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第五章　函数应用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
【学习目标】
1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.
2.结合具体函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.
◆ 知识点一　函数的零点
使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=x+1的零点是(-1,0). (　 )
(2)函数y=x2-2x-3有两个零点. (　 )
◆ 知识点二　零点存在定理
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即　　　　　　,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0　　　　　　解.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f(x)在区间[a,b]内满足f(a)·f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内无零点. (　 )
(2)f(x)在区间(a,b)内有一个零点,则f(a)·f(b)<0. (　 )
◆ 探究点一　由图象确定函数的零点
例1 (1)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)在[a,d]内有　　　　个零点.
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是 (　 )
A.a>0
B.c<0
C.(-1,0)是函数的一个零点
D.3是函数的一个零点
(3)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=x2-2x(x≥0),则函数f(x)的零点个数为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0 B.1
C.2 D.3
[素养小结]
由图象确定函数的零点个数主要有两种方法:
1.直接画出函数的图象,通过图象与x轴交点的个数确定零点个数.
2.将函数f(x)写成f(x)=h(x)-g(x)的形式,画出函数y=h(x)与y=g(x)的图象,根据两函数图象的交点个数判断方程h(x)=g(x)的根的个数,即可确定函数f(x)的零点个数.
◆ 探究点二　由方程的解求函数的零点
[提问] 当方程易得出解时,可通过　　　　得到对应函数的零点.
例2 求函数f(x)=(ax-1)(x-1)(a∈R)的零点.
变式 函数f(x)=的零点为　　　　.
[素养小结]
求函数y=f(x)的零点通常有两种方法:其一是令y=0,由对应方程的根求得函数的零点;其二是画出函数的图象,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
◆ 探究点三　函数零点的综合问题
角度1　判断函数零点个数
例3 求函数f(x)=3x- lox的零点个数.
变式 (1)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)上的零点个数是 (　 )
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)设函数f(x)=若f(-2)=f(0),f(-3)=1,则函数y=f(x)-x的零点个数为 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
[素养小结]
确定函数零点个数的方法:
(1)因式分解法:可转化为一元n次方程根的个数问题,一般采用因式分解法来解决.
(2)判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式法来判断根的个数.
(3)图象法:将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题,可用图象法解决.
(4)单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函数,那么函数在所给区间上只有一个零点.
角度2　判断函数零点所在的区间
例4 (1)函数f(x)=ln x+x-4的零点所在的区间为 (　 )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(5,6)
(2)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6
不求a,b,c的值,判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是 (　 )
A.(-3,-1)和(2,4)
B.(-3,-1)和(-1,1)
C.(-1,1)和(1,2)
D.(-∞,-3)和(4,+∞)
变式 (1)根据下表中的数据,可以判断方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为 (　 )
x -1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x+2 1 2 3 4 5
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
(2)若x0是函数f(x)=-的零点,则x0属于区间 (　 )
A. B.
C. D.
[素养小结]
(1)判断一个函数是否有零点,首先看函数f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,其次判断f(a)·f(b)<0是否成立,若成立,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)已知函数f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的曲线,若存在f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内有零点,若只有一个零点,则称此零点为变号零点.反过来,若f(a)与f(b)不变号,而是同号,即不满足f(a)·f(b)<0,也不能说函数f(x)在(a,b)内无零点,如f(x)=x2在[-1,1]上的图象是连续不断的曲线,且f(-1)·f(1)=1>0,但0是f(x)的零点.
角度3　由函数零点(或方程的解)的个数求参数问题
例5 (1)函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点,则实数a=　　　　.
(2)已知函数f(x)=的图象与直线y=k有三个不同的交点,则k的取值范围是 (　 )
A.(-4,-3) B.[-4,-3)
C.[-4,-3] D.(-4,-3]
变式 若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是 　　　　.
[素养小结]
解此类题的关键是将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题.求解时首先根据已知条件构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象,最后结合函数图象的交点个数确定参数的取值范围.
拓展 已知函数f(x)=logax-4x-1(a>0且a≠1)在上无零点,在上有零点,则实数a的取值范围为 (　 )
A. B.∪(1,+∞)
C. D.
第五章　函数应用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
【课前预习】
知识点一
横坐标
诊断分析
(1)×　(2)√　[解析] (1)零点不是点,是一个数,是函数图象与x轴交点的横坐标.
知识点二
f(a)·f(b)<0　至少有一个
诊断分析
(1)×　(2)×　[解析] (2)函数y=x2在区间(-2,2)内有零点,但f(-2)·f(2)>0.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)3　(2)D　(3)D　[解析] (1)由题图知函数f(x)在[a,d]内有3个零点.
(2)由题图可知a<0,c>0,∵函数图象的对称轴为直线x=1,函数图象与x轴的一个交点的坐标为(-1,0),∴函数图象与x轴的另一个交点的坐标为(3,0),∴3是函数的一个零点.故选D.
(3)根据题意可知x=2,x=0为f(x)的零点,因为奇函数的图象关于原点对称,所以x=-2也为f(x)的零点,所以f(x)的零点共有3个,故选D.
探究点二
提问 解方程
例2　解:①当a=0时,函数f(x)=-x+1.令-x+1=0,得x=1,则函数f(x)的零点为1.
②当a=1时,函数f(x)=(x-1)2.令(x-1)2=0,得x=1,则函数f(x)的零点为1.
③当a≠0且a≠1时,令(ax-1)(x-1)=0,得x=1或x=,则函数f(x)的零点为1,.
综上,当a=0或a=1时,函数f(x)的零点为1;当a≠0且a≠1时,函数f(x)的零点为1,.
变式　-2,e　[解析] 由f(x)=0,得或解得x=-2或x=e.所以函数f(x)的零点为-2,e.
探究点三
例3　解:令f(x)=0得3x=lox.
作出y=3x(x>0)和y=lox的图象,如图所示,
由图可知y=3x(x>0)和y=lox的图象有1个交点,
∴f(x)=3x-lox有1个零点.
变式　(1)B　 (2)B　[解析] (1)因为y=2x与y=x3-2在R上均为增函数,所以函数f(x)=2x+x3-2在R上是增函数,因此函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)上单调递增,又f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以f(x)在(0,1)上有1个零点.
(2)由f(-2)=f(0)得4-2b+c=c,所以b=2,由f(-3)=9-6+c=1,得c=-2,所以当x≤0时,f(x)=x2+2x-2.当x≤0时,由f(x)-x=x2+x-2=0,得x=-2或x=1(舍去).当x>0时,由f(x)-x=2-x=0,得x=2.因此方程f(x)-x=0只有两个解,即函数y=f(x)-x有两个零点.故选B.
例4　(1)B　(2)A　[解析] (1)易知f(x)=ln x+x-4在(0,+∞)上单调递增,又f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3-1>0,所以f(2)·f(3)<0,所以f(x)的零点在区间(2,3)内.故选B.
(2)易知f(x)=ax2+bx+c的图象是一条连续不断的曲线,因为f(-3)×f(-1)=6×(-4)=-24<0,所以f(x)在(-3,-1)内有零点,即方程ax2+bx+c=0在(-3,-1)内有根.同理方程ax2+bx+c=0在(2,4)内有根.故选A.
变式　(1)C　(2)B　[解析] (1)令f(x)=ex-x-2,则由表中数据知f(-1)=0.37-1=-0.63<0,f(0)=1-2=-1<0,f(1)=2.72-3=-0.28<0,f(2)=7.39-4=3.39>0,f(3)=20.09-5=15.09>0,因为f(1)·f(2)<0,f(x)的图象是连续不断的曲线,所以f(x)的一个零点在区间(1,2)内,即方程ex-x-2=0的一个根在区间(1,2)内.故选C.
(2)根据指数函数和幂函数的性质,可得>,<,所以f=->0,f=-<0,即f·f<0.又f(x)=-为R上的减函数,所以由零点存在定理,可得函数f(x)=-有且只有一个零点且零点x0∈.故选B.
例5　(1)0或-　(2)D　[解析] (1)若a=0,则f(x)=-x-1,易知函数f(x)仅有一个零点.若a≠0,则f(x)为二次函数,由f(x)仅有一个零点,得方程ax2-x-1=0有两个相等的实数根,故Δ=1+4a=0,即a=-.综上所述,当a=0或a=-时,函数f(x)仅有一个零点.
(2)作出f(x)=的图象和直线y=k,如图所示,由图可知-4变式　(0,2)　[解析] 由|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b,由题意可知函数y=|2x-2|与y=b的图象有两个交点,结合函数y=|2x-2|与y=b的图象(如图所示)可知0拓展　D　[解析] 函数f(x)在上无零点,在上有零点,即方程f(x)=0在上无实数根,在上有实数根,即方程logax=4x-1在上无实数根,在上有实数根.设g(x)=logax,h(x)=4x-1,则函数h(x)在R上为增函数,且h(0)=,h=,h(1)=1,h(x)=4x-1>0恒成立.若a>1,则当x∈(0,1)时,g(x)=logax<0,不满足条件,故0

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