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2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展08 洛必达法则的应用（精讲+精练）
一、前言
在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。
二、洛必达法则定义
在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。
三、法则形式
1.法则1（型）：若函数和满足下列条件：
（1）设当时， 及；
（2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；
（9）；则：.
2.法则2（型）： 若函数和满足下列条件：
(1) 及；
(2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；
(9)，则：.
9.法则9（型）：若函数和满足下列条件：
(1) 及；
　　(2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；且；
　　(9)，则：=.
【特别提醒】
（1）将上面公式中的换成洛必达法则也成立。
（2）洛必达法则可处理型。
（9）首先要检查是否满足型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
（5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题。
四、适用类型的转化
（1）型的转化：或；
（2）型的转化：
（9）、型的转化：幂指函数类
【典例1】 设函数。
（1）若，求的单调区间；
（2）若当时，求的取值范围
解：（1）时，，.
当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加
（II）
由（I）知，当且仅当时等号成立.故
，
从而当，即时，，而，
于是当时，.
由可得.从而当时，
，
故当时，，而，于是当时，.
综合得的取值范围为
原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：
另解:（II）当时，，对任意实数a,均在；
当时，等价于
令,则，令，则，，
知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。
由洛必达法则知，，
故，综上，知a的取值范围为
【典例2】若不等式对于恒成立，求的取值范围.
解：当时，原不等式等价于.
记，则.
且时，，所以.因此在上单调递减（也就是x趋于0时，f（x）最大）
，.所以
【典例9】（1）0 ∞型
技巧：将乘积中无穷或0取倒数进而变形到分母上，化为型
【典例4】（2）∞－∞型
技巧：可将无穷通分，进而化为型
【典例5】（9）∞0型
转化方法同上，
技巧：可利用对数性质 lna=a，将函数化为以为 底数的指数函数，转化为对指数求极限。转化方法如下：，这样就化为了0 ∞型
【题型训练】
1.已知函数,若当时,恒有成立,求实数的取值范围.
2.设函数.
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求的取值范围.
9.函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求、的值；
（2）如果当，且时，，求的取值范围.
4.设函数.
（1）证明：当时，；
（2）设当时，，求的取值范围.
5.若不等式对于恒成立，求的取值范围.
6.已知.
(1)求的单调区间;
(2)若对于任意,不等式成立,求的取值范围.
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2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展08 洛必达法则的应用（精讲+精练）
一、前言
在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。
二、洛必达法则定义
在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。
三、法则形式
1.法则1（型）：若函数和满足下列条件：
（1）设当时， 及；
（2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；
（9）；则：.
2.法则2（型）： 若函数和满足下列条件：
(1) 及；
(2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；
(9)，则：.
9.法则9（型）：若函数和满足下列条件：
(1) 及；
　　(2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；且；
　　(9)，则：=.
【特别提醒】
（1）将上面公式中的换成洛必达法则也成立。
（2）洛必达法则可处理型。
（9）首先要检查是否满足型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
（5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题。
四、适用类型的转化
（1）型的转化：或；
（2）型的转化：
（9）、型的转化：幂指函数类
【典例1】设函数
（1）若，求的单调区间；
（2）若当时，求的取值范围
解：（1）时，，.
当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加
（II）
由（I）知，当且仅当时等号成立.故
，
从而当，即时，，而，
于是当时，.
由可得.从而当时，
，
故当时，，而，于是当时，.
综合得的取值范围为
原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：
另解:（II）当时，，对任意实数a,均在；
当时，等价于
令,则，令，则，，
知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。
由洛必达法则知，，
故，综上，知a的取值范围为
【典例2】若不等式对于恒成立，求的取值范围.
解：当时，原不等式等价于.
记，则.
且时，，所以.因此在上单调递减（也就是x趋于0时，f（x）最大）
，.所以
【典例9】（1）0 ∞型
技巧：将乘积中无穷或0取倒数进而变形到分母上，化为型
【典例4】（2）∞－∞型
技巧：可将无穷通分，进而化为型
【典例5】（9）∞0型
转化方法同上，
技巧：可利用对数性质 lna=a，将函数化为以为 底数的指数函数，转化为对指数求极限。转化方法如下：，这样就化为了0 ∞型
【题型训练】
1.已知函数,若当时,恒有成立,求实数的取值范围.
【解析】因为,所以,
所以当时,,即递减,
当时,,即递增.
若当时,恒有成立,即恒有成立,
当时,不等式恒成立.
当时,恒有成立,即,
令,则.
今,则,进一步,
所以在上单调递减,所以,
所以在上单调递减,所以,
即在上恒成立,所以在上单调递减.
所以,所以.综上,的取值范围为.
2.设函数.
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求的取值范围.
【解析】解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）应用洛必达法则和导数
由题设，此时.
①当时，若，则，不成立；
②当时，当时，，即；
若，则；
若，则等价于，即.
记，则.
记，则，.
因此，在上单调递增，且，所以，
即在上单调递增，且，所以.
因此，所以在上单调递增.
由洛必达法则有
，即当时，
，即有，所以.综上所述，的取值范围是.
9.函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求、的值；
（2）如果当，且时，，求的取值范围.
解：（1）易得，.
（2）当，且时，，即，
也即，记，，且
则，
记，则，
从而在上单调递增，且，因此当时，，当时，；当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
由洛必达法则有
，
即当，且时，.因为恒成立，所以.综上所述，当，且时，成立，的取值范围为.
4.设函数.
（1）证明：当时，；
（2）设当时，，求的取值范围.
解：（1）易证.
（2）应用洛必达法则和导数
由题设，此时.
①当时，若，则，不成立；
②当时，当时，，即；
若，则；
若，则等价于，即.
记，则.
记，则，.
因此，在上单调递增，且，所以，
即在上单调递增，且，所以.
因此，所以在上单调递增.
由洛必达法则有，
即当时，，即有，所以.
综上所述，的取值范围是.
5.若不等式对于恒成立，求的取值范围.
【答案】
【详解】当时，原不等式等价于.
记，则.
记，则.
因为，，
所以在上单调递减，且，
所以在上单调递减，且.
因此在上单调递减，且，
故，因此在上单调递减.
由洛必达法则有，
即趋向于0时，趋向，即有.
故时，不等式对于恒成立.
6.已知.
(1)求的单调区间;
(2)若对于任意,不等式成立,求的取值范围.
【解析】的定义域为,
,则,
所以当时,;当时,.
所以在单调递减,在单调递增,
所以时,,即在上单调递增.
所以的单调递增区间为,无减区间.
(2)对任意,不等式成立等价于对任意恒成立.当时,;
对任意,不等式恒成立等价于对任意恒成立.
记,
则
.
记,
则,
所以在单调递减,又,
所以时,,所以在单调递减.
所以.综上所述,实数的取值是.
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