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4.3　百分位数
【学习目标】
1.理解百分位数的统计含义,会求总体的p分位数.
2.会求频率分布直方图中的p分位数.
◆ 知识点　百分位数
1.p分位数
一般地,当总体是连续变量时,给定一个百分数p∈(0,1),总体的p分位数有这样的特点:总体数据中的任意一个数　　　　　　它的可能性是p.
2.四分位数
25%,50%,75%分位数是三个常用的百分位数.把总体数据按照从小到大排列后,这三个百分位数把总体数据分成了4个部分,在这4个部分取值的可能性都是.因此这三个百分位数也称为总体的四分位数.
3.计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下:
第1步,按照　　　　排列原始数据.
第2步,计算i=　　　　.
第3步,若i不是整数,大于i的最小整数为j,则p分位数为第j项数据;若i是整数,则p分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)下表记录了某地区某天7时到18时的气温变化情况:
时间(时) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
气温(℃) 8 8 10 14 17 19 24 25 23 20 16 12
则这组数据的25%分位数是10 ℃. (　 )
(2)某8名病患的住院天数分别为2,3,3,4,7,8,10,18,则这组数据的50%分位数是7. (　 )
◆ 探究点一　百分位数的认识
例1 (1)(多选题)下列说法中正确的是 (　 )
A.50%分位数就是中位数
B.p分位数可以有单位
C.一个总体的四分位数有4个
D.样本容量越大,用p分位数估计总体就越准确
(2)位于25%分位数与50%分位数之间的数据约占总体数据的 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
(3)已知一个总体的p分位数是x,则 (　 )
A.x一定是总体中的某一个数据
B.x一定不是总体中的某一个数据
C.x一定是总体中的某两个数据的平均数
D.x要么是总体中的某个数据,要么是总体中某两个数据的平均数
[素养小结]
掌握总体的p分位数的概念和总体的四分位数的概念是解决这类问题的关键,25%,50%,75%分位数是三个常用的百分位数.
◆ 探究点二　百分位数的计算
例2 某机构统计了12位应届毕业生的起始月薪(单位:元),如下表:
毕业生编号 起始月薪 毕业生编号 起始月薪
1 2850 7 2890
2 2950 8 3130
3 3050 9 2940
4 2880 10 3325
5 2755 11 2920
6 2710 12 2880
计算这12位应届毕业生的起始月薪的85%分位数.
变式 例2中12位应届毕业生的起始月薪的50%分位数是多少
例3 [2024·河南南阳高一期末] 某高中对2023年高一上学期期中数学考试成绩(单位:分)进行分析,随机抽取100名学生,将成绩按照[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]分成6组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值,并估计该校高一上学期期中数学考试成绩的平均数;
(2)估计该校高一上学期期中数学考试成绩的80%分位数.
变式 一组样本数据的频率分布直方图如图所示,则估计此样本数据的50%分位数为　　　　.
[素养小结]
1.计算一组n个数据的p分位数要注意两点:一是要先将数据按从小到大重新排序;二是计算出i为整数时,所求p分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数,而不是第i项数据.
2.由频率分布直方图估计百分位数要注意频率分布直方图中各小矩形的面积,就是数据落在各组的频率.一般采用方程的思想,设出p分位数,根据其意义列出方程并求解即可.
拓展 小明班上有15名女生,其身高(单位:cm)的25%分位数为155 cm,后来转走了一位身高为165 cm的女生,则班上女生身高的25%分位数　　　　.(填“变大”“变小”或“不变”)
4.3　百分位数
【课前预习】
知识点
1.小于或等于　3.从小到大　np
诊断分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)把这组数据由小到大排序,得8,8,10,12,14,16,17,19,20,23,24,25,因为12×25%=3,所以这组数据的25%分位数为×(10+12)=11(℃).
(2)50%分位数即为中位数,则这组数据的50%分位数为×(4+7)=5.5.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)ABD　(2)B　(3)D　[解析] (1)一个总体的25%分位数,50%分位数,75%分位数是总体的四分位数,只有3个,所以C中说法错误.易知A,B,D中说法均正确.故选ABD.
(2)根据百分位数的定义可知选B.
(3)设总体中有n个数据,令i=np,若i是整数,则x是总体中的第i项与第(i+1)项数据的平均数;若i不是整数,大于i的最小整数为j,则x为总体中的第j项数据.故选D.
探究点二
例2　解:将这12位应届毕业生的起始月薪(单位:元)按从小到大重新排序,得2710,2755,2850,2880,2880,2890,2920,2940,2950,3050,3130,3325.
因为i=12×85%=10.2,所以这12位应届毕业生的起始月薪的85%分位数是3130元.
变式　解:因为i=12×50%=6,所以这12位应届毕业生的起始月薪的50%分位数是第6项和第7项数据的平均数,为=2905(元).
例3　解:(1)由0.005×20+0.005×20+0.007 5×20+0.02×20+a×20+0.002 5×20=1,解得a=0.01.
由频率分布直方图可知,数学成绩在[30,50)内的频率为0.005×20=0.1,在[50,70)内的频率为0.005×20=0.1,在[70,90)内的频率为0.007 5×20=0.15,在[90,110)内的频率为0.02×20=0.4,在[110,130)内的频率为0.01×20=0.2,在[130,150]内的频率为0.002 5×20=0.05,
所以估计该校高一上学期期中数学考试成绩的平均数是40×0.1+60×0.1+80×0.15+100×0.4+120×0.2+140×0.05=93(分).
(2)由(1)知样本中数学考试成绩在110分以下所占比例为0.1+0.1+0.15+0.4=0.75,在130分以下所占比例为0.75+0.2=0.95,
因此成绩的80%分位数一定位于[110,130)内.
由110+20×=115,估计该校高一上学期期中数学考试成绩的80%分位数为115分.
变式　　[解析] 样本数据低于10的比例为(0.02+0.08)×4=0.4,样本数据低于14的比例为0.4+0.09×4=0.76,所以此样本数据的50%分位数在[10,14)内,所以估计此样本数据的50%分位数为10+×4=.
拓展　不变　[解析] 当班上有15名女生时,由15×25%=3.75,知身高的25%分位数为第4项数据.当转走1人,剩下14人时,由14×25%=3.5,知身高的25%分位数仍为第4项数据,又165>155,所以班上女生身高的25%分位数不变.

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