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§3　频率与概率
【学习目标】
1.理解频率与概率的关系.
2.会用频率估计概率.
◆ 知识点一　随机事件的频率及特点
1.频率是一个变化的量,但在大量重复试验时,它又具有稳定性,频率的值位于区间
　　　　之间.
2.随着试验次数的增加,随机事件发生的频率摆动的幅度具有越来越小的趋势.
3.随机事件发生的频率也可能出现偏离“常数”较大的情形,但是随着试验次数的增加,频率偏离“常数”的可能性会减小.
【诊断分析】 频率与试验次数有关吗
◆ 知识点二　随机事件的概率的定义
在相同条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率通常会在　　　　　附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时,把这个常数叫作随机事件A的概率,记作P(A).显然0≤P(A)≤1.
【诊断分析】 抛一枚硬币(质地均匀),连续出现5次正面向上,有人认为下次出现反面向上的概率大于,这种理解正确吗
◆ 探究点一　频率与概率的理解
例1 (1)下列说法正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.任何事件发生的概率总是在(0,1)内
B.频率是客观存在的,与试验次数无关
C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
D.概率是随机的,在试验前不能确定
(2)(多选题)下列说法错误的是 (　 )
A.某人的投篮命中率为40%,其含义是他每投100次球,一定能投中40次
B.某人将一枚质地均匀的硬币连抛30次,出现正面朝上20次,则事件“正面向上”的概率为
C.天气预报说某地明天下雪的概率为80%,是指明天此地下雪的可能性为80%
D.投掷一枚质地均匀的骰子10次,点数1向上出现了2次,则事件“点数1向上”的频率为
[素养小结]
(1)事件A出现的频数m与试验总次数n的比值即为事件A发生的频率,当事件A发生的频率稳定在某个常数时,这个常数即为事件A的概率.
(2)概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件发生的频率而得之.
◆ 探究点二　利用频率与概率的关系求概率
例2 表一和表二分别表示从甲、乙两个厂家随机抽取的某批篮球产品的质量检测情况:
表一
抽取球数n 50 100 200 500 1000 2000
优等品数m 45 92 194 470 954 1902
优等品频率
表二
抽取球数n 70 130 310 700 1500 2000
优等品数m 60 116 282 637 1339 1806
优等品频率
(1)分别计算表一和表二中篮球优等品的频率(结果保留到小数点后两位).
(2)若从两个厂家生产的这批篮球产品中各任取一个检测,则质量检测结果为优等品的概率分别是多少
(3)若这两个厂家的篮球价格相同,你打算从哪一个厂家购货
变式 某工厂为检测一批产品的质量,随机抽取了100件产品,检测结果如下表:
检测产品总数(件) 优秀品(件) 合格品(件)
100 80 17
注:每件产品的检测结果,要么是优秀品,要么是合格品,要么是不合格品.
现从这批产品中任取一件,记“该产品为优秀品”为事件A,“该产品为合格品”为事件B,“该产品为不合格品”为事件C,试用频率估计P(A),P(B),P(C),P()的值.
[素养小结]
(1)概率可看作频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时,频率越来越趋近于概率.当试验次数足够多时,所得频率就近似地看作随机事件的概率.
(2)通过公式fn(A)==计算出频率,再由频率估算概率.
拓展 对一批衬衣进行质量抽检,检验结果如下表所示:
抽取件数 50 100 200 500 600 700 800
次品件数 0 20 12 27 27 35 40
次品频率 0 0.20 0.06 0.054
(1)将上面统计表补充完整;
(2)记事件A表示“任取一件衬衣为次品”,试估计P(A);
(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换,若销售1000件衬衣,则至少需要进多少件衬衣 (计算结果保留整数)
§3　频率与概率
【课前预习】
知识点一
1.[0,1]
诊断分析
解:频率是事件发生的次数与试验次数的比值,显然与试验次数有关.
知识点二
某个常数
诊断分析
解:不正确.抛一枚硬币(质地均匀)1次,其结果是随机的,但通过大量的试验,其结果呈现出一定的规律性,即“正面向上”“反面向上”的可能性都为.连续5次正面向上这种结果是可能的,但对下一次试验来说,其结果仍然是随机的,所以出现“正面向上”和“反面向上”的可能性都是,不会大于.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)C　(2)ABD　[解析] (1)必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0,所以任何事件发生的概率总在[0,1]内,排除A;B,D混淆了频率与概率的概念,排除B,D.故选C.
(2)某人的投篮命中率为40%是指他每次投篮,投中的可能性是40%,投100次球相当于做了100次试验,每次试验可能投中也可能投不中,所以投100次球可能投中0次,也可能投中1次或10次或50次,故A中说法错误;将一枚质地均匀的硬币连抛30次,出现正面朝上20次,说明正面向上的频率是,而不是概率,B中说法错误;天气预报说某地明天下雪的概率,就是指此地明天下雪的可能性大小,C中说法正确;投掷一枚质地均匀的骰子10次,点数1向上出现了2次,则事件“点数1向上”的频率为=,D中说法错误.故选ABD.
探究点二
例2　解:(1)依据频率公式,可得表一中篮球优等品的频率依次为0.90,0.92,0.97,0.94,0.95,0.95;表二中篮球优等品的频率依次为0.86,0.89,0.91,0.91,0.89,0.90.
(2)由(1)可知,抽取的篮球数量不同,篮球优等品的频率也不同.表一中优等品的频率在0.95附近摆动,则在甲厂随机抽取一个篮球检测时,质量检测结果为优等品的概率P甲估计为0.95.表二中优等品的频率在0.90附近摆动,则在乙厂随机抽取一个篮球检测时,质量检测结果为优等品的概率P乙估计为0.90.
(3)根据概率的定义可知,概率从数量上反映了一个随机事件发生的可能性的大小.因为P甲>
P乙,所以甲厂生产出来的篮球是优等品的可能性更大,所以应该选择甲厂生产的篮球.
变式　解:因为=0.8,=0.17,用频率估计概率,所以估计P(A)=0.8,P(B)=0.17.因为=A+B,而且A与B互斥,所以估计P()=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.97.
所以估计P(C)=1-P()=0.03.
拓展　解:(1)∵=0.045,=0.05,=0.05,
∴题表后三格中应依次填入0.045,0.05,0.05.
(2)由题意知,随着抽取件数的增多,次品的频率在0.05附近摆动,并趋于稳定,∴估计P(A)=0.05.
(3)设需要进x件衬衣,则(1-0.05)x≥1000,
解得x≥≈1053,∴至少需要进1053件衬衣.

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