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2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展04 指数、对数、幂值比较大小（精讲+精练）
一、常规思路
1. ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
注：除了指对幂函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。
2.底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助“媒介数”进行大小关系的判定.
3.通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小。
二、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数
1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用将要比较的三个数化为结构相同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小.
2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值与的大小,最后利用函数的单调性,转化为比较自变量与的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。
常见指数、对数的同构函数有:
(1)与; (2)与;
(3)与; (4)与。
3.作差法、作商法是构造函数的一种最常用的方法.解题的关键是作差(或作商)后将得到式子中相同部分看作变量,由常值换元法构造函数,利用函数的单调性比较大小.比较两个代数式的大小时,若在适当变形的基础上,能够发现这两个代数式均涉及某个特殊的“数字”,则可将该数字利用变量“”加以表示,从而可考虑通过作差(或作商)方式,灵活构造函数,并利用函数的单调性,巧妙比较大小.
三、放缩法
1.
【典例1】 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据换底公式可得，由对数函数的性质可得，从而可比较大小.
【详解】,
因为在上单调递增，所以，
所以，即.
又，所以.
故选:A.
【典例2】已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先对等式变形得到，，，构造，求导得到其单调性，结合，，得到，，由推出，结合函数单调性求出，从而比较出大小.
【详解】由，同理，，
令，，
当时，，当时，，
可得函数的递减区间为，递增区间为，而2 < e < 3 < 4，
又由，，可得，，
，
又由及的单调性，可知，故．故选：C．
【点睛】关键点点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，变形得到，，，从而构造，达到比较大小的目的.
【典例3】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简得，构造函数，通过导数可证得，可得，而，从而可得答案．
【详解】.设，则有，单调递减，从而，所以，故，即，而，故有．故选：A．
【题型训练1-刷真题】
1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a4．（2020·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【题型训练2-刷模拟】
1.常规思路
1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．已知实数，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．设，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
2.构造函数
一、单选题
1．（2023春·北京·高三北京铁路二中校考期中）设，，（），则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·安徽安庆·高三安徽省怀宁县新安中学校考期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）设，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习），，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023秋·江苏宿迁·高三统考开学考试）已知则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·新疆·统考一模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·新疆乌鲁木齐·高三统考阶段练习）设，，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·浙江杭州·高三学军中学校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2023秋·广东广州·高三统考阶段练习）设．则a，b，c大小关系是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·广西河池·校联考模拟预测）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3.放缩法
1．（2023·全国·高三专题练习）若,则
A. B. C. D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知正数满足,则
A. B. C. D.
3．（2023·全国·模拟预测）已知，，，试比较a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
28．（2023春·湖北武汉·高三校联考期末）设，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
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2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展04 指数、对数、幂值比较大小（精讲+精练）
一、常规思路
1. ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
注：除了指对幂函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。
2.底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助“媒介数”进行大小关系的判定.
3.通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小。
二、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数
1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用将要比较的三个数化为结构相同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小.
2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值与的大小,最后利用函数的单调性,转化为比较自变量与的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。
常见指数、对数的同构函数有:
(1)与; (2)与;
(3)与; (4)与。
3.作差法、作商法是构造函数的一种最常用的方法.解题的关键是作差(或作商)后将得到式子中相同部分看作变量,由常值换元法构造函数,利用函数的单调性比较大小.比较两个代数式的大小时,若在适当变形的基础上,能够发现这两个代数式均涉及某个特殊的“数字”,则可将该数字利用变量“”加以表示,从而可考虑通过作差(或作商)方式,灵活构造函数,并利用函数的单调性,巧妙比较大小.
三、放缩法
1.
【典例1】 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据换底公式可得，由对数函数的性质可得，从而可比较大小.
【详解】,
因为在上单调递增，所以，
所以，即.
又，所以.
故选:A.
【典例2】已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先对等式变形得到，，，构造，求导得到其单调性，结合，，得到，，由推出，结合函数单调性求出，从而比较出大小.
【详解】由，同理，，
令，，
当时，，当时，，
可得函数的递减区间为，递增区间为，而2 < e < 3 < 4，
又由，，可得，，
，
又由及的单调性，可知，故．故选：C．
【点睛】关键点点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，变形得到，，，从而构造，达到比较大小的目的.
【典例3】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简得，构造函数，通过导数可证得，可得，而，从而可得答案．
【详解】.设，则有，单调递减，从而，所以，故，即，而，故有．故选：A．
【题型训练1-刷真题】
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
2．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b综上，，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
3．（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a【答案】A
【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
4．（2020·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
【题型训练2-刷模拟】
1.常规思路
一、单选题
1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指对数函数的性质判断参数的大小关系即可.
【详解】因为在上单调递减，所以，即．
因为在上单调递增，所以，即．
因为在上单调递增，所以，即．
综上，．
故选：D
2．已知实数，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用对数函数性质证明，利用比商法结合基本不等式比较，结合指数函数性质证明，由此证明，再确定的大小关系.
【详解】因为函数为上的增函数，
所以，
故，即，又，，
故，则，
而，故，
所以，则，
所以，
故选：B．
3．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数的运算可得，作差可推得，开方即可得出.作差可得，开方即可得出.
【详解】因为，
所以，所以.
因为，，所以.
因为，
所以，.
因为，，所以.
综上所述，.
故选：A.
4．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数的运算，分别利用对数的单调性、对数作商即可求解.
【详解】因为，，，
由，所以，
由，而，则，所以，
综上：，故选：A.
5．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由幂函数和对数函数的单调性进行比较即可.
【详解】∵幂函数在区间上单调递减，
∴，即，
∵对数函数在区间上单调递增，
∴，即，
综上所述，，，的大小关系为.
故选：D.
6．设，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数和幂函数的单调性证明，利用对数函数单调性证明，即可得到正确结论.
【详解】指数函数，为减函数，
∴，
∵幂函数为增函数，
∴，
∴，
∵对数函数为减函数，
∴，即，
∴.
故选：A.
2.构造函数
一、单选题
1．（2023春·北京·高三北京铁路二中校考期中）设，，（），则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的单调性对a，b，c进行大小比较即可.
【详解】令，则
由，得，由，得
则在单调递减，在单调递增，在时取最小值.
故，且
又由，可得，则
即，则
综上，有，即
故选：A
2．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通过构造函数，利用导数研究单调性的方法比较大小.
【详解】，
令，则，
设，有，
所以在上单调递增，即在上单调递增，从而，
所以在上单调递增，于是，即；
，
令，则，
所以在上单调递增，于是，即，所以.
故选：A.
3．（2023秋·安徽安庆·高三安徽省怀宁县新安中学校考期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意，利用作差法，构造函数，利用导数研究其单调性，可得答案.
【详解】①
令，则，
故在上单调递减，
可得，即，所以；
②
令，则，
令，所以，
当时，，
所以在上单调递增，可得，即，
所以在上单调递增，可得，即，所以.
故.
故选：B.
4．（2023秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）设，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用，构造且研究单调性比较大小，构造且研究单调性判断函数值符号比较的大小，即可得结果.
【详解】由，
因为，，则，，
令且，则，则递减，
所以，即，则，故；
因为，，由，
令且，则，则递增；
故，，而，
所以，则，即，
综上，.
故选：D
【点睛】关键点点睛：利用中间值得到，构造利用导数研究单调性比较，作差法并构造研究函数值符号比较大小.
5．（2023·全国·高三专题练习），，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先构造函数，通过求导判断单调性，比较出b和c的大小；再找中间值和，通过构造函数，证明，判断，构造函数，通过单调性判断，于是证明，即可求得a、b、c的大小关系.
【详解】令
则，显然
即单调递减，所以，即，.
令
则，即在上单调递增
所以，即，
所以
令
则
当时，，即在上单调递增
又，所以当时，
所以，即
即，
又，所以，即.
综上：.
故选：C.
6．（2023秋·江苏宿迁·高三统考开学考试）已知则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】注意到，.
后构造函数，可判断b与c大小.
【详解】注意到，.则.
令，其中.
则，
得在上单调递增，在上单调递减.
则，
又函数在R上单调递增，则，即.故．
故选：D
【点睛】方法点睛：比较代数式大小的常见方法有：（1）利用函数单调性；（2）利用中间量；（3）构造函数.
7．（2023·新疆·统考一模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别构造函数，利用导数判断函数的单调性即可求解.
【详解】依题意，
令，则，
当时，，
所以在上是增函数，
所以，
即，
所以；
令，则在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即，
所以，所以；
令，则，
令，则，
易得在上是增函数，
且，
所以在上恒成立，
所以在上是减函数，
又因为，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上是减函数，
所以，即，
所以，所以.故选：A.
【点睛】本题考查了导数的综合应用及构造函数法的应用，属于难题.
8．（2023·新疆乌鲁木齐·高三统考阶段练习）设，，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意知，，利用幂函数的单调性可得，，构造函数，通过求导判断函数的单调性，利用函数判断的大小关系即可.
【详解】由题意知，，因为幂函数在上单调递增，
所以，即；令，
则，所以时，，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，，
所以，即，所以，综上可知，.故选：C
【点睛】本题考查通过求导判断函数的单调性、利用函数的单调性比较大小；考查运算求解能力和函数与方程的思想；通过构造函数，利用函数的单调性比较的大小是求解本题的关键；属于难度较大型试题.
9．（2023春·浙江杭州·高三学军中学校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导数可求得，；分别代入和，整理可得的大小关系.
【详解】令，则，
在上单调递增，，即，，
，即；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
（当且仅当时取等号），，
即（当且仅当时取等号），，即；
综上所述：.
故选：D.
【点睛】思路点睛：本题考查与指数、对数有关的大小关系的比较，解题基本思路是能够将问题转化为两个函数的函数值大小关系的比较，进而通过构造函数的方式，利用导数求得函数单调性，从而得到两函数的大小关系.
10．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由于，所以构造函数，利用导数判断其为减函数，从而可比较出，进而可比较出的大小，同理可比较出的大小，即可得答案
【详解】∵，构造函数，，
令，则，
∴在上单减，∴，故，
∴在上单减，∴，
∴∴.∴，同理可得，，故，故选：A
11．（2023秋·广东广州·高三统考阶段练习）设．则a，b，c大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据自然常数的定义和指数幂的运算性质可知、，构造函数，利用导数研究函数的单调性可得，进而可得，即可得出结果.
【详解】由，故；
，故；
假设，有，
令，则，所以在上单调递增，
而，则，所以成立，；
故．
故选：A．
12．（2023秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数单调性可比较a，b大小；通过研究函数单调性可比较b，c大小，即可得答案.
【详解】因函数在上单调递减，又，
则，即；
注意到，.则.
构造函数，则，
令在上单调递增，
又，，
则，即.
综上，.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题涉及比较代数式大小，常利用函数单调性与构造函数解决问题.构造函数的关键，为找到需比较大小代数式间的联系.
13．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，，通过其单调性后可得，整理后可得；构造函数，由及单调性可得，则可得.
【详解】构造函数，，则，
得在上单调递减，又，
则，即.
构造函数，则.
令，则在上单调递增.
又注意到，，
则，即.
故，即.
综上所述，.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题涉及比较指数式与分数的大小，难度较大.本题因难以估值及找中间量，故采用构造函数法比较大小，而构造函数的关键为找到比较式子间的关系.
14．（2023·广西河池·校联考模拟预测）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】方法1，构造函数，利用其单调性可得，.后利用函数单调性可得；方法2，注意到，利用单调性可得；，则，利用单调性可得.
【详解】方法1:设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增.
注意到；
.
设，则.
令，，
当时，，在单调递减；
当时，，在上单调递增，
又，所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以，即.
故选：A．
方法：，，.
①，令，
则，故在上单调递减，
可得，即，所以；
②，令，
则.
令，.所以，
所以在上单调递增，可得，即，
所以在上单调递增，可得.
即，所以．故．
故选：A
【点睛】关键点睛：比较大小问题常利用作差法和构造函数法，关键为找到代数式间的联系，在本题中多次出现，故将其变为，即可得到解析中所涉及函数.
3.放缩法
1．（2023·全国·高三专题练习）若,则
A. B. C. D.
【解析】将条件等价变形为,可知.
构造函数,则在单调增,可得.选B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知正数满足,则
A. B. C. D.
【解析】由,可知.由不等式,可知.所以,可得.由不等式,得.结合条件,得.
构造函数,则单调减.由,可知.所以选.
3．（2023·全国·模拟预测）已知，，，试比较a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先利用常见的不等式，估计出的范围，精确估计出，然后利用作商法比较大小.
【详解】先证明两个不等式：
（1），设，则
，即在上单调递减，故
，即成立
（2），设，则
，即在上单调递增，故
，即成立
再说明一个基本事实，显然，于是.
由（1）可得，取，可得；
由（2）可得，取，可得，再取，可得，即.
，显然，于是；
，显然，于是.故.
故选：B
28．（2023春·湖北武汉·高三校联考期末）设，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别令、、，利用导数可求得，，，由此可得大小关系.
【详解】令，则，
在上单调递增，，即，则；
令，则，
在上单调递减，，即，则；
，即；
令，则，
在上的单调递增，，即，
则，即；
综上所述：.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.
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