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§4　用样本估计总体的数字特征
4.1　样本的数字特征
【学习目标】
1.会求样本的众数、中位数、平均数、极差、方差和标准差.
2.理解样本的数字特征的意义和作用,会用样本的数字特征估计总体的数字特征,作出合理解释和决策.
◆ 知识点　平均数、中位数、众数及极差、方差、标准差
数字特征 定义
平均数 指这组数据的平均值.一般地,n个数据x1,x2,…,xn的平均数记为,其计算公式为=　　　　　　　　　　.
中位数 把一组数据按　　　　的顺序排列后,　　　　的那个数据为这组数据的中位数,它使数据被分成的两部分的数据量是一样的
众数 一组数据中出现次数　　　　的数据
极差 一组数据中　　　　　　　　　　的差称为这组数据的极差
方差 方差刻画的是数据偏离平均数的　　　　程度.如果一组数据是x1,x2,…,xn,这组数据的平均数记为,方差记为s2,则s2=　　　　　　　　　　
标准差 方差的算术平方根为标准差. s==　　　　　　　　　　　　
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在两组数据中,平均数较大的一组方差较大. (　 )
(2)平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据偏离平均数的离散程度. (　 )
(3)一组数据的众数、中位数、平均数均是唯一的. (　 )
◆ 探究点一　数字特征的计算
例1 (1)(多选题)甲、乙两名球员练习罚球,每人练习10组,每组罚球20个,命中个数如下所示:
甲:20,19,17,18,18,16,17,15,20,20
乙:18,19,13,18,19,20,20,20,17,16
则下列结论正确的是 (　 )
A.甲数据的极差比乙数据的极差小
B.甲数据的中位数与乙数据的中位数相等
C.甲数据的平均数与乙数据的平均数相等
D.甲数据的方差是2.8
(2)(多选题)某学校有1000名学生,为更好地了解学生的身体健康情况,随机抽取了100名学生进行测试,将测试成绩分成[50,60),[60,70),…,[90,100]五组,测试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的有 (　 )
A.频率分布直方图中a的值为0.005
B.估计这100名学生测试成绩的中位数约为77
C.估计这100名学生测试成绩的众数为80
D.估计该校全部学生测试成绩落在[60,70)内的人数为160
(3)五个数1,2,3,4,a的平均数是3,则这五个数的标准差是　　　　.
[素养小结]
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”,其中众数和中位数容易计算,且不受少数几个极端值的影响,但只能表达样本数据中的少量信息.平均数表达了数据更多的信息,但受样本中每个数据的影响,越极端的数据对平均数的影响越大,当一组数据中个别数据较大时,可用中位数描述其集中趋势.
◆ 探究点二　数字特征的应用
例2 个体户张某经营一家餐饮店,下面是该餐饮店所有工作人员某月的工资表.
工作人员 工资
老板张某 30 000元
大厨老张 4500元
二厨小马 3500元
采购员小王 4000元
杂工李阿姨 3200元
服务生小明 3200元
会计小何 4100元
(1)计算所有工作人员该月的平均工资.
(2)由(1)计算出的平均工资能否反映该餐饮店打工人员这个月收入的一般水平 为什么
(3)去掉老板张某的工资后,再计算平均工资,这能代表该餐饮店打工人员当月收入的一般水平吗
(4)根据以上计算,结合统计的观点,你对(3)的结果有什么看法
变式 甲、乙两台机床同时加工直径为100 cm的零件,为了检验质量,各从中抽取6件测量其直径(单位:cm),所得数据分别记录如下:
甲:99　100　98　100　100　103
乙:99　100　102　99　100　100
(1)分别计算两组数据的平均数及标准差;
(2)根据计算结果判断哪台机床加工的零件质量更稳定.
[素养小结]
(1)平均数、中位数与众数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量.但当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往更能反映这组数据的集中趋势.
(2)方差、标准差描述了数据相对平均数的离散程度.标准差越大,数据越分散,稳定性就越差;标准差越小,数据越集中,稳定性就越好.
拓展 某科研课题组通过一款手机APP软件,调查了某市2000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”),得到频率分布直方图如图.
(1)估计样本的中位数(保留一位小数);
(2)根据跑步爱好者的周跑量,将跑步爱好者分成三类,不同类别的跑步爱好者的周跑量及购买的装备的价格如下表:
周跑量 小于20 km 不小于20 km 且小于40 km 不小于40 km
类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者
装备价格(单位:元) 2500 4000 4500
根据以上数据,估计该市每名跑步爱好者购买装备平均需要花费多少元
§4　用样本估计总体的数字特征
4.1　样本的数字特征
【课前预习】
知识点
(x1+x2+…+xn)　从小到大　“中间”　最多　最大值与最小值　离散　[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]　
诊断分析
(1)×　(2)√　(3)×　[解析] (1)平均数与方差没有必然关系.
(2)根据平均数的定义与方差的定义可知正确.
(3)众数可以不止一个,其余是唯一的.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)ACD　(2)AB　(3)　[解析] (1)甲数据的最大值为20,最小值为15,则极差为5,乙数据的最大值为20,最小值为13,则极差为7,所以A正确;甲数据的中位数为=18,乙数据的中位数为=18.5,所以B不正确;甲数据的平均数=×(20+19+17+18+18+16+17+15+20+20)=18,乙数据的平均数=×(18+19+13+18+19+20+20+20+17+16)=18,所以C正确;甲数据的方差为×[(20-18)2+(19-18)2+(17-18)2+(18-18)2+(18-18)2+(16-18)2+(17-18)2+(15-18)2+(20-18)2+(20-18)2]=×28=2.8,所以D正确.故选ACD.
(2)对于A,由频率分布直方图可知10(2a+3a+7a+6a+2a)=1,解得a=0.005,所以A正确;对于B,由频率分布直方图可知,10×5×0.005=0.25<0.5,10×12×0.005=0.6>0.5,设这100名学生测试成绩的中位数为x,则0.25+7×0.005(x-70)=0.5,解得x≈77,所以B正确;对于C,由频率分布直方图可知,测试成绩在[70,80)内的人数最多,所以众数的估计值为=75,所以C错误;对于D,由频率分布直方图可知,测试成绩在[60,70)内的频率为3×0.005×10=0.15,所以估计该校全部学生测试成绩落在[60,70)内的人数为0.15×1000=150,所以D错误.故选AB.
(3)由=3,得a=5.由方差s2=×[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2,得标准差s=.
探究点二
例2　解:(1)所有工作人员该月的平均工资是×(30 000+4500+3500+4000+3200+3200+4100)=7500(元).
(2)由(1)计算出的平均工资不能反映该餐饮店打工人员当月收入的一般水平,可以看出,除了老板张某外,其余人员的工资都低于平均工资,因为老板张某的工资特别高,所以他的工资对平均工资的影响较大,同时他也不是打工人员.
(3)去掉老板张某工资后的平均工资为×(4500+3500+4000+3200+3200+4100)=3750(元),该平均工资能代表该餐饮店打工人员当月收入的一般水平.
(4)从本题的计算可以看出,个别特殊值对平均数有很大的影响,因此在选择样本时,样本中尽量不含特殊数据.
变式　解:(1)=×(99+100+98+100+100+103)=100(cm),=×(99+100+102+99+100+100)
=100(cm).
=×[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=,所以s甲= cm.
=×[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1,所以s乙=1 cm.
(2)由(1)知,两台机床加工的零件直径的平均数相同,
又s甲>s乙,所以乙机床加工的零件质量更稳定.
拓展　解:(1)∵5×(0.02+0.024+0.024)=0.34<0.5,
5×(0.02+0.024+0.024+0.036)=0.52>0.5,
∴估计中位数位于区间[25,30)内.
设样本的中位数为x km,则0.34+(x-25)×0.036=0.5,
解得x≈29.4,∴估计样本的中位数约为29.4 km.
(2)根据题意,样本中休闲跑者共有5×(0.02+0.024)×2000=440(人),核心跑者共有5×(0.024+0.036+0.044+0.032)×2000=1360(人),精英跑者共有5×(0.012+0.004+0.004)×2000=200(人),
故估计该市每名跑步爱好者购买装备的平均花费为×(440×2500+1360×4000+200×4500)=3720(元).

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