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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展96 圆锥曲线与向量交汇问题（精讲+精练）
一、向量共线
运用向量的共线的相关知识，可以较容易地处理涉及三点共线、定比分点、直线等问题。在处理圆锥曲线中求相关量的取值范围、求直线的方程、求待定字母的值、证明过定点等问题时，如能恰当的运用平面向量共线的相关知识，常常能使问题较快捷的得到解决.
【一般策略】
通过适当的设点，将向量关系代数化，再根据圆锥曲线的定义以及一些性质、直线与圆锥曲线的位置关系来解决问题.
二、向量的数量积
向量的数量积将一些几何知识与代数知识充分的联系在一起，它可以处理垂直、长度、三角形面积和三角函数等问题。所以在解决圆锥曲线中的一些问题时，它通常可以运用在探索点、线的存在性、求参数的取值范围和求圆锥曲线的方程等方面.
【一般策略】
在圆锥曲线问题中运用向量的数量积，往往题目中出现了向量的数量积或构造向量的数量积，通过向量的数量积的表达式、意义和运算性质，从而达到将问题简化.
三、相应的知识储备
1.共线向量定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2.数量积的运算
（1）已知非零向量，，为向量、的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要 条件
的充要 条件
与 的关系 (当且仅当时等号成立)
(2)两个向量a，b的夹角为锐角 a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角 a·b＜0且a，b不共线
【典例1】已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
(1)求的方程；
(2)设过点的直线与相交于，两点，且，求的面积及直线的方程．
【解析】（1）设，因为直线的斜率为，，所以，解得．
又，解得，所以椭圆的方程为．
（2）设、，由题意可设直线的方程为：，
联立，消去得，
当，所以，即或时，，，
由，得，代入上解得，即，
又
点到直线的距离，所以，
此时直线的方程为：或．
【典例2】已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.
【解析】（1）双曲线的渐近线化为，设双曲线的方程为，
即，又双曲线的右焦点，则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由（1）知，，设直线的方程为，显然，
由消去整理得，显然，，
而，则
，
化简得，即，而，解得，
所以直线的方程为，即.
【题型训练-刷模拟】
1.向量共线
一、解答题
1．已知平面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设动点的轨迹为曲线，过定点的直线和曲线交于不同两点、满足，求线段的长．
2．已知椭圆C：的离心率，点，为椭圆C的左、右焦点且经过点的最短弦长为9．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于不同两点A，B，与直线交于点P，若，且点Q满足，求的最小值．
9．经过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，且，，．求和．
4．已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．
5．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点
(1)求双曲线方程；
(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的方程．
6．已知双曲线的两条渐近线分别为，.
(1)求双曲线的离心率；
(2)为坐标原点，过双曲线上一点作直线分别交直线，于，两点（，分别在第一、第四象限），且，求的面积.
7．已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程．
8．已知，分别为椭圆的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线在第一象限与椭圆C相交于点P，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且．若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围．
9．已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点．
(1)若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；
(2)若，求的面积；
(9)设直线与直线交于点，证明：三点共线．
10．已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且.
(1)求的值；
(2)若直线与交于两点，与交于两点，在第一象限，在第四象限，且，求的值.
11．已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
12．椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．
19．已知椭圆的离心率为，点，为的左、右焦点，经过且垂直于椭圆长轴的弦长为9.

(1)求椭圆的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于A，B两点，与直线交于点，若，且点满足，求线段的最小值.
14．如图，正六边形的边长为2．已知双曲线的焦点为A，D，两条渐近线分别为直线．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求的方程；
(2)过A的直线l与交于M，N两点，，若点P满足，证明：P在一条定直线上．
15．已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线与交于两点，与交于两点，且与同向.
（i）当直线绕点旋转时，判断的形状；
（ii）若，求直线的斜率.
16．已知椭圆，连接E的四个顶点所得四边形的面积为4，是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，D为线段的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，使得，求三角形的面积．
17．已知双曲线的离心率为，经过坐标原点O的直线l与双曲线Q交于A，B两点，点位于第一象限，是双曲线Q右支上一点，，设
(1)求双曲线Q的标准方程；
(2)求证：C，D，B三点共线；
(9)若面积为，求直线l的方程．
18．过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物线的准线.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设点是圆的动点，抛物线上四点满足：，，设中点为.
（i）证明：垂直于轴；
（ii）设面积为，求的最大值.
2.向量的数量积
一、解答题
1．已知抛物线：，斜率为的直线过定点，直线交抛物线于两点，且位于轴两侧，（为坐标原点），求的值．
2．在平面直角坐标系中，为坐标原点.已知抛物线上任意一点到焦点的距离比它到轴的距离大1.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点的直线与曲线相交于不同的两点，求的值；
9．已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到椭圆C的一个焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线交椭圆于，两点，O为坐标原点，若，求直线的方程.
4．已知椭圆：的离心率为，点，，分别是椭圆的左、右、上顶点，是的左焦点，坐标原点到直线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.
5．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，左 右焦点分别为为原点，且，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
6．已知椭圆的上、下顶点分别为，已知点在直线：上，且椭圆的离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上异于的任意一点，轴，为垂足，为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点，求的值．
7．已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且交右支于两点，点为线段的中点，点在轴上，．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若，求直线的方程．
8．已知双曲线：经过点，其中一条渐近线为.
(1)求双曲线的方程；
(2)一条过双曲线的右焦点且纵截距为的直线，交双曲线于，两点，求的值.
9．已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点．
(1)求双曲线方程；
(2)若点在双曲线上，求证：；
(9)在（2）的条件下，求的面积．
10．已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.
11．已知双曲线：（，）的左顶点为，到的一条渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于，两点，求的值．
12．已知双曲线的一条渐近线是，右顶点是
(1)求双曲线的方程
(2)若直线：与双曲线有两个交点、，且 是原点，求的取值范围
19．已知O为坐标原点，位于抛物线C：上，且到抛物线的准线的距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点，过抛物线焦点的直线l交C于M，N两点，求的最小值以及此时直线l的方程．
14．已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的范围；
(9)对于（2）中的点和，在轴上是否存在点使为等边三角形，若存在请求出的值；不存在则说明理由.
15．如图，已知抛物线，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，抛物线上的点，设直线，的斜率分别为，.

(1)求的取值范围；
(2)过点作直线的垂线，垂足为.求的最大值.
16．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆与轴正半轴的交点为点，且为等腰直角三角形．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知斜率为的直线与椭圆相切于点，点在第二象限，过椭圆的右焦点作直线的垂线，垂足为点，若，求椭圆的方程．
17．已知圆心为H的圆和定点，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．
(1)求C的方程．
(2)如图所示，过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求的取值范围
18．已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线，分别交直线于E，F两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
19．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．点，直线：．
(1)证明：直线与椭圆相交于两点，且每一点与的连线都是椭圆的切线；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，与直线交于点，求证：．
20．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过的直线与交于两点，过的左顶点作的垂线，垂足为，求证：.
21．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，直线过与交于两点，当时，的面积为9.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知都在的右支上，设的斜率为.
①求实数的取值范围；
②是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
22．已知离心率为的双曲线，直线与C的右支交于两点，直线l与C的两条渐近线分别交于两点，且从上至下依次为，．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求的面积．
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展96 圆锥曲线与向量交汇问题（精讲+精练）
一、向量共线
运用向量的共线的相关知识，可以较容易地处理涉及三点共线、定比分点、直线等问题。在处理圆锥曲线中求相关量的取值范围、求直线的方程、求待定字母的值、证明过定点等问题时，如能恰当的运用平面向量共线的相关知识，常常能使问题较快捷的得到解决.
【一般策略】
通过适当的设点，将向量关系代数化，再根据圆锥曲线的定义以及一些性质、直线与圆锥曲线的位置关系来解决问题.
二、向量的数量积
向量的数量积将一些几何知识与代数知识充分的联系在一起，它可以处理垂直、长度、三角形面积和三角函数等问题。所以在解决圆锥曲线中的一些问题时，它通常可以运用在探索点、线的存在性、求参数的取值范围和求圆锥曲线的方程等方面.
【一般策略】
在圆锥曲线问题中运用向量的数量积，往往题目中出现了向量的数量积或构造向量的数量积，通过向量的数量积的表达式、意义和运算性质，从而达到将问题简化.
三、相应的知识储备
1.共线向量定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2.数量积的运算
（1）已知非零向量，，为向量、的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要 条件
的充要 条件
与 的关系 (当且仅当时等号成立)
(2)两个向量a，b的夹角为锐角 a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角 a·b＜0且a，b不共线
【典例1】已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
(1)求的方程；
(2)设过点的直线与相交于，两点，且，求的面积及直线的方程．
【解析】（1）设，因为直线的斜率为，，所以，解得．
又，解得，所以椭圆的方程为．
（2）设、，由题意可设直线的方程为：，
联立，消去得，
当，所以，即或时，，，
由，得，代入上解得，即，
又
点到直线的距离，所以，
此时直线的方程为：或．
【典例2】已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.
【解析】（1）双曲线的渐近线化为，设双曲线的方程为，
即，又双曲线的右焦点，则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由（1）知，，设直线的方程为，显然，
由消去整理得，显然，，
而，则
，
化简得，即，而，解得，
所以直线的方程为，即.
【题型训练-刷模拟】
1.向量共线
一、解答题
1．已知平面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设动点的轨迹为曲线，过定点的直线和曲线交于不同两点、满足，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据距离公式可得出关于、所满足的等式，化简可得点的轨迹方程；
（2）分析可知直线直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，由可得出，将直线的方程与椭圆的方程联立，由结合韦达定理可求得的值，然后利用弦长公式可求得的值.
【详解】（1）解：因为面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，
则，整理可得，
因此，点的轨迹方程为.
（2）解：若直线与轴重合，则、为椭圆长轴的顶点，
若点、，则，，此时，不合乎题意，
若点、，同理可得，不合乎题意，
所以，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
因为，即，所以，，即，
由韦达定理可得，所以，，
，解得，
因此，
.
2．已知椭圆C：的离心率，点，为椭圆C的左、右焦点且经过点的最短弦长为9．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于不同两点A，B，与直线交于点P，若，且点Q满足，求的最小值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）由通径性质、离心率和椭圆参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程；
（2）讨论直线斜率，设，，，为，注意情况，联立椭圆方程应用韦达定理求，，结合、坐标表示得到，进而有求，再求坐标，应用两点距离公式得到关于的表达式求最值，注意取值条件.
【详解】（1）由题意，，解得，，所以椭圆的方程为．
（2）由（1）得，若直线的斜率为0，则为与直线无交点，不满足条件．
设直线：，若，则则不满足，所以．
设，，，
由得：，，．
因为，即，则，，
所以，解得，则，即，
直线：，联立，解得，
∴，当且仅当或时等号成立
∴的最小值为5．
9．经过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，且，，．求和．
【答案】，
【分析】设,，,，写出直线方程与抛物线方程联立方程组，消元应用韦达定理得，由向量共线的坐标表示得出的关系，消去，代入韦达定理的结论求得值，从而可得的（纵）坐标，由此求得．
【详解】根据题意可得直线方程为，即，
联立，可得，，△，
设,，,，又，
，
，，，
又，，
，
，
，
，
，又，
，
，
，又，
，，
．
故，．
4．已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为和双曲线过点，联立求解；
（2）由题意设直线方程为，令，得到M的坐标，设，根据，用k表示点Q的坐标，再根据点Q在双曲线上，代入双曲线方程求解.
【详解】（1）解：因为双曲线C：的渐近线方程为，
所以，
又因为双曲线C：过点，
所以，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）知：，则，
由题意设直线方程为，令，得，则，
设，则，
因为，
所以，则，
解得，因为点Q在双曲线上，
所以，解得，
所以直线l的斜率为.
5．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点
(1)求双曲线方程；
(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）依题意设所求的双曲线方程为，则，再根据离心率求出，即可求出，从而得到双曲线方程；
（2）依题意可得直线的斜率存在，设，即可得到的坐标，依题意可得或，分两种情况分别求出的坐标，再根据的双曲线上，代入曲线方程，即可求出，即可得解；
【详解】（1）解：设所求的双曲线方程为（，），则，，
∴，又则，∴所求的双曲线方程为．
（2）解：∵直线l与y轴相交于M且过焦点，
∴l的斜率一定存在，则设．令得，
∵且M、Q、F共线于l，∴或
当时，，，∴，
∵Q在双曲线上，∴，∴，
当时，，代入双曲线可得：
，∴．
综上所求直线l的方程为：或．
6．已知双曲线的两条渐近线分别为，.
(1)求双曲线的离心率；
(2)为坐标原点，过双曲线上一点作直线分别交直线，于，两点（，分别在第一、第四象限），且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据渐近线方程可得，再通过离心率公式求得离心率；
（2）根据双曲线过点可得双曲线方程，由已知可设点，，再由，可得，，进而可得，设直线的倾斜角为，则，即可得，即可得的面积.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线分别为，，
所以，，
所以双曲线的离心率为；
（2）由（1）得，
则可设双曲线，
因为在双曲线上，
所以，则双曲线的方程为，
又点，分别在与上，
设，，
因为，
所以，
则，，
又，同理得，
设的倾斜角为，且，则，
所以.
【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.
7．已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；
（2）不妨设，，，由可得，结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
由条件可得，即，
则根据双曲线的定义可知，点是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支，
则，可得，
所以曲线的方程为．

（2）由（1）可知：双曲线的渐近线方程为，即，
由于且直线的斜率不等于0，
不妨设，，，
则，，
由可得，
联立方程，消去x得
则，由韦达定理可得，
由，解得，
代入可得，
解得，即，
因此直线，即.

8．已知，分别为椭圆的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线在第一象限与椭圆C相交于点P，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且．若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合双曲线方程可得，，结合双曲线和椭圆的定义即可得到，进而求解；
（2）设，，则，结合平行四边形OAED，可得，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理可得，．进而得到，从而求解.
【详解】（1）由题意，双曲线的焦点为，，
双曲线与椭圆C有相同焦点且在第一象限交点为P，
又，，．
，．
．
椭圆C的方程为．
（2）设，，则．
四边形OAED为平行四边形，
，．
点A，B，E均在椭圆C上，
，，．
，
．
．
由消去y，得．
显然．
，．
．
，
因为，所以，即，
所以，即.
．
9．已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点．
(1)若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；
(2)若，求的面积；
(9)设直线与直线交于点，证明：三点共线．
【答案】(1)
(2)
(9)证明见解析
【分析】（1）根据离心率的定义计算即可；
（2）联立直线和椭圆方程，根据弦长公式算出，用点到直线的距离公式算出三角形的高后即可；
（9）联立直线和椭圆方程，先表示出坐标，将共线问题转化成证明，结合韦达定理进行化简计算.
【详解】（1）依题意，，解得（负数舍去）.
（2）的直线经过，则直线方程为：；
，则椭圆的方程为：.
设联立直线和椭圆方程：，消去得到，
解得，则，故，于是.
依题意知，为椭圆的下顶点，即，由点到直线的距离，到的距离为：.
故
（9）设联立直线和椭圆方程：，得到，由，得到直线方程为：，令，解得，即，又，，为说明三点共线，只用证，即证：，下用作差法说明它们相等：
，而，，，于是上式变为：.
由韦达定理，，于是，故，命题得证.
10．已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且.
(1)求的值；
(2)若直线与交于两点，与交于两点，在第一象限，在第四象限，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线焦点坐标公式，结合两点间距离公式进行求解即可；
（2）将直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量共线性质进行求解即可.
【详解】（1）由抛物线的方程可知焦点的坐标为，
由抛物线的方程可知焦点的坐标为，
因为，
所以；
（2）由（1）可知两个抛物线的方程分别为，
设直线，，
根据题意结合图形可知：，且，
联立，则，
同理联立，则，
由，
所以，
即，
又因为，所以，
由，
联立，所以，
故.
【点睛】关键点睛：本题的关键是由.
11．已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由点A的坐标求得，结合双曲线的定义求得，进一步计算得出双曲线的方程即可；
（2）设直线PQ的方程为，与双曲线联立得出韦达定理，结合两个向量共线的坐标表示求得，得到直线l的方程.
【详解】（1）由已知C：，点A的坐标为，得，
焦点，，.
所以，，故C：.
（2）设l的方程为，则，故，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故.
与双曲线方程联立得：，
由已知得，，设，，
则，①
由，得：，，
消去得：，
即②
由①②得：，由已知，
故存在定直线l：满足条件.
12．椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆垂直于长轴的弦长公式进行求解即可；
（2）根据直线是否存在斜率，结合平面向量的坐标运算公式、一元二次方程根与系数关系分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）因为该椭圆的离心率为，所以有，
在方程中，令，解得，
因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，
所以有，由可得：，
所以椭圆的方程为；
（2）当直线不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；
当直线存在斜率时，设为，所以直线的方程设为，
于是有，
因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有，
化简，得，
设，于是有，
因为，
所以，
代入中，得，
于是有，
化简，得，代入中，得.
【点睛】关键点睛：本题的关键是由向量等式得到.
19．已知椭圆的离心率为，点，为的左、右焦点，经过且垂直于椭圆长轴的弦长为9.

(1)求椭圆的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于A，B两点，与直线交于点，若，且点满足，求线段的最小值.
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）由通径性质、离心率和椭圆参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程；
（2）讨论直线斜率，设，，，为，注意情况，联立椭圆方程应用韦达定理求，，结合、坐标表示得到，进而有求，再求坐标，应用两点距离公式得到关于的表达式求最值，注意取值条件.
【详解】（1）对于方程，令，则，解得，
由题意可得，解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）由（1）得，若直线的斜率为0，则为与直线无交点，不满足条件．
设直线：，若，则，则不满足，所以．
设，，，
由得：，，
所以，．
因为，即，则，，
所以，解得，则，即，
直线：，联立，解得，即，
∴，
当且仅当或时,等号成立，
∴的最小值为．

14．如图，正六边形的边长为2．已知双曲线的焦点为A，D，两条渐近线分别为直线．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求的方程；
(2)过A的直线l与交于M，N两点，，若点P满足，证明：P在一条定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，从而得到与，结合即可求得，，从而得解；
（2）先考虑直线为轴的情况，求得此时，再考虑直线不为轴的情况，联立直线与双曲线的方程得到，再结合求得，从而得到，由此得证.
【详解】（1）依题意，以直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图，
因为在正六边形中，为正三角形，，，
设双曲线的方程为，
由已知得的渐近线方程为，所以，
又焦距，所以，
又由，则，从而，
所以双曲线的方程为.
（2）依题意，设，
当直线为轴时，不失一般性，则，
又由（1）知，故，
所以，从而，
则，即，解得；
当直线不为轴时，设的方程为，由可知，
联立，消去，得，
则，，
因为，所以，
消去，得，
所以，
从而，
又也在直线上，
所以点在定直线上.
15．已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线与交于两点，与交于两点，且与同向.
（i）当直线绕点旋转时，判断的形状；
（ii）若，求直线的斜率.
【答案】(1)
(2)（i）为钝角三角形. （ii）
【分析】（1）通过方程可知，通过与的公共弦的长为且与的图象都关于轴对称可得计算即得；
（2）设直线方程为，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算可得继而判断三角形形状,再利用结合韦达定理计算即可可以求参.
【详解】（1）的焦点为，所以，①
又与的公共弦长为，且与都关于轴对称，所以公共点的横坐标为，
代入可得纵坐标为，
所以公共点的坐标为，
代入中可得，②
联立①②得，故的方程为.
（2）
设，
（i）设直线的方程为，
联立得，
则，
，
所以为钝角三角形.
（ii）因为与同向，且，所以，
从而，即，
所以，
联立得，
则，
所以，即，
所以直线的斜率为.
16．已知椭圆，连接E的四个顶点所得四边形的面积为4，是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，D为线段的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，使得，求三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由面积和的坐标建立方程组待定即可；
（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，由 D为线段的中点，利用韦达定理得到，即的坐标，又，则点坐标也可用表示，根据点在椭圆上，化简得到的关系，由点线距及弦长公式求解面积，再由比例关系即可得到三角形的面积.
【详解】（1）由题意知连接E的四个顶点所得四边形的面积为，
又点在E上，得，
解得，，
故椭圆E的方程为．
（2）设直线的方程为，
由，消去得，
又，
得，设，，，则
，．
由，可得为三角形的重心，
所以，且，
，，
故由在椭圆E上，得，得，
，
又原点到直线的距离为，
所以，故．

17．已知双曲线的离心率为，经过坐标原点O的直线l与双曲线Q交于A，B两点，点位于第一象限，是双曲线Q右支上一点，，设
(1)求双曲线Q的标准方程；
(2)求证：C，D，B三点共线；
(9)若面积为，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(9)
【分析】（1）根据离心率即可求解，
（2）利用坐标运算，结合点差法以及向量共线的坐标表示即可求解，
（9）根据三角形面积公式，利用联立方程，韦达定理，代入化简即可得到关于的方程，
【详解】（1）由双曲线的离心率为，所以，解得，
所以双曲线Q的标准方程为
（2）由得,又，所以
,，
由得①，
由于，在双曲线上，所以，
相减得②
由①②得③，
由于，所以，
将③代入得，
所以，因此C，D，B三点共线
（9）设直线的方程为，
联立直线与双曲线的方程为：，
故，
所以，
直线的方程为，
联立，
所以
由于轴，，所以，
所以，
由于，代入得，令，则，化简得，由于，
所以，
因此，解得或
由于，所以，
故直线方程为
18．过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物线的准线.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设点是圆的动点，抛物线上四点满足：，，设中点为.
（i）证明：垂直于轴；
（ii）设面积为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）设直线与轴交于，由三角形相似关系可得，由此可构造方程求得的值，从而得到抛物线方程；
（2）（i）根据共线向量可知为中点，结合点在抛物线上可确定为方程的两根，由此可得韦达定理的结论；根据点纵坐标可知斜率为零，由此可得结论；
（ii）由，代入韦达定理，结合点在圆上，可化简得到，根据二次函数最值的求法可求得结果.
【详解】（1）
设直线与轴交于，则，
由圆的方程知：圆心，半径，
为圆的切线，，又，
∽，，即
，解得：，抛物线的标准方程为：.
（2）设，，，
（i）由知：为中点，且在抛物线上，即，
又，，整理可得：；
由知：为中点，且在抛物线上，
同理可得：；
是方程的两根，，，
点的纵坐标为，直线的斜率为，即垂直于轴.
（ii），，
，
在圆上，，
，
则当时，，
.
2.向量的数量积
一、解答题
1．已知抛物线：，斜率为的直线过定点，直线交抛物线于两点，且位于轴两侧，（为坐标原点），求的值．
【答案】
【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，由根与系数的关系及数量积公式建立关于的方程，即可求得答案.
【详解】由已知，设直线的方程为，
联立直线与抛物线方程可得，消得，
.
方程的判别式
，
设，
则，，
，
由已知，故，
由，得，
故，解得或（舍去）
所以.

【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
2．在平面直角坐标系中，为坐标原点.已知抛物线上任意一点到焦点的距离比它到轴的距离大1.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点的直线与曲线相交于不同的两点，求的值；
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用抛物线的定义求出p值即得.
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得.
【详解】（1）依题意，到抛物线焦点的距离为，则，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去x得：，显然，设，
则，，
所以.

9．已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到椭圆C的一个焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线交椭圆于，两点，O为坐标原点，若，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）由椭圆的性质得出椭圆C的标准方程；
（2）联立直线和椭圆方程，由韦达定理结合得出直线的方程.
【详解】（1）∵短轴的一个顶点到椭圆C的一个焦点的距离为2，∴，
又椭圆C的离心率为，∴，故，
∴，
∴椭圆C的标准方程为.
（2）联立，整理得，
∴，，
故，
∵，∴，
解得，满足，
∴直线的方程为或.

4．已知椭圆：的离心率为，点，，分别是椭圆的左、右、上顶点，是的左焦点，坐标原点到直线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由离心率、等面积法及椭圆参数关系列方程求椭圆参数，即可得方程；
（2）讨论直线的斜率，设的方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及向量数量积的坐标表示得到关于所设参数的关系式，进而求范围.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，
根据题意解得
故的方程为.
（2）由（1）知：.
当直线的斜率为0时，点为椭圆的左、右顶点，
不妨取，此时，则.
当直线的斜率不为0或与轴垂直时，设其方程为，
代入椭圆并消去得，
设，则.
而，
所以
.
因为，所以，
所以.
综上，的取值范围为.

5．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，左 右焦点分别为为原点，且，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在定点满足题意.
【分析】（1），结合，即可求解；
（2）设直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，求得，设在x轴上存在定点，对于任意的都有，由求解.
【详解】（1）由题意得，
又，.
椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为：，
令得，即，
联立，得，
所以，
则，，
若在x轴上存在定点，对于任意的都有，
则，即，
解得，
所以存在定点.
6．已知椭圆的上、下顶点分别为，已知点在直线：上，且椭圆的离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上异于的任意一点，轴，为垂足，为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）根据上下顶点的定义，结合离心率的定义，建立方程，可得答案；
（2）设，，则点满足椭圆方程，根据题意，易得、，计算即可
【详解】（1）
且点在直线：上，，
又， ，，
椭圆的标准方程为.
（2）
设，，则，且，
为线段的中点，，
，直线的方程为：，
令，得，
，为线段的中点，，
，，
7．已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且交右支于两点，点为线段的中点，点在轴上，．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）根据等轴双曲线方程即可求解渐近线方程，
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据向量数量积的几何意义将其转化为，由坐标运算即可求解.
【详解】（1）由题知，，所以双曲线的渐近线方程为．
（2）双曲线的右焦点坐标为，
由题知，直线AB的斜率不为0，设直线方程为，代入双曲线中，
化简可得：，
设,则．
则
∴线段中点的坐标为，
直线方程为．
（i）当时，点恰好为焦点，此时存在点或，使得．
此时直线方程为．
（ii）当时，令可得，可得点的坐标为，
由于所以，
由，即，也即：．
化简可得，解出，
由于直线要交双曲线右支于两点，所以，即，故舍去．
可得直线的方程为．
综上：直线方程为或或．

8．已知双曲线：经过点，其中一条渐近线为.
(1)求双曲线的方程；
(2)一条过双曲线的右焦点且纵截距为的直线，交双曲线于，两点，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程和点的坐标列式求解即可；
（2）根据双曲线方程求出焦点进而得到直线方程，与双曲线方程联立得到韦达定理的形式，根据代入韦达定理即可求解.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以①，
又因为点在双曲线上，所以②，
①②联立解得，，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）可知双曲线中，
所以右焦点坐标为，即直线的横截距为，
又因为直线的纵截距为，所以直线的方程为，即，

联立得，
设，，则，，
所以.
【点睛】本题考查直线与双曲线综合应用问题，涉及双曲线方程的求解、平面向量数量积的求解问题，求解数量积的关键是能够将所求量转化为符合韦达定理的形式，通过直线与双曲线联立得到韦达定理的结论，代入可整理出结果.
9．已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点．
(1)求双曲线方程；
(2)若点在双曲线上，求证：；
(9)在（2）的条件下，求的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(9)6
【分析】（1）首先根据离心率设出双曲线方程，再代入点的坐标，即可求解；
（2）首先将点代入双曲线方程求，再根据斜率公式或是数量积公式，证明垂直；
（9）根据（1）（2）的结果，代入面积公式，即可求解.
【详解】（1）因为，
所以可设双曲线方程为．
因为过点，所以，即．
所以双曲线方程为，即
（2）由（1）可知，双曲线中，所以，不妨设，分别为双曲线的左右焦点，
则，．
方法一：，，
因为点在双曲线上，
所以，，
所以,
所以，所以．
方法二：因为，
，
所以．
因为点在双曲线上，
所以，即，
所以．

（9）的底边长，
的高，
所以．
10．已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用给定的渐近线方程设出双曲线方程，再利用待定系数法求解作答.
（2）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合垂直关系的坐标表示，求解作答.
【详解】（1）双曲线的渐近线化为，设双曲线的方程为，
即，又双曲线的右焦点，则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由（1）知，，设直线的方程为，显然，
由消去整理得，显然，，
而，则
，
化简得，即，而，解得，
所以直线的方程为，即.

【点睛】思路点睛：如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.
11．已知双曲线：（，）的左顶点为，到的一条渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于，两点，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）由题意知，取双曲线的一条渐近线，再根据点到直线的距离公式即可得到与关系式，从而求得，进而可求得的方程；
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则可得到，的坐标，进而可直接求解的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立直线的方程和的方程可得到关于的一元二次方程，从而可得到，，代入即可求解的值，综上，即可得到的值．
【详解】（1）由题意知，的一条渐近线方程为，即，
所以到的一条渐近线的距离为，所以，
又，解得，所以的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易得，或，，
所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立，得，
所以，解得，
所以，，
所以
．
综上，．
12．已知双曲线的一条渐近线是，右顶点是
(1)求双曲线的方程
(2)若直线：与双曲线有两个交点、，且 是原点，求的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用双曲线的顶点坐标以及渐近线方程即可求得双曲线方程；
（2）设点，，由可知，再将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理即可得到关于的不等式，并结合判别式大于零，即可求出的范围.
【详解】（1）由双曲线的右顶点为，则，
渐近线即，则， 故双曲线方程为．
（2）将双曲线方程和直线方程联立得，
则，即 ，解得且，
设， 则， ，
，
因为，所以，即，
解得或，
又，综合可得，的取值范围是.
19．已知O为坐标原点，位于抛物线C：上，且到抛物线的准线的距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点，过抛物线焦点的直线l交C于M，N两点，求的最小值以及此时直线l的方程．
【答案】(1)
(2)19；．
【分析】（1）根据抛物线的定义计算即可；
（2）根据韦达定理及二次函数最值计算即可.
【详解】（1）根据题意可得，
又，解方程组得，，
故所求抛物线C方程，
（2）
设点，，抛物线的焦点坐标为．
当直线l的斜率等于0时，不存在两个交点，不符合题意；
当直线l的斜率不等于0时，不妨设过抛物线焦点的直线l的方程为：；
联立抛物线方程可得，消去x得：，
，得，
由韦达定理得，，
易知，
故
．
所以当时，取得最小值为19．
此时直线l的方程为．
14．已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的范围；
(9)对于（2）中的点和，在轴上是否存在点使为等边三角形，若存在请求出的值；不存在则说明理由.
【答案】(1)
(2)
(9)存在，
【分析】（1）设双曲线的方程，用待定系数法求出，的值；
（2）将直线方程与双曲线的方程联立，消元得到一个关于的一元二次方程，求解判别式，利用韦达定理和已知条件求出参数的取值范围即可；
（9）分和两种情况讨论，结合（2）的结论和弦长公式求出，利用点到直线的距离公式和题干条件即可求解.
【详解】（1）设双曲线的方程为，则，再由得，
故的方程为.
（2）将代入得
由直线与双曲线交于不同的两点得：
，且①
，，则，
，
又，得，，
即，解得：②，故的取值范围为.
（9）当时，点坐标为，即，
此时，点到的距离，显然不合题意；
当时，线段的中垂线方程为，
令，得，由①知，且，
由（2）知：
点到的距离，且，
即，，满足范围，
故.
15．如图，已知抛物线，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，抛物线上的点，设直线，的斜率分别为，.

(1)求的取值范围；
(2)过点作直线的垂线，垂足为.求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以点横坐标为自变量，用坐标表示，转化为函数值域求解即可；
（2）利用数量积的几何意义将转化为，再向量坐标化，转化为函数最值求解即可.
【详解】（1）直线的方程为，代入抛物线得：
，解得或，所以，
因为，
所以，，
则有，
又，则有，故的取值范围是.
（2）由（1）知，，
所以，，
，
令，，
则，
由于当时，，当时，，
故，即的最大值为.
16．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆与轴正半轴的交点为点，且为等腰直角三角形．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知斜率为的直线与椭圆相切于点，点在第二象限，过椭圆的右焦点作直线的垂线，垂足为点，若，求椭圆的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的几何性质可得出，根据、、的关系可求得椭圆的离心率的值；
（2）由题意，设直线的方程为，设切点，将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出、的等量关系，求出点的坐标，写出直线的方程，求出点的坐标，根据求出的值，即可得出椭圆的方程.
【详解】（1）解：设椭圆的半焦距为，由已知得点，
因为为等腰直角三角形，且为的中点，所以，即，
所以，有．
（2）解：由（1）知，设椭圆方程为，
因为切点在第二象限，且直线的斜率为，
设直线的方程为，设点，
因为直线与椭圆相切，联立可得，
由，可得，即，
所以，，，所以，
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
则直线的方程为，
联立，可得，即点，
又因为、，
有，，
．
所以，所以椭圆的方程为．
17．已知圆心为H的圆和定点，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．
(1)求C的方程．
(2)如图所示，过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由l是线段AB的中垂线得，根据椭圆定义可得答案；
（2）由直线EF与直线PQ垂直可得，①当直线PQ的斜率不存在时，直线EF的斜率为零，可取，，，，可得；②当直线PQ的斜率为零时，直线EF的斜率不存在，同理可得；③当直线PQ的斜率存在且不为零时，直线EF的斜率也存在，于是可设直线PQ的方程为，设直线EF的方程为，将直线PQ的方程代入曲线C的方程，令，利用韦达定理代入，根据的范围可得答案．
【详解】（1）由，得，所以圆心为，半径为4，
连接MA，由l是线段AB的中垂线，得，
所以，又，
根据椭圆的定义可知，点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，
所以，，，所求曲线C的方程为；
（2）由直线EF与直线PQ垂直，可得，
于是，
①当直线PQ的斜率不存在时，直线EF的斜率为零，
此时可不妨取，，，，
所以，
②当直线PQ的斜率为零时，直线EF的斜率不存在，同理可得，
③当直线PQ的斜率存在且不为零时，直线EF的斜率也存在，于是可设直线PQ的方程为，，，，，
则直线EF的方程为，
将直线PQ的方程代入曲线C的方程，并整理得，，
所以，，
于是
，
将上面的k换成，可得，
所以，
令，则，于是上式化简整理可得，
，
由，得，所以，
综合①②③可知，的取值范围为．
18．已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线，分别交直线于E，F两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）设椭圆C的方程为，由两点得出椭圆C的标准方程；
（2）联立直线l与椭圆方程，由直线的方程得出坐标，再由韦达定理以及数量积公式，得出的范围，进而得出的最值.
【详解】（1）设椭圆C的方程为且，
因为椭圆C过点与点，所以，解得.
所以椭圆C的标准方程为.
（2）设直线，
由，得，
即，则.
直线的方程分别为.
令，则.
则，
，
所以
.
因为，所以.
即的取值范围为.
所以存在最小值，且最小值为.
【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键在于利用韦达定理将双变量变为单变量问题，从而由的范围，得出的取值范围.
19．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．点，直线：．
(1)证明：直线与椭圆相交于两点，且每一点与的连线都是椭圆的切线；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，与直线交于点，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知求得椭圆方程，联立直线与椭圆方程，即可证得线与椭圆相交于两点，设交点，得直线的方程为，代入椭圆方程，整理成关于的一元二次方程，即可证明的连线都是椭圆的切线；
（2）根据四点共线，要证即证，设，不妨设，则证明转化为，设直线的方程为，联立直线与直线，直线与椭圆，利用坐标关系即可证明结论.
【详解】（1）由题意可知，因此，则椭圆方程为：
因为由消去可得，，
则该方程有两个不相等的实根，所以直线与椭圆相交于两点；
设为直线与椭圆的交点，则，，
直线的方程为，即，代入椭圆方程得，
所以，
整理得，
即，所以，
故是椭圆的切线.
（2）因为四点共线，由（1）可知在线段外，在线段内，所以与的方向相同，与的方向相同，
要证，只需要，即证，
设，不妨设，
因为四点共线，所以等价于，即，
显然，
设直线的方程为，即，
由，可得；
由可得，
从而可知，
因此
，
所以结论成立.
20．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过的直线与交于两点，过的左顶点作的垂线，垂足为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程.
（2）设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由得到直线与直线垂直，利用相似三角形证得结论成立.
【详解】（1）的右焦点为，
渐近线方程为，
，
，
的方程为：；
（2）设方程为，
联立得：，
，
，
设，则，，
，
，
，
直线与直线垂直，
在中，
，
，
即.

21．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，直线过与交于两点，当时，的面积为9.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知都在的右支上，设的斜率为.
①求实数的取值范围；
②是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)①②不存在，理由见解析
【分析】（1）由已知条件可得，然后利用勾股定理结合双曲线的定义，及的面积可求出，再由离心率可求出，从而可求得双曲线的方程，
（2）①设直线，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系结合判别式可求出实数的取值范围；②假设存在实数，使为锐角，则，所以，再结合前面的式子化简计算即可得结论.
【详解】（1）因为，所以.
则，所以，
的面积.
又的离心率为，所以.
所以双曲线的方程为.
（2）①根据题意，则直线，
由，得，
由，得恒成立.
设，则，
因为直线与双曲线的右支相交于不同的两点，
所以，即，
所以，解得.
②假设存在实数，使为锐角，所以，即，
因为，
所以，
由①得，
即解得，
与矛盾，故不存在.

22．已知离心率为的双曲线，直线与C的右支交于两点，直线l与C的两条渐近线分别交于两点，且从上至下依次为，．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1），根据双曲线离心率表示出的关系，可得双曲线渐近线方程，记，进而可求得的坐标表达式，联立可得根与系数关系式，从而推出与的中点均为同一个点P，结合，推出是线段的两个四等分点，即可求得，从而，即可求得，可得答案；
（2）利用（1）的结论，可求得，利用三角形面积公式结合数量积的运算，将面积化为，结合向量的坐标运算，即可求得答案.
【详解】（1）设，设的中点为，
记，则直线即，
因为双曲线的离心率为，所以，故，
于是双曲线的渐近线为．
联立,解得,即，
同理由,解得,即，于是．
联立,消去x，得．
即,需满足，
由韦达定理，得，
所以，，说明与的中点均为同一个点P，
所以，关于点P对称，关于点P对称，所以，
因为，所以是线段的两个四等分点，
故P点纵坐标为，所以，
于是，即，结合，
解得，满足，则，
故所求双曲线方程为．
（2）由（1）可知，，
于是．
设，则
，
代入，
得，
故的面积为．
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