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§4　事件的独立性
【学习目标】
1.结合有限的样本空间,了解事件的独立性的含义.
2.结合古典概型,利用事件的独立性计算概率.
◆ 知识点　相互独立事件
1.概念:
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的　　　　没有影响,这样的两个事件叫作相互独立事件.
2.计算公式:
P(AB)=P(A)·P(B),这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率,等于这两个事件发生的概率的积.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若事件A与B相互独立,且P(A)=,P(B)=,则P(AB)=. (　 )
(2)若事件A与B相互独立,则P(∩)=P()·P(). (　 )
(3)将一枚均匀的硬币连续抛掷2次,2次都出现正面向上的概率是. (　 )
(4)若事件A与B相互独立,则事件B与也相互独立. (　 )
◆ 探究点一　相互独立事件的判断
例1 判断下列各对事件是否是相互独立事件.
(1)甲组有3名男生和2名女生,乙组有2名男生和3名女生,现从甲、乙两组中各选出1名学生参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”.
变式 (1)下列事件中,A,B是相互独立事件的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.把一枚均匀的硬币抛掷两次,A表示“第一次为正面向上”,B表示“第二次为反面向上”
B.袋中有2个白球和2个黑球,不放回地摸出两个球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”
C.抛掷一枚质地均匀的骰子,A表示“出现的点数为奇数”,B表示“出现的点数为偶数”
D.A表示“人能活到20岁”,B表示“人能活到50岁”
(2)[2023·浙江余姚中学期中] 袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,每次摸1个球,设事件A表示“第一次摸到白球”,事件B表示“第二次摸到白球”,事件C表示“第一次摸到黑球”,则下列说法中正确的是 (　 )
A.A与B是互斥事件
B.A与B不是相互独立事件
C.B与C是对立事件
D.A与C是相互独立事件
[素养小结]
判断事件是否相互独立的方法.
(1)公式法:事件A,B相互独立 P(AB)=P(A)·P(B).
(2)直接法:由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响.
◆ 探究点二　相互独立事件发生的概率
例2 已知有甲、乙、丙三个独立的研究机构在一定的时间内研制某种疫苗,且能研制出此种疫苗的概率分别是,,.
(1)求甲、乙、丙都研制出此种疫苗的概率;
(2)求甲、乙、丙都未研制出此种疫苗的概率;
(3)求此种疫苗能够被研制出的概率.
变式 甲、乙两人对某一目标进行射击,甲击中目标的概率为,乙击中目标的概率为,两人是否击中互不影响.
(1)求目标未被击中的概率;
(2)求目标被击中的概率.
[素养小结]
求相互独立事件同时发生的概率的一般步骤:
(1)确定各事件之间是相互独立的;
(2)确定这些事件可以同时发生;
(3)求出每个相互独立事件的概率,再求积.
拓展 甲、乙是某乒乓球队的两位队员,他们进行一局对抗赛,规定如下:依次轮流发球,赢一球得1分,输一球不得分也不扣分,连续得2分者获胜,比赛结束.通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知,甲发球甲得分的概率为,乙发球乙得分的概率为,不同球的结果互不影响,已知某局对抗赛中甲先发球.
(1)求该局对抗赛中甲和乙共得4分且乙获胜的概率;
(2)求该局对抗赛中甲和乙共得5分且比赛结束的概率.
§4　事件的独立性
【课前预习】
知识点
1.概率
诊断分析
(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为.若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为;若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为.可见,前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件.
变式　(1)A　(2)B　[解析] (1)把一枚均匀的硬币抛掷两次,对于每次而言都是相互独立的,其结果不受先后影响,故A中所给事件是相互独立事件;B中是不放回地摸球,显然事件A与事件B不相互独立;对于C,A,B应为互斥事件,不相互独立;D中事件A发生的概率会影响到事件B发生的概率.故选A.
(2)根据题意可知,事件A和事件B可以同时发生,不是互斥事件,故A错误;不放回地摸球,第一次摸球对第二次摸球有影响,所以事件A和事件B不是相互独立事件,故B正确;事件B的对立事件为“第二次摸到黑球”,故C错误;事件A与事件C为对立事件,不是相互独立事件,故D错误.故选B.
探究点二
例2　解:设事件A,B,C分别表示甲、乙、丙三个独立的研究机构能研制出此种疫苗,依题意可知,事件A,B,C相互独立,且P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)甲、乙、丙都研制出此种疫苗,即事件A,B,C同时发生,
则所求概率为P(ABC)=P(A)×P(B)×P(C)=××=.
(2)甲、乙、丙都未研制出此种疫苗,即事件,,同时发生,则所求概率为P( )=
P()×P()×P()=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=××=××=.
(3)“此种疫苗能够被研制出”的对立事件为“甲、乙、丙都未研制出此种疫苗”,结合对立事件间的概率关系,可得所求事件的概率P=1-P( )=1-=.
变式　解:设事件A表示“甲击中目标”,事件B表示“乙击中目标”,则P(A)=,P(B)=,所以P()=,P()=.
(1)设事件C表示“目标未被击中”,
则P(C)=P( )=P()P()=×=.
(2)设事件D表示“目标被击中”,
方法一:P(D)=1-P(C)=1-=.
方法二:P(D)=P(AB+B+A)=×+×+×=.
拓展　解:(1)设“乙发球乙得分”为事件A,“甲发球乙得分”为事件B,“该局对抗赛中甲和乙共得4分且乙获胜”为事件C,由题知,P(A)=,P(B)=,∴P(C)=P(BBA)=P(B)P()P(B)P(A)=×××=,
∴该局对抗赛中甲和乙共得4分且乙获胜的概率为.
(2)设“该局对抗赛中甲和乙共得5分且甲获胜”为事件D,“该局对抗赛中甲和乙共得5分且乙获胜”为事件E,“该局对抗赛中甲和乙共得5分且比赛结束”为事件F,
易知D,E为互斥事件,且F=D∪E,
由(1)知D=BB ,E=AAB,∴P(D)=××××=,
P(E)=××××=,
∴P(F)=P(D∪E)=P(D)+P(E)=+=,
∴该局对抗赛中甲和乙共得5分且比赛结束的概率为.

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