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2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展15 平面向量中的最值（范围）问题（精讲+精练）
一、平面向量中的最值（范围）问题
平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种：
一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决．
二、极化恒等式
设a，b是平面内的两个向量，则有
证明：，①，②
将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．
①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得．
即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”．
②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得，
该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．
注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．
【典例1】（极化恒等式的应用）已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值．
解：令（其中），则三点共线（如图），从而的几何意义表示点到直线的距离为，这说明是等边三角形，为边上的高，故．
取的中点，则由向量极化恒等式可得，
其中为点到边的距离．
即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值．
【典例2】（数量积的最值（范围））已知，若点M是所在平面内的一点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，
依题意，所以，
，所以，
所以.故选：C.
【典例3】（模的最值（范围））已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】在中，设，则，
因为，即，所以为等边三角形，
以为邻边作平行四边形，设交于点，
可得，则，
因为，取的起点为，
可知的终点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，
如图，当点为的延长线与圆的交点时，的最大值为；
当点为线段与圆的交点时，的最小值为；
所以.故选：A.
【典例4】（夹角的最值（范围））平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由两边平方得，又，则.
，当时取等号.则与夹角的余弦值的最大值.故选：A.
【题型训练-刷模拟】
1.极化恒等式的应用
1．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径， ，则
A． B． C． D．
2．如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心 半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在中，是的中点，在边上，且，与交于点，若，则的值是
A． B． C． D．3
4．已知的斜边的长为4，设是以为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
5．已知图中正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知边长为2的正方形ABCD内接于圆O，点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则__________．
8．如图，圆为的内切圆，已知，过圆心的直线交圆于两点，则的取值范围是_________．
2.数量积的最值（范围）问题
一、单选题
1．（2023·河南安阳·统考三模）已知菱形的边长为，，为菱形的中心，是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，点分别在上，且，点是圆弧上的动点（包括端点），则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）在中，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为2，，点E在边BC上，，若G为线段DC上的动点，则的最大值为（ ）
A．2 B．
C． D．4
8．（2023·全国·高三专题练习）圆为锐角的外接圆，，点在圆上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·江苏盐城·统考三模）在中，，，，则的取值范围是 .
10．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是 .
11．（2023·全国·高三专题练习）如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是 .
12．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，已知，点D，E分别在边AB，AC上，且 ，点F为线段DE上的动点，则的取值范围是 ．
13．（2023·全国·高三专题练习）在中，是其外心，，，.边，上分别有两动点，，线段恰好将分为面积相等的两部分.则的最大值为 .
14．（2023·河北·统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为 ．
3.模的最值（范围）问题
一、单选题
1．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知向量，满足，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·新疆·统考二模）已知向量，满足，，（θ为与的夹角），则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·北京海淀·校考三模）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，都是单位向量，若，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江·模拟预测）已知在三角形ABC中，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，，其中，点P，Q分别为MN，BC的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）在长方形中，，，点在边上运动，点在边上运动，且保持，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知单位向量与向量垂直，若向量满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·重庆·统考三模）已知均为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，则的最大值为 ．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足，则的最大值是 ．
13．（2023·全国·高三专题练面向量满足，与的夹角为，且则的最小值是 ．
14．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末）已知向量，，，满足，，，，若，则的最小值为 .
15．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值
16．（2023·全国·高三专题练习）已知为正交基底，且，分别为的中点，若，则的最小值为 .
17．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，向量，，，满足，，若，则的取值范围是
4.夹角的最值（范围）问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，若向量，的夹角是锐角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量，的夹角为，，且，则夹角的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知与均为单位向量，其夹角为．若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知单位向量，若对任意实数x，恒成立，则向量的夹角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，满足，记与夹角为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则与的夹角的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·高三专题练面向量满足，则与夹角最大值时为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知不共线的平面向量，满足，，，则与的夹角的余弦取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2023·高三课时练习）已知向量、满足，，且，则与的夹角的取值范围是 .
13．（2023春·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知非零向量，满足，且，则的最大值为 ．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC的面积为S满足，且，与的夹角为θ.则与夹角的取值范围 ．
15．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知单位向量，若对任意实数，恒成立，则向量的夹角的最小值为 .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，，则向量与的夹角的最大值是 ．
17．（2023·北京海淀·高三专题练习）已知平面向量满足，则向量与夹角的最大值是 ．
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展15 平面向量中的最值（范围）问题（精讲+精练）
一、平面向量中的最值（范围）问题
平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种：
一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决．
二、极化恒等式
设a，b是平面内的两个向量，则有
证明：，①，②
将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．
①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得．
即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”．
②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得，
该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．
注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．
【典例1】（极化恒等式的应用）已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值．
解：令（其中），则三点共线（如图），从而的几何意义表示点到直线的距离为，这说明是等边三角形，为边上的高，故．
取的中点，则由向量极化恒等式可得，
其中为点到边的距离．
即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值．
【典例2】（数量积的最值（范围））已知，若点M是所在平面内的一点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，
依题意，所以，
，所以，
所以.故选：C.
【典例3】（模的最值（范围））已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】在中，设，则，
因为，即，所以为等边三角形，
以为邻边作平行四边形，设交于点，
可得，则，
因为，取的起点为，
可知的终点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，
如图，当点为的延长线与圆的交点时，的最大值为；
当点为线段与圆的交点时，的最小值为；
所以.故选：A.
【典例4】（夹角的最值（范围））平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由两边平方得，又，则.
，当时取等号.则与夹角的余弦值的最大值.故选：A.
【题型训练-刷模拟】
1.极化恒等式的应用
1．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径， ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为圆半径为1是直径，所以根据向量加法和减法法则知：；又是直径，所以则
故选 B
2．如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心 半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意，，且，，
所以，，
所以，
易知，当时，最小，
所以，即，解得，
故的最小值为．故选 B
3．如图，在中，是的中点，在边上，且，与交于点，若，则的值是
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】过作交于.因为M是AC的中点，故是的中点，
故是的中位线，故且.又，故，故且.
故，故，，故.
又，故，即.
化简得，所以.故选 A
4．已知的斜边的长为4，设是以为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，在上，不妨取的中点，则．
设圆的半径为，而，则：
．
因此的取值范围是．故选C
5．已知图中正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，所以正六边形的内切圆的半径为，外接圆的半径，
又由
，
因为，即，可得，
所以的取值范围是.故选：D
6．已知边长为2的正方形ABCD内接于圆O，点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设圆的半径为，则，所以.
如图，根据向量加法的三角形法则可知
，，且，
所以.
由已知可得，正方形上的点到点的距离，
所以，所以.
故选：D.
7．在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则__________．
【解析】取的中点，取，，
，
因为的最小值，
所以．作，垂足为，如图，
则，又，所以，
因为，
所以由正弦定理得：，，
所以
．故答案为：.
8．如图，圆为的内切圆，已知，过圆心的直线交圆于两点，则的取值范围是_________．
【解析】圆O的半径为1，考虑到P、Q两点都是动点，不妨将，这样一转化，，，而，若，则．
若Q在的投影为的中点时，，因此的取值范围是．
2.数量积的最值（范围）问题
一、单选题
1．（2023·河南安阳·统考三模）已知菱形的边长为，，为菱形的中心，是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，其中，将、用基底表示，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的最小值.
【详解】设，其中，
由平面向量数量积的定义可得，
，
因为为菱形的中心，则，
所以，
，
因此，的最小值为.
故选：C.
2．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，点分别在上，且，点是圆弧上的动点（包括端点），则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，则，利用平面向量的坐标运算得，结合基本不等式即可求得最值.
【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系

则，设，则，
所以，
因为，所以，又，则，所以，当且仅当时，等号成立
则的最大值为，所以的最大值为，即的最小值为.
故选：A.
3．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）在中，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，利用余弦定理可求得，根据向量数量积定义可得，利用三角形三边关系可求得的范围，结合二次函数性质可求得结果.
【详解】设，则，
由余弦定理得：，
；
，，，
即的取值范围为.
故选：D.
4．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，用数量积的坐标运算.，转化为直线与圆有公共点求参数最值问题.
【详解】因为，又，所以，所以，
以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系：

则，，设，则，
，，
所以，
设，即，
依题意直线与圆有公共点，
所以，得，
所以的最小值为.
故选：A
5．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由题设易知且，，进而求即可得答案.
【详解】由圆O是△ABC的外接圆，且，故，
所以，，
则
，
仅当时等号成立.
故选：A
6．（2023·全国·高三专题练习）已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，根据线性运算进行变换可求得；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出，得到关于的二次函数，求得二次函数最小值即为结果.
【详解】由题意知：，设

以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：
，，设
则，
当时，
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量数量积的运算问题，涉及到利用定义的运算和数量积的坐标运算，解题关键是能够通过线性运算进行变换，通过数量积运算的定义求得夹角；再通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算，通过函数关系求解得到最值.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为2，，点E在边BC上，，若G为线段DC上的动点，则的最大值为（ ）
A．2 B．
C． D．4
【答案】B
【分析】利用向量的数量积的定义及数量积的运算，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意可知，如图所示
因为菱形ABCD的边长为2，，
所以,，
设，则
，
因为，所以,
,
,
当时，的最大值为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用向量的线性运算求出，结合向量数量积定义和运算即可.
8．（2023·全国·高三专题练习）圆为锐角的外接圆，，点在圆上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把转化为，由余弦定理、数量积的定义得，讨论的位置得，结合锐角三角形恒成立，即可得范围.
【详解】由为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，
又，而，若外接圆半径为r，
则，故，且，即，
由，
对于且在圆上，当为直径时，当重合时，
所以，
综上，，
锐角三角形中，则，即恒成立，
所以，则恒成立，
综上，.故选: C
二、填空题
9．（2023·江苏盐城·统考三模）在中，，，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用正弦定理和向量数量积的定义得，再根据的范围和正切函数的值域即可求出其范围.
【详解】根据正弦定理得，即，
，
，
，
即的取值范围.
故答案为：.
10．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由向量的数量积公式得出，求出的最大值和最小值即可得出结果.
【详解】由线段EF的中点为点B，得出.
.当点P位于点A或点C时，取最大值8.
当点P位于的中点时，取最小值，即，
∴的取值范围为，∴的取值范围为.
故答案为：.
11．（2023·全国·高三专题练习）如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由向量的运算得出，再由的范围得出的取值范围.
【详解】
，且.
即
设与的夹角为，则.
因为，所以.
故答案为：
12．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，已知，点D，E分别在边AB，AC上，且 ，点F为线段DE上的动点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设，以为基底，将分别用表示，再结合数量积的运算律把用表示，再结合二次函数的性质即可得解.
【详解】因为，
所以，
设，
则
，
，
则
，
对于，其开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了平面向量的线性运算及数量积的运算，以为基底，将分别用表示，是解决本题的关键.
13．（2023·全国·高三专题练习）在中，是其外心，，，.边，上分别有两动点，，线段恰好将分为面积相等的两部分.则的最大值为 .
【答案】
【分析】利用余弦定理求出，再由正弦定理求出外接圆半径，利用外心定义及数量积定义计算出、及的值，又，利用数量积运算表示，利用基本不等式即可求出最值.
【详解】在中，由余弦定理即及，，.
得，设，
因为线段恰好将分为面积相等的两部分，
所以，
因为是其外心，所以，，
由正弦定理得，
且，
又，
所以
因为，且，所以，
当且仅当时即，等号成立，
此时，即的最大值为.故答案为：
14．（2023·河北·统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为 ．
【答案】
【分析】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用平面向量数量积的坐标表示结合三角函数的性质即可得解.
【详解】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，设，
则，
则，
由，得，
所以当，即时，取得最小值.
故答案为：.
3.模的最值（范围）问题
一、单选题
1．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知向量，满足，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量的数量积与模的关系消元化简计算即可.
【详解】设向量，的夹角为，则，
易知，即
所以，所以，即.
故选：D.
2．（2023·新疆·统考二模）已知向量，满足，，（θ为与的夹角），则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模长的计算公式求解即可.
【详解】因为向量，满足，，（θ为与的夹角），
则，
则
，
当且仅当时取等号，
即的最小值为1，即的最小值为1.
故选：C.
3．（2023·北京海淀·校考三模）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】设，，根据求出，再根据得到，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得.
【详解】依题意设，，
由，所以，则，
又，且，
所以，即，
所以，当且仅当时取等号，
即的最大值为.
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，都是单位向量，若，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据数量积的运算律得到，设，即可得到，再由求出的范围，即可得解.
【详解】由，得，即．
设，则，显然，
所以．
又，所以，
所以，即的最大值为．
故选：C．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在平面内一点，作，，，取的中点，计算出、的值，利用向量三角不等式可求得的最大值.
【详解】在平面内一点，作，，，则，则，
因为，则，故为等腰直角三角形，则，
取的中点，则，
所以，，所以，，
因为，
所以，，则，
所以，.
当且仅当、同向时，等号成立，故的最大值为.
故选：B.
6．（2023·浙江·模拟预测）已知在三角形ABC中，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，，其中，点P，Q分别为MN，BC的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，再计算，得到函数，最后根据二次函数在区间最值的求法即可求解.
【详解】，
则，
而，
，
而的对称轴为，
故当时，，
故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）在长方形中，，，点在边上运动，点在边上运动，且保持，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立坐标系，设，表示出各点的坐标，根据向量的模和三角函数的图象和性质即可求出．
【详解】解：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
，，
，
则，，，
设，则，
则，，
，，
，，
，
，其中，
，
当时，，当时，，
当时，取得最大值，最大值为．
故选：A．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件可得，，，设，，，可得点的轨迹为圆，由圆的性质即可求解.
【详解】因为，所以，，
，因为，所以，
设，，，
，，
所以，
即，
所以点在以为圆心，半径的圆上，
表示圆上的点与定点的距离，
所以的最小值为，
故选：D.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知单位向量与向量垂直，若向量满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意不妨设，设，由模的坐标表示得点在圆上，由的几何意义，只要求得圆心到原点的距离后可得结论．
【详解】由题意不妨设，设，则．
∵，∴，即表示圆心为，半径为1的圆，设圆心为P，∴．
∵表示圆P上的点到坐标原点的距离，，∴的取值范围为，
故选：C．
10．（2023·重庆·统考三模）已知均为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将向量的起点平移到原点，设向量，，的终点分别为，将化为，得点在以为直径的圆上，利用圆的知识可求出结果.
【详解】将向量的起点平移到原点，设向量，，的终点分别为，
则，，
由得，得，
则点在以为直径的圆上，
因为均为单位向量，且夹角为，不妨设，，
则，，所以以为直径的圆的圆心，半径为，
又，所以，
即的最大值为.
故选：D
二、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用向量模的坐标形式可求的最大值.
【详解】，所以
当时，的最大值为：.
故答案为：.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】由题意可设的坐标，设，利用求得的终点的轨迹方程，即可求得答案.
【详解】因为是平面内两个互相垂直的单位向量，
故不妨设，设，
由得：，
即，即，
则的终点在以为圆心，半径为的圆上，
故的最大值为，
故答案为：
13．（2023·全国·高三专题练面向量满足，与的夹角为，且则的最小值是 ．
【答案】
【分析】设，，设，根据结合数量积的运算求得C的轨迹是以为圆心，1为半径的圆,利用的几何意义可求得答案.
【详解】由题意不妨设O为坐标原点，令，，设，
由于,
∴，∴，
即，故C的轨迹是以为圆心，1为半径的圆,
故，
故答案为：
14．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末）已知向量，，，满足，，，，若，则的最小值为 .
【答案】
【分析】令，进而根据向量模的不等式关系得，且，再求向量的模，并结合二次函数性质即可得答案.
【详解】设，则，
所以，
，
由二次函数性质可得，，即：
所以，
所以的最小值为
故答案为： .
15．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值
【答案】
【分析】先根据平面向量的数量积公式求出与的夹角，根据条件，可设，再设，根据平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质得出，即可求出结果.
【详解】解：，设与的夹角为，
，
，又，则，
不妨设，再设，
则
，
即，
所以的最大值为.
故答案为：.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知为正交基底，且，分别为的中点，若，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由为正交基底，且，结合向量的线性运算和数量积运算可得，再由分别为的中点，可得，再利用基本不等式可求得其最小值.
【详解】因为为正交基底，所以，
因为，
所以，
所以，
因为分别为的中点，，
所以
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
17．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，向量，，，满足，，若，则的取值范围是
【答案】[11，13]
【分析】依题意可得、、三点在以为圆心，1为半径的圆上，且是圆的直径，所以，设、的夹角为，根据数量积的运算律及定义得到，再根据余弦函数的性质计算可得.
【详解】解：因为，
所以、、三点在以为圆心，1为半径的圆上，
又，
所以，所以，
所以是圆的直径，
所以，
所以，
设、的夹角为，
则
，
因为，
所以，
所以，
所以，
即的取值范围是.
故答案为：
4.夹角的最值（范围）问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，若向量，的夹角是锐角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题知，进而解不等式组即可得答案.
【详解】因为，，
所以，
因为向量，的夹角是锐角，所以，解得，且．
所以，实数的取值范围是.
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量，的夹角为，，且，则夹角的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用向量数量积运算律及题设可得，注意等号成立条件，结合已知不等条件求范围，即可得最小值.
【详解】由有，即，
前一个等号成立条件为，整理得.
由于，所以，于是夹角为的最小值为.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知与均为单位向量，其夹角为．若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由向量模与夹角的公式得，进而结合向量的夹角范围求解即可.
【详解】解：因为与均为单位向量，其夹角为，，
所以，即，
因为 ，所以，即.
故选：C
4．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知单位向量，若对任意实数x，恒成立，则向量的夹角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量数量积与模长的关系结合一元二次不等式恒成立的解法计算即可.
【详解】设向量的夹角为θ，因为，所以，
则，即恒成立.
所以，解得，
故的夹角的取值范围是.
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，满足，记与夹角为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量的数量积把用表示后，利用函数的知识可得最小值．
【详解】设，则，
令，则，，
由得，，
∴时，取得最大值，∴的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查平面向量的夹角，掌握关键是由平面向量的数量积把表示为的函数，然后由函数的性质得出最小值．
6．（2023·全国·高三专题练面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，，则，设，，，根据均值不等式计算最值，再利用同角三角函数关系得到答案.
【详解】如图所示：设，，则，设，，，
，
当，即时等号成立，故，
当最小时，最大，
故与夹角的正弦值的最大值为.
故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则与的夹角的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设与夹角为，，由，可得，整理可得，根据均值不等式和余弦函数图象，即可求得与的夹角的最大值.
【详解】设与夹角为，
整理可得：，即
，代入
可得
可得：，即
整理可得：
当且仅当，即取等号
故，结合，
根据余弦函数图象可知最大值：
故选：A.
【点睛】本题主要考查了求两个向量夹角最值问题，解题关键是掌握向量数量积公式和根据均值不等式求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
8．（2023·全国·高三专题练习）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用，与即可确定在上的投影与在上的投影，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，即可确定，的横坐标，设出坐标由得到两向量纵坐标的关系后，列出，夹角的余弦值的式子，利用基本不等式确定余弦值的范围，即可确定，夹角的范围，注意即，的夹角为锐角.
【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
，，，
，，三者直接各自的夹角都为锐角，
，，，
，，即在上的投影为1，在上的投影为3，
，，如图
，
即，且
则，
由基本不等式得，
，
与的夹角为锐角，
，
由余弦函数可得：与夹角的取值范围是，
故选：C.
9．（2023·全国·高三专题练面向量满足，则与夹角最大值时为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件对两边平方即可得出,从而可求出,进而即可得出然后根据基本不等式即可得出求出向量夹角的最大值,判断出，.
【详解】因为平面向量满足，所以，
所以，所以.
由夹角公式，（当且仅当，即时等号成立）.
因为，所以，即时最大.
此时.
故选：D
10．（2023·全国·高三专题练习）已知不共线的平面向量，满足，，，则与的夹角的余弦取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】不妨设，由题意得到向量的终点的轨迹，结合条件，利用双曲线上点的特征，数形结合得到结论.
【详解】∵，不妨设，由，得，
令，其对应点N的轨迹是以（﹣2，0），（2，0）为焦点的双曲线的右支，
方程为：，
实半轴为1，虚半轴为，又，则，
此时与x轴的夹角为，
则满足的N在图中双曲线N点的上方或在双曲线上与N点关于x轴对称的点下方的位置，如图位置：
又双曲线的渐近线为，所以与的夹角范围为，所以与的夹角的余弦取值范围为
故选：B．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设与夹角为，与所成夹角为，利用平面向量的数量积可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范围，即可得解.
【详解】设与夹角为，与所成夹角为，
，
所以，，①
，②
又，③
②与③联立可得，④
①④联立可得，
当且仅当时，取等号，，，则，
故与所成夹角的最大值是，
故选：A.
【点睛】方法点睛：求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
（2）坐标法：若非零向量、，则.
二、填空题
12．（2023·高三课时练习）已知向量、满足，，且，则与的夹角的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用平面向量的数量积求出向量夹角的余弦范围作答.
【详解】因为，，且，则有，
因此，而，余弦函数在上单调递减，即有，
所以与的夹角的取值范围是.
故答案为：
13．（2023春·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知非零向量，满足，且，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】将两边平方，再利用基本不等式即可得解.
【详解】，则，
当且仅当，即时，取等号，
所以，
所以的最大值为.
故答案为：.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC的面积为S满足，且，与的夹角为θ.则与夹角的取值范围 ．
【答案】.
【分析】由题，结合面积公式，向量点乘定义，可得，进一步讨论θ的取值范围即可
【详解】由题，，∴，
，，θ为锐角，
∵，即，又，
∴，即，∴，
，
故答案为：
15．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知单位向量，若对任意实数，恒成立，则向量的夹角的最小值为 .
【答案】
【分析】把两边平方得到关于的一元二次不等式，利用一元二次不等式恒成立的条件以及两向量夹角的余弦公式求得结果.
【详解】，是单位向量，由得：，
依题意，不等式对任意实数恒成立，
则，解得，
而，则，
又，函数在上单调递减，
因此，
所以向量，的夹角的取值范围为.则向量的夹角的最小值为.
故答案为：.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，，则向量与的夹角的最大值是 ．
【答案】
【分析】根据条件化简整理可得，然后利用向量的夹角公式和均值不等式即可求解.
【详解】由，得．
又由，得，则，
即，即，
所以，
当且仅当时取等号，所以向量与的夹角的最大值是.
故答案为：.
17．（2023·北京海淀·高三专题练习）已知平面向量满足，则向量与夹角的最大值是 ．
【答案】
【分析】设，利用向量的数量积运算求得，再利用向量夹角余弦的表示，结合基本不等式即可得解.
【详解】因为，
所以，
设，则当与同向时，取得最大值为，
当与反向时，取得最小值为，故，
又，则，
所以，
设与的夹角为，则，
由于在上单调递减，故要求的最大值，则求的最小值即可，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，即的最小值为，
因为，所以此时，即向量与夹角的最大值为.
故答案为：
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