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4.2　分层随机抽样的均值与方差
【学习目标】
1.了解分层随机抽样的均值公式与方差公式的推导过程.
2.会求分层随机抽样的均值与方差.
◆ 知识点一　分层随机抽样的平均数
1.由两层构成的样本平均数
一般地,将样本a1,a2,…,am和样本b1,b2,…,bn合并成一个新样本,则这个新样本的平均数为=　　　　·+　　　·.
于是,当已知两层构成的新样本中每层的平均数分别为和时,可得这个新样本的平均数为　　　　　　　.
记w1=,w2=,则这个新样本的平均数为w1+w2,其中　　　　　　称为权重.
2.含n层的样本平均数
设样本中不同层的平均数和相应权重分别为,,…,和w1,w2,…,wn,则这个样本的平均数为w1+w2+…+wn.为了简化表示,引进求和符号,记作w1+w2+…+wn=　　　　　　.
【诊断分析】 某次数学考试中,若高一(1)班的平均成绩为106分,高一(2)班的平均成绩为102分,则两个班的平均成绩是104分吗
◆ 知识点二　分层随机抽样的方差
设样本中不同层的平均数分别为,,…,,方差分别为,,…,,相应的权重分别为w1,w2,…,wn,则这个样本的方差为s2=　　　　　　　　,其中为这个样本的平均数.
◆ 探究点一　分层随机抽样的均值
例1 在一次演讲比赛中,评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分,各项成绩均按百分制打分,然后再按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%的比例计算选手的综合成绩(百分制).已知进入决赛的前两名选手的单项成绩(单位:分)如下表所示:
选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果
A 85 95 95
B 95 85 95
请计算这两名选手的综合成绩.
变式 在例1的条件下,两名选手的单项成绩都是两个95分与一个85分,为什么他们的综合成绩不同 如果按演讲内容占40%、演讲能力占50%、演讲效果占10%的比例计算选手的综合成绩,那么这两名选手的综合成绩分别是多少分
[素养小结]
求分层随机抽样的均值一般有以下几步:(1)确定样本由几层构成;(2)分别计算各层的平均数及对应的权重;(3)根据分层随机抽样的均值公式求解.
◆ 探究点二　分层随机抽样的方差
例2 在某项活动中,设计了由7名评委打分和8名热心观众打分的环节,经统计计算得选手甲的得分情况如下:
平均数 方差
评委打分情况 8.7 0.01
热心观众打分情况 9.0 1.40
(1)求选手甲得分的平均数;
(2)求选手甲得分的方差(结果保留两位小数).
变式 已知某省二、三、四线城市的数量之比为1∶3∶6,且调查得知该省所有城市的房产均价为1.2万元/平方米,房价方差为20,二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米,1.8万元/平方米,0.8万元/平方米,三、四线城市房价的方差分别为10,8,则二线城市的房价的方差为　　　　.
[素养小结]
分层随机抽样的方差的计算通常有三步:(1)确定总平均数;(2)确定各层数据的平均数和方差;(3)根据公式求出样本数据的方差.
4.2　分层随机抽样的均值与方差
【课前预习】
知识点一
1.　　+　w1,w2　2.wi
诊断分析
解:若两个班人数相同,则两个班的平均成绩是104分;若两个班人数不同,则两个班的平均成绩不是104分.
知识点二
wi[+(-)2]
【课中探究】
探究点一
例1　解:因为演讲内容、演讲能力、演讲效果的权重分别是50%,40%,10%,所以选手A的综合成绩是85×50%+95×40%+95×10%=42.5+38+9.5=90(分),选手B的综合成绩是95×50%+85×40%+95×10%=47.5+34+9.5=91(分).
变式　解:选手A的85分是演讲内容,选手B的85分是演讲能力,根据题意可知,演讲内容的权重比演讲能力的权重大,所以两名选手的综合成绩不同.如果按演讲内容占40%、演讲能力占50%、演讲效果占10%的比例计算选手的综合成绩,那么选手A的综合成绩是85×40%+95×50%+95×10%=34+47.5+9.5=91(分),选手B的综合成绩是95×40%+85×50%+95×10%=38+42.5+9.5=90(分).
探究点二
例2　解:(1)由题意知,评委和热心观众的权重分别为,,
则选手甲得分的平均数=×8.7+×9.0=8.86.
(2)选手甲得分的方差s2=×[0.01+(8.7-8.86)2]+×[1.40+(9.0-8.86)2]≈0.77.
变式　118.52　[解析] 设二线城市的房价的方差为s2,由题意可知20=[s2+(2.4-1.2)2]+×[10+(1.8-1.2)2]+×[8+(0.8-1.2)2],解得s2=118.52,即二线城市的房价的方差为118.52.

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