资源简介

§3　用样本估计总体分布
3.1　从频数到频率
3.2　频率分布直方图
【学习目标】
1.了解频数与频率的关系.
2.掌握频率分布直方图的画法.
3.会用频率分布直方图或频率折线图估计总体分布.
4.会利用频率分布直方图或频率折线图解决实际问题.
◆ 知识点一　频数与频率
1.频数:在统计学中,将样本按照一定的方法分成若干组,每个组内含有这个样本的个体的　　　　叫作频数.
2.频率:某个组的频数与总数的比值叫作这个组的频率,即=频率.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)总数不变的情况下,某个组的频数越大,则该组的频率也越大. (　 )
(2)每个组的频数之比与频率之比是一样的. (　 )
◆ 知识点二　频率分布直方图
1.概念
图中每个小矩形的底边长是该组的　　　　,每个小矩形的高是该组的频率与组距的比,从而每个小矩形的面积等于该组的　　　　,即每个小矩形的面积=组距×=频率.我们把这样的图叫作频率分布直方图.频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.
2.绘制频率分布直方图的步骤
(1)计算极差
极差即一组数据中　　　　　　的差.
(2)确定组距与组数
①组距与组数的确定没有固定的标准,常常需要一个尝试与选择的过程.
②组距和样本容量有关,一般样本容量越大,分的组也越多,当样本容量不超过120时,按照数据的多少,常分为5组~12组.
③极差、组距、组数之间有如下关系:
设k=　　　　　　,若k∈Z,则组数为k;若k Z,则组数为大于k的最小整数.
(3)将数据分组
按组距将数据分组,分组时,各组一般均为左闭右开区间,最后一组全是闭区间.
(4)列频率分布表
(5)画频率分布直方图
画图时,应以横轴表示分组,纵轴表示各组频率与组距的比值,其相应组距上的频率应该等于　　　　　　　　.
◆ 知识点三　频率折线图
在频率分布直方图中,按照分组原则,再在左边和右边各加一个区间,从所加的左边区间的　　　　开始,用线段依次连接各个矩形的　　　　　　,直至右边所加区间的中点,就可以得到一条折线,称之为频率折线图.
【诊断分析】 样本容量越大,频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线吗
◆ 探究点一　频数与频率
例1 (1)某班学生在一次数学考试中各分数段以及人数为:[0,80),2人;[80,90),6人;[90,100),4人;[100,110),10人;[110,120),12人;[120,130),5人;[130,140),4人;[140,150],2人.那么分数在[100,130)内的频数以及频率分别为 (　 )
A.27,0.56
B.20,0.56
C.27,0.6
D.13,0.29
(2)某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出400人参加笔试,再按笔试成绩择优选出100人参加面试.现随机抽取了24名笔试者的成绩,统计结果如下表所示:
分数段 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90]
人数 2 3 4 9 5 1
据此估计允许参加面试的分数线是 (　 )
A.90 B.85 C.80 D.75
(3)一个容量为n的样本,将其观测数据分成若干组,已知甲组的频数和频率分别为36和,则n=　　　　,频率为的乙组的频数x=　　　　.
[素养小结]
要解决频数与频率的问题,首先要明确几个关系,即各组的频数之和等于样本容量,各组的频率之和为1,频率=.
◆ 探究点二　画频率分布直方图和频率折线图
例2 已知一组样本数据:30,29,26,24,25,27,26,22,24,25,26,28,25,21,23,25,27,29,25,28.按[20.5,22.5),[22.5,24.5),[24.5,26.5),[26.5,28.5),[28.5,30.5]分成5组.
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图和频率折线图;
(3)根据频率分布直方图,估计总体中的数据出现在[23,28]内的频率.
[素养小结]
绘制频率分布直方图的关键点
(1)在画频率分布直方图时,横轴表示随机变量的取值,纵轴表示,这样每一组的频率都可以用该组的组距为底,为高的小矩形的面积来表示,其中,矩形的高==×频数;
(2)同一组数据,如果组距不同,得到的频率分布直方图也会不同.
◆ 探究点三　频率分布直方图的应用
[提问] 在频率分布直方图中,各小矩形的高度之比、面积之比都等于对应频率之比吗


例3 为了了解高一年级学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试.将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少 样本容量是多少
(2)若次数在110以上(含110次)为体能达标,则估计该校全体高一年级学生的体能达标率是多少
(3)样本中体能不达标的学生人数是多少
变式 (多选题)[2023·江西铜鼓中学高一月考] 供电部门对某社区1000户居民12月份人均用电情况进行统计后,按人均用电量(单位:kW·h)分为[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50]五组,整理得到如图所示的频率分布直方图,则有关这1000户居民,下列说法正确的是 (　 )
A.12月份人均用电量在[10,20)内的户数最多,有400户
B.12月份人均用电量在[20,30)内的有300户
C.12月份人均用电量不低于20 kW·h的有500户
D.在这1000户居民中任选1户做进一步调查,选到的居民的人均用电量在[30,40)内的概率为
[素养小结]
频率分布直方图的性质:
(1)因为小矩形的面积=组距×=频率,所以各小矩形的面积表示相应各组的频率,这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
(2)在频率分布直方图中,各小矩形的面积之和等于1.
(3)=样本容量.
拓展 为了解某市家庭用电量的情况,该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量(单位:kW·h),发现他们的月均用电量都在[50,350]内,按[50,100),[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350]分组后,画出频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值;
(2)求在被调查的用户中,月均用电量不少于250 kW·h的户数;
(3)为了既满足居民的基本用电需求,又提高能源的利用效率,市政府计划采用阶梯定价,希望使80%的居民缴费在第一档(费用最低),请给出第一档用电标准(单位:kW·h)的建议,并简要说明理由.(结果保留一位小数)
§3　用样本估计总体分布
3.1　从频数到频率
3.2　频率分布直方图
【课前预习】
知识点一
1.数目
诊断分析
(1)√　(2)√　[解析] (1)因为=频率,总数不变,所以某个组的频数越大,该组的频率也越大.
(2)因为=频率,总数不变,所以每个组的频数之比与频率之比相同.
知识点二
1.组距　频率
2.(1)最大值和最小值　(2)③　(5)该组上的矩形的面积
知识点三
中点　顶端中点
诊断分析
解:随着样本容量越来越大,所划分的区间个数也可以随之增多,而每个区间的长度则会相应随之减小,相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)C　(2)C　(3)144　24　[解析] (1)由题可得总人数为2+6+4+10+12+5+4+2=45,分数在[100,130)内的人数为10+12+5=27,所以所求频数为27,频率为=0.6.故选C.
(2)由题意得,参加面试的人数占总人数的比例为=0.25.结合表中的数据可得,成绩在[80,90]内人数的频率为=0.25,所以估计允许参加面试的分数线为80.故选C.
(3)由题意得=,所以n=36×4=144,同理=,解得x=24.
探究点二
例2　解:(1)频率分布表如下:
分组 频数 频率
[20.5,22.5) 2 0.1 0.05
[22.5,24.5) 3 0.15 0.075
[24.5,26.5) 8 0.4 0.2
[26.5,28.5) 4 0.2 0.1
[28.5,30.5] 3 0.15 0.075
(2)由(1)中的频率分布表可得频率分布直方图和频率折线图,如图所示.
(3)由频率分布表和频率分布直方图得,样本数据出现在[23,28]内的频率为0.15+0.4+0.2=0.75,所以可以估计总体中的数据出现在[23,28]内的频率为0.75.
探究点三
提问 解:等于.
例3　解:(1)由题意可知,第二小组的频率为=0.08,
又第二小组的频数为12,所以样本容量为=150.
(2)由频率分布直方图可估计该校高一年级学生的体能达标率为×100%=88%.
(3)由(1)(2)知体能达标率为88%,样本容量为150,所以体能不达标的学生频率为1-0.88=0.12,
所以样本中体能不达标的学生人数为150×0.12=18.
变式　ABC　[解析] 根据频率分布直方图知,12月份人均用电量在[10,20)内的户数最多,有1000×0.04×10=400(户),A正确;12月份人均用电量在[20,30)内的户数为1000×0.03×10=300,B正确;12月份人均用电量不低于20 kW·h的频率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5,有1000×0.5=500(户),C正确;人均用电量在[30,40)内的有0.01×10×1000=100(户),所以在1000户居民中任选1户,选到的居民的人均用电量在[30,40)内的概率为=,D错误.故选ABC.
拓展　解:(1)因为(0.002 4+0.003 6+a+0.004 4+0.002 4+0.001 2)×50=1,所以a=0.006.
(2)根据频率分布直方图可知月用电量不少于250 kW·h的频率为(0.002 4+0.001 2)×50=0.18,所以月用电量不少于250 kW·h的户数为100×0.18=18.
(3)设月用电量在[50,t)内的频率为0.8,即第一档用电标准为t kW·h.
因为前三组的频率之和为(0.002 4+0.003 6+0.006)×50=0.6<0.8,
前四组的频率之和为(0.002 4+0.003 6+0.006+0.004 4)×50=0.82>0.8,所以t∈[200,250),
所以t=200+≈245.5(kW·h).

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