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1.4　随机事件的运算
【学习目标】
1.理解并掌握随机事件的运算及事件的关系.
2.能够将随机事件的运算知识灵活运用到实际事件中.
◆ 知识点一　交事件与并事件
1.交事件
一般地,由事件A与事件B　　　　所构成的事件,称为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作　　　　(或AB).事件A∩B是由事件A和事件B所共有的样本点构成的集合.用Venn图表示,如图中阴影部分所示.
2.并事件
一般地,由事件A和事件B　　　　　发生(即A发生,或B发生,或A,B都发生)所构成的事件,称为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作　　　　(或A+B).事件A与事件B的并事件是由事件A或事件B所包含的样本点构成的集合.用Venn图表示,如图中阴影部分所示.
【诊断分析】 两个事件的并也可推广到n个事件的并,即A1∪A2∪…∪An,那么事件A1∪A2∪…∪An发生是什么意思呢
◆ 知识点二　互斥事件与对立事件
1.互斥事件
一般地,　　　　发生的两个事件A与B(A∩B= )称为互斥事件.用Venn图表示,如图所示.
2.对立事件
若A∩B= ,且　　　　,则称事件A与事件B互为对立事件.事件A的对立事件记作　　　　.用Venn图表示,如图所示.
【诊断分析】 如果事件A与事件B互斥,事件B与事件C互斥,那么事件A与事件C互斥,对吗
◆ 探究点一　交事件与并事件的理解
例1 (1)抛掷一枚质地均匀的骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.A∪B表示向上的点数是1或2
B.A∩B表示向上的点数是1或2
C.A∪B表示向上的点数是1或2或3
D.A∩B表示向上的点数是1或2或3
(2)对同一目标连续射击两次,设事件A表示“两次都击中”,事件B表示“两次都没击中”,事件C表示“恰有一次击中”,事件D表示“至少有一次击中”,下列关系不正确的是 (　 )
A.A∩D=A B.B∩C=
C.A∪C=D D.A∪B=B∪D
变式 盒子里有除颜色外完全相同的6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A表示“3个球中有1个红球2个白球”,事件B表示“3个球中有2个红球1个白球”,事件C表示“3个球中至少有1个红球”,事件D表示“3个球中既有红球又有白球”.
问:(1)事件D与A,B是什么运算关系
(2)事件C与A的交事件是什么
(3)设事件E表示“3个球中至少有1个白球”,那么事件C与E的交事件是什么
[素养小结]
进行事件的运算时,一要紧扣运算的定义,二要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果.必要时可列出全部的试验结果进行分析,也可类比集合的关系和运算用Venn图分析.
◆ 探究点二　互斥事件与对立事件的判断
例2 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数都从1到10各10张)中任意抽取1张,判断下列给出的每对事件是否是互斥事件和对立事件,并说明理由.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
变式 从3名男生和2名女生中任选2名同学参加志愿者活动,判断下列给出的每对事件是否是互斥事件和对立事件,并说明理由.
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
[素养小结]
(1)判断两个事件是否为互斥事件,主要看它们在一次试验中能否同时发生,若不能同时发生,则这两个事件是互斥事件,否则不是互斥事件.
(2)判断两个事件是否为对立事件,主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件:一是不能同时发生;二是必有一个发生.
拓展 袋中有红、白两种颜色的球各10个,某人做无放回地抽样试验,连续抽取2次,每次抽取一个球.设Ai表示“第i次抽到红球”(i=1,2).试用Ai及表示下列事件:
(1)2次都抽到红球;
(2)第1次抽到红球,第2次抽到白球;
(3)至少有1次抽到红球.
◆ 探究点三　事件运算的综合应用
例3 有一红一绿两个正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两个正四面体玩具的试验,观察正四面体玩具朝下的点数,用(x,y)表示一次试验的结果,其中x表示红色正四面体玩具朝下的点数,y表示绿色正四面体玩具朝下的点数.设事件A表示“红色正四面体玩具朝下的点数为4”,B表示“两个正四面体玩具朝下的点数相等”,C表示“两个正四面体玩具朝下的点数之差的绝对值小于2”,D表示“两个正四面体玩具朝下的点数之和不大于4”,E表示“两个正四面体玩具朝下的点数之和不小于5”,F表示“两个正四面体玩具朝下的点数之和等于8”,G表示“两个正四面体玩具朝下的点数为相邻的整数”.
(1)写出试验的样本空间以及用样本点表示上述各事件.
(2)事件A与D,D与E之间各有什么关系
(3)事件A与事件B的交事件与事件F有什么关系 事件B与事件G的并事件与事件C有什么关系
变式 设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来.
(1)三个事件都发生;
(2)三个事件至少有一个发生;
(3)A发生,B,C不发生;
(4)A,B都发生,C不发生;
(5)A,B至少有一个发生,C不发生;
(6)三个事件至少有两个发生.
1.4　随机事件的运算
【课前预习】
知识点一
1.都发生　A∩B　2.至少有一个　A∪B
诊断分析
解:表示事件A1,A2,…,An中至少有一个发生.
知识点二
1.不能同时　2.A∪B=Ω　
诊断分析
解:不对.比如抛掷一枚骰子试验,记事件A表示“向上的点数不大于3”,事件B表示“向上的点数不小于5”,事件C表示“向上的点数不大于4”,显然事件A与B互斥,事件B与C互斥,而事件A与C并不互斥.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)C　(2)D　[解析] (1)因为A={1,2},B={2,3},所以A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以A∩B表示向上的点数是2,A∪B表示向上的点数是1或2或3,故选C.
(2)事件D包括两次都击中和恰有一次击中两种情况,所以A∩D=A,所以选项A中关系正确;事件B是两次都没击中,事件C是恰有一次击中,所以B∩C= ,所以选项B中关系正确;事件D包括恰有一次击中(事件C)和两次都击中(事件A),所以选项C中关系正确;事件A∪B包括两次都击中和两次都没击中,事件B∪D包括两次都击中、恰有一次击中和两次都没击中,所以选项D中关系不正确.故选D.
变式　解:(1)事件D包括1个红球2个白球和2个红球1个白球这两种情况,故D=A∪B.
(2)事件C包括1个红球2个白球,2个红球1个白球和3个均为红球这三种情况,故C∩A=A.
(3)事件C包括1个红球2个白球,2个红球1个白球,3个均为红球这三种情况.事件E包括1个白球2个红球,2个白球1个红球,3个均为白球这三种情况.所以C∩E表示“3个球中有1个红球2个白球,或3个球中有2个红球1个白球,”即C∩E=D.
探究点二
例2　解:(1)是互斥事件,不是对立事件.
理由:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件,但是,不能保证其中必有一个发生,这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.
(2)既是互斥事件,又是对立事件.
理由:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”这两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.
(3)既不是互斥事件,也不是对立事件.
理由:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽出的牌点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然也不是对立事件.
变式　解:从3名男生和2名女生中任选2名同学有2名男生,2名女生,1男1女三种结果.
(1)是互斥事件,不是对立事件.
理由:“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不能同时发生,所以是互斥事件,但是当选取的结果是2名女生时,这两个事件都不发生,所以二者不是对立事件.
(2)既不是互斥事件,也不是对立事件.
理由:“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以二者不是互斥事件,当然也不是对立事件.
(3)既是互斥事件,也是对立事件.
理由:“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以是互斥事件,又因为二者必有一个发生,所以二者是对立事件.
(4)既不是互斥事件,也不是对立事件.
理由:“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生,所以不是互斥事件,当然也不是对立事件.
拓展　解:(1)A1A2.(2)A1.
(3)A1A2+A1+A2.
探究点三
例3　解:(1)这个试验的样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
A={(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)},C={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),
(3,4),(4,3),(4,4)},D={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)},E={(1,4),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},F={(4,4)},G={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}.
(2)因为A∩D= ,所以事件A与事件D互斥;因为D∩E= ,D∪E=Ω,所以事件D与事件E互为对立事件.
(3)因为A∩B={(4,4)},所以事件A与事件B的交事件和事件F是同一个事件,即事件F是事件A与事件B的交事件.因为B∪G=C,所以事件C是事件B与事件G的并事件.
变式　解:(1)A∩B∩C.
(2)A∪B∪C.
(3)A∩∩.
(4)A∩B∩.
(5)(A∪B)∩.
(6)ABC∪AB∪AC∪BC.

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