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§2　实际问题中的函数模型
2.1　实际问题的函数刻画
2.2　用函数模型解决实际问题
【学习目标】
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.
2.在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.
◆ 知识点一　实际问题的函数刻画
根据实际问题提供的两个变量间的关系是否确定,可把构建函数模型问题分为两类:
一是构建确定的函数模型,因为变量间的关系确定,所以一般通过对变量的分析,寻求相等关系来建立函数模型;
二是构建最佳的函数模型,因为实际问题中的变量间的关系并不完全确定,所以一般是通过两个变量间的几组对应值,找到一个最恰当的函数模型.
◆ 知识点二　用函数模型解决实际问题
1.解应用题的一般思路
2.求解应用题的一般步骤(四步法)
(1)读题审题:读懂和深刻理解题意,译为数学语言,找出主要关系;
(2)建模:把主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题;
(3)求解:化归为常规数学问题,选择合适的数学方法求解;
(4)评价:对结果进行验证或评估,对错误加以修正,最后将结果应用于实际问题,作出解释或验证.
◆ 知识点三　常见的函数模型
许多实际问题,一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数及其性质,使问题得到解决.
常见函数模型有:
①正比例函数模型:y=kx(k≠0);
②反比例函数模型:y=(k≠0);
③一次函数模型:y=kx+b(k≠0);
④二次函数模型:y=ax2+bx+c(a≠0);
⑤指数函数模型:y=m·ax+b(a>0,且a≠1,m≠0);
⑥对数函数模型:y=mlogax+c(m≠0,a>0,且a≠1);
⑦幂函数模型:y=k·xn+b(k≠0).
【诊断分析】 选择函数模型时应注意什么问题
◆ 探究点一　通过图象确定函数关系
例1 有一组数据如下表所示:
t 1.9 3.0 4.0 5.1 6.1
v 1.5 4.0 7.5 12.0 18.0
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最合适的一个是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.v=2t-2 B.v=
C.v=log0.5t D.v=log3t
变式 (1)在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组数据.
x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12
y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 (　 )
A.y=2x B.y=log2x
C.y=(x2-1) D.y=2.61x
(2)(多选题)[2023·贵阳高一期末] 某公司总结了在30天内A商品的销售价格P(单位:元)与时间t(单位:天)的关系,如图所示,A商品的销售量Q(单位:万件)与时间t的关系是Q=40-t(0A.第15天的日销售额最大
B.第20天的日销售额最大
C.最大日销售额为120万元
D.最大日销售额为125万元
[素养小结]
通过图象确定函数关系的一般步骤
(1)以所给数据作为点的坐标,在平面直角坐标系中绘出各点;
(2)依据点的整体特征,猜测这些点所满足的函数关系,并设出其解析式;
(3)取特殊数据代入,求出函数的具体解析式;
(4)将其他点的坐标代入函数解析式,检验所得函数是否符合.
◆ 探究点二　用已知函数模型解决实际问题
例2 某化工企业探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量r0=2 mg/m3,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量r1=1.94 mg/m3,第n次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量rn(单位:mg/m3)可由函数rn=r0-(r0-r1)·50.5n+p(p∈R,n∈N*)给出,其中n是指改良工艺的次数.
(1)试求改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量rn的函数解析式.
(2)依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08 mg/m3.试问:至少改良多少次工艺后才能使企业所排放的废气中含有的污染物数量达标 (参考数据:lg 2≈0.301)
变式 某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间
(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式,讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.
[素养小结]
应用已知函数模型解题,有两种常见题型:(1)直接依据题中的函数解析式解决相关问题;(2)若函数解析式中含有参数,则将题中相应数据代入解析式,求得参数,从而确定函数解析式,最后解决问题.
◆ 探究点三　函数模型的选择
例3 [2023·山西大同高一期末] 某科研小组对面积为8000平方米的某池塘内的一种生物的生长规律进行研究,开始时在此池塘投放了一定面积的该生物(假设该池塘投放前不含该生物),通过试验得到该生物的覆盖面积y(单位:平方米)与所经过的时间x(单位:月,x∈N)之间的一组数据,如下表:
x 0 2 3 4
y 4 25 62.5 156.3
为描述y与x的关系,提供了以下三种函数模型:y=k·ax(k>0,a>1);y=p+q(p>0);y=ax+b.
(1)试判断哪个函数模型更适合,并求出该模型的函数解析式;
(2)约经过几个月,此生物能覆盖整个池塘
(参考数据:lg 2≈0.301)
变式 芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气,又可美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行了市场调研.调研得知,从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/千克)与上市时间t(单位:天)的数据情况如表:
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根据表中数据,从Q=at+b(a≠0),Q=at2+bt+c(a≠0),Q=a·bt(a≠0,b>0且b≠1),Q=alogbt(a≠0,b>0且b≠1)四个函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系,并说明理由;
(2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
[素养小结]
当一组数据所对应的函数关系不确定时,可根据题设条件,将这几个函数模型求出来,再根据题中的其他条件,对这几个函数模型的可靠性作出评估,选出与数据最吻合的函数模型.
§2　实际问题中的函数模型
2.1　实际问题的函数刻画
2.2　用函数模型解决实际问题
【课前预习】
知识点三
诊断分析
解:选择函数模型时,要让函数的性质、图象与所解决的问题基本吻合.先根据散点图选取适当的函数模型,然后通过待定系数法求解析式,最后通过数据验证.
【课中探究】
探究点一
例1　B　[解析] 根据所给数据,作出散点图,如图所示:
由图可知,v=最合适.故选B.
变式　(1)B　(2)AD　[解析] (1)由表格数据可知随着x的增大,y逐渐增大,且增长的速度越来越慢,只有B符合题意.
(2)当0≤t≤20时,设P=at+b,因为图象过点(0,2),(20,6),所以解得所以P=t+2.当20≤t≤30时,设P=mt+n,因为图象过点(20,6),(30,5),所以解得所以P=-t+8.综上可得,P=设第t天的销售额为g(t),
因为Q=-t+40(0所以g(t)=P·Q=
整理可得g(t)=
当0探究点二
例2　解:(1)由题意得r0=2,r1=1.94,
且r1=r0-(r0-r1)·50.5+p,
所以1.94=2-(2-1.94)×50.5+p,解得p=-0.5,
所以rn=2-0.06×50.5n-0.5(n∈N*),
故改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量rn的函数解析式为rn=2-0.06×50.5n-0.5(n∈N*).
(2)由题意可得,rn=2-0.06×50.5n-0.5≤0.08,整理得50.5n-0.5≥,即50.5n-0.5≥32,两边同时取对数,得0.5n-0.5≥,整理得n≥2×+1≈5.306,
因为n∈N*,所以n≥6,故至少改良6次工艺后才能使企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
变式　解:(1)由题意知,当30f(x)=2x+-90>40,即x2-65x+900>0,
解得x<20或x>45,∴45∴当x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.
(2)当0当30∴g(x)=
y=0.02x2-1.3x+58的图象的对称轴为直线x=32.5,
当x=30时,y=0.02×302-1.3×30+58=37=g(30),
所以当0当32.5说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间单调递减;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间单调递增;有32.5%的人自驾时,人均通勤时间最少.
探究点三
例3　解:(1)函数y=k·ax(k>0,a>1)刻画的是增长速度越来越快的变化规律,函数y=p+q(p>0)刻画的是增长速度越来越慢的变化规律,
函数y=ax+b刻画的是增长速度不变的规律,
根据表中的数据可知该生物增长的速度越来越快,
所以函数模型y=k·ax(k>0,a>1)更适合.
根据题意得可得所以y=4×,x∈N.经检验可知,当x=3时,y=4×=62.5,当x=4时,y=4×≈156.3,符合题意.故y=4×,x∈N.
(2)设约经过x个月,此生物能覆盖整个池塘,则4×=8000,解得x=2000= = ≈8.294.显然y=4×在定义域上是增函数,经过8个月此生物没能覆盖整个池塘,所以约经过9个月此生物能覆盖整个池塘.
变式　解:(1)选择Q=at2+bt+c(a≠0),由所提供的数据可知,刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是单调函数,函数Q=at+b(a≠0),Q=a·bt(a≠0,b>0且b≠1),Q=alogbt(a≠0,b>0且b≠1)均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,
所以应选用二次函数Q=at2+bt+c(a≠0)进行描述.
(2)将表格所提供的三对数据分别代入Q=at2+bt+c,
可得解得
所以芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=t2-t+.
故当t=-=150(天)时,芦荟种植成本最低,最低为×1502-×150+=100(元/千克).

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