f(0.5)<0 f(1)>0 0.75 f(0.75)>0
(0.5,0.75) f(0.5)<0 f(0.75)>0 0.625 f(0.625)<0
(0.625,0.75) f(0.625)<0 f(0.75)>0 0.687 5 f(0.687 5)<0
因为|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1,所以方程2x3+3x-3=0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.7.
(2)设至少需要n次等分,n∈N+,
由题意知,<0.1,即2n>10,n∈N+,
解得n≥4,所以至少需要4次等分.
拓展　解:由题意知f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,
所以f(1)·f(2)<0,即方程f(x)=0在区间(1,2)内有解.
利用二分法,可得到下表:
区间(a,b) f(a) f(b) 区间中点 f
(1,2) f(1)<0 f(2)>0 1.5 f(1.5)<0
(1.5,2) f(1.5)<0 f(2)>0 1.75 f(1.75)>0
因为|1.75-1.5|=0.25<0.5,所以方程f(x)=0的一个精确度为0.5的近似解可取为1.6.

展开更多......

收起↑