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§2　古典概型
2.1　古典概型的概率计算公式
【学习目标】
理解古典概型,能计算古典概型中随机事件的概率.
◆ 知识点一　古典概型的概念
1.概率
对于一个随机事件A,我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性的大小,这个数就称为随机事件A的概率.概率度量了随机事件发生的可能性的大小.
2.古典概型
一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——　　　　和　　　　.
(1)有限性:试验E的样本空间Ω的样本点　　　　　　,即样本空间Ω为　　　　样本空间;
(2)等可能性:每次试验中,样本空间Ω的各个样本点出现的可能性　　　　.
【诊断分析】 下列概率模型是古典概型的打“√”,不是的打“×”.
(1)从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小. (　 )
(2)同时掷两枚质地均匀的骰子,掷出的点数之和为7的概率. (　 )
(3)近三天中有一天降雨的概率. (　 )
(4)10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率. (　 )
◆ 知识点二　古典概型的概率公式
对古典概型来说,如果样本空间Ω包含的样本点总数为n,随机事件A包含的样本点个数为m,那么事件A发生的概率为P(A)=　　　　　　　　　　=　　　　.
注:(1)利用古典概型的概率公式求值时,关键是求出m,n,并且求n时应注意这n种结果必须是等可能的.
(2)在求古典概型的样本空间Ω时,可结合图形,采用列举法,列举出所有的样本点,列举时要注意做到不重不漏.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
【诊断分析】 从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为 (　 )
A. B.
C. D.1
◆ 探究点一　古典概型的判断
例1 (多选题)下列概率模型不属于古典概型的是 (　 )
A.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B.某小组有男生5人,女生3人,从中任选1人做演讲
C.观测一只使用中的灯泡的寿命
D.中秋节前夕,某市工商部门调查辖区内某品牌月饼的质量,给该品牌月饼评“优”或“差”
变式 下列概率模型属于古典概型的是 (　 )
A.口袋中有2个较小的白球和3个较大的黑球,从中任取一球,观察取出球的颜色
B.在区间[-1,5]上任取一个实数x,使x2-3x+2>0
C.抛掷一枚质地均匀的硬币,观察其向上的面出现正面还是反面
D.某人射击中靶或不中靶
◆ 探究点二　样本点的计数问题
例2 掷质地相同的红、蓝两枚骰子,用(x,y)表示结果,其中x表示红色骰子向上的点数,y表示蓝色骰子向上的点数.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)写出这个试验包含的样本点的个数;
(3)用样本点表示事件A“两枚骰子出现的点数之和大于8”,事件B“两枚骰子出现的点数相同”.
变式 从1,2,3,5,6,7中任意取三个数.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)用样本点表示事件A“三个数的和为偶数”.
[素养小结]
确定样本空间的方法:
要确定样本空间必须明确试验的条件,根据题意,按一定的次序列出样本点.写样本点时,一定要注意样本点出现的机会是均等的,并且要按一定的规律去写,这样能做到既不重复也不遗漏.
◆ 探究点三　古典概型概率的计算
[提问] 先后抛掷两枚质地均匀的硬币,求出现两个正面的概率.


例3 抛掷一枚质地均匀的骰子2次.求:
(1)2次点数之和为偶数的概率;
(2)第2次的点数比第1次大的概率;
(3)2次点数正好是连续的2个整数的概率.
变式 (1)甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是 (　 )
A. B. C. D.
(2)从甲、乙、丙、丁四个同学中选两人分别当班长和副班长,其中甲、乙为男生,丙、丁为女生,则选举结果中至少有一名女生当选的概率是　　　　.
[素养小结]
求解古典概型概率问题的一般步骤:(1)计算样本空间的样本点总数n;(2)计算事件A包含的样本点的个数m;(3)代入公式P(A)=即可求出事件A发生的概率.
拓展 小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏,规则如下:将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上,背面朝上,洗匀后抽出一张,放回洗匀后再抽出一张,若两次抽出的汉字能构成一个上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”),则小敏获胜,否则小慧获胜.你认为这个游戏规则对谁有利 请用列表的方法进行分析,并对构成的汉字进行说明.
§2　古典概型
2.1　古典概型的概率计算公式
【课前预习】
知识点一
2.有限性　等可能性　(1)总数有限　有限　(2)相等
诊断分析
(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
知识点二
　
诊断分析
C
【课中探究】
探究点一
例1　ACD　[解析] 由古典概型的等可能性、有限性进行分析.对于A,样本空间的样本点的个数无限,不属于古典概型;对于C,灯泡的使用寿命不能一一列举出来,样本空间中的样本点个数无限,不属于古典概型;对于D,对月饼质量的评价有主观性,不符合等可能性,不属于古典概型;对于B,每个人被选到的可能性相等且总共只有8个人,满足古典概型的特征.故选ACD.
变式　C　[解析] A中,取到白球和取到黑球不是等可能的,故不是古典概型;B中,满足条件的实数的个数是无限的,故不是古典概型;D中,“中靶”与“不中靶”不是等可能的,故不是古典概型;C符合古典概型的两个特征,故是古典概型.故选C.
探究点二
例2　解:(1)这个试验的样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),
(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),
(6,6)}.
(2)这个试验包含36个样本点.
(3)A={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),
(6,6)}.
变式　解:(1)试验的样本空间为Ω={(1,2,3),(1,2,5),(1,2,6),(1,2,7),(1,3,5),(1,3,6),(1,3,7),(1,5,6),(1,5,7),(1,6,7),(2,3,5),(2,3,6),
(2,3,7),(2,5,6),(2,5,7),(2,6,7),(3,5,6),(3,5,7),(3,6,7),(5,6,7)}.
(2)由题意知A={(1,2,3),(1,2,5),(1,2,7),(1,3,6),(1,5,6),(1,6,7),(2,3,5),(2,3,7),(2,5,7),(3,5,6),(3,6,7),(5,6,7)}.
探究点三
提问 解:样本空间为Ω={正正,正反,反正,反反}.
样本空间中的四个样本点出现的可能性相等,故该试验属于古典概型.∵n=4,m=1,∴所求概率P=.
例3　解:连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次,样本空间中样本点的个数n=6×6=36.
(1)2次点数之和为偶数,则两个点数都是偶数或都是奇数,对应的样本点有(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18个,故2次点数之和为偶数的概率为=.
(2)第2次的点数比第1次大的样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个,
故第2次的点数比第1次大的概率为=.
(3)2次点数正好是连续的2个整数的样本点有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,5),(5,4),(4,3),(3,2),(2,1),共10个,故2次点数正好是连续的2个整数的概率为=.
变式　(1)C　(2)　[解析] (1)样本空间为Ω={甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲},共6个样本点,甲站在中间包括乙甲丙,丙甲乙,共2个样本点,所以甲站在中间的概率P==.故选C.
(2)样本空间为Ω={(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)},共6个样本点,其中至少有一名女生当选包含5个样本点,故所求概率P=.
拓展　解:这个游戏对小慧有利.
每次游戏时,样本空间中的样本点如下:
第一张卡片 第二张卡片
土 口 木
土 (土,土) (土,口) (土,木)
口 (口,土) (口,口) (口,木)
木 (木,土) (木,口) (木,木)
总共有9个样本点,其中能组成上下结构的汉字的样本点有4个:(土,土)“圭”,(口,口)“吕”,(木,口)“杏”或“呆”,(口,木)“呆”或“杏”.所以小敏获胜的概率为,小慧获胜的概率为.所以这个游戏规则对小慧有利.

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