资源简介

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展17 解三角形中三角形的中线和角平分线问题（精讲+精练）
一、三角形中线问题
如图在中，为的中点，，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用）
二、角平分线问题
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
①等面积法
（常用）
②内角平分线定理：
或
③边与面积的比值：
【典例1】在中，内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线的长.
【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果；
（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出，最后利用求模公式即可求边上的中线的长.
【详解】（1）因为，所以，
所以，即，所以，
由余弦定理及得：
，又，
所以，即，所以，
所以.
（2）由，所以，
由（1），所以，因为为边上的中线，
所以，所以（通过平方，将向量转化为数量）
，所以，
所以边上的中线的长为：.
【典例2】在中.AB＝2，AC＝，BC＝4，D为AC上一点.
(1)若BD为AC边上的中线，求BD；
(2)若BD为∠ABC的角平分线，求BD.
【分析】（1）利用余弦定理，先求得，然后求得.
（2）利用余弦定理，先求得，即可求得、，利用等面积法求得.
【详解】（1）在中，，
因为BD为AC边上的中线，所以，
在中，，所以（活用两次余弦定理）
（2）在中，，
由于，所以.
因为BD为的角平分线，所以.
由，得（等面积法）
即，解得.
【题型训练-刷模拟】
1.中线问题
一、解答题
1．（2029·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别是，，，已知．
（1）求；
（2）若边上的中线的长为，求面积的最大值．
2．（青海省海东市2029届高三第三次联考数学试题）在中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的值；
(2)若，求边上的中线的最大值．
9．（2029·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求边中线的取值范围．
4．（2029·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，且．
（1）求角A的值；
（2）若边上的中线，求的面积．
5．（2029·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知为的内角所对的边，向量,，且．
(1)求；
(2)若，的面积为，且，求线段的长．
6．（2029·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若AD为BC边上中线，，求△ABC的面积.
7．（2029·全国·高三专题练习）已知的三个内角、、所对的边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，边上的中线长为，求的周长．
8．（2029·全国·高三专题练习）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若边上的中线，求的面积.
9．（2029·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知中，，，
(1)求；
(2)若点D为BC边上靠近点B的三等分点，求的余弦值．
10．（2029·全国·高三专题练习）在△ABC中，角所对的边分别为，已知.
(1)求的大小；
(2)的面积等于，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长.
11．（重庆市九龙坡区2029届高三二模数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A；
(2)若，的面积为，求边BC的中线AD的长.
12．（2029·全国·高三专题练习）锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的值；
(2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围．
19．（浙江省重点中学拔尖学生培养联盟2029届高三下学期6月适应性考试数学试题）在中，角的对边分别为且，
(1)求；
(2)求边上中线长的取值范围．
14．（2029·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（I）求△ABC的面积；
（II）若sinA：sinC=9：2，求AC边上的中线BD的长．
15．（2029·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
16．（2029·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知的内角的对边分别为，且，.
(1)求角的大小；
(2)若，点满足，点满足，求.
17．（2029·全国·高三专题练习）在中，
(1)求角A的大小
(2)若BC边上的中线，且，求的周长
18．（2029·全国·高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围.
2.角平分线问题
一、解答题
1．（2029·辽宁葫芦岛·统考一模）在中，角所对的边分别为．，角的角平分线交于点，且，．
(1)求角的大小；
(2)求线段的长．
2．（2029·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，边上的高为，
(1)求c的值；
(2)设是的角平分线，求的长.
9．（2029·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若角的角平分线与交于点，，，求的面积．
4．（2029·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)若的面积为，点在边上，是的角平分线，且，求的周长.
5．（2029·全国·高三专题练习）记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值.
6．（2029·全国·高三专题练习）在中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小，
(2)若，角的角平分线交于，且，求的面积．
7．（2029·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，， ，外接圆面积为.
(1)求；
(2)若为角的角平分线，交于点，求的长.
8．（2029·全国·高三专题练习）在 中，已知.
(1)求的值；
(2)若是的角平分线，求的长．
9．（2029·全国·高三专题练习）中，，，，.
(1)若，，求的长度；
(2)若为角平分线，且，求的面积.
10．（2029·全国·高三专题练习）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB
(1)若，求tanC的值：
(2)已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且求△ABC的面积．
11．（2029秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，
①的角平分线交于M，求线段的长；
②若D是线段上的点，E是线段上的点，满足，求的取值范围．
12．（2029·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为 ，且.
(1)求角B；
(2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.
19．（2029·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交于点，且，求的最小值，
14．（2029·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足（a+2b）cosC+ccosA=0.
(1)求角C的大小；
(2)设AB边上的角平分线CD长为2，求△ABC的面积的最小值.
15．（2029·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知．
(1)求；
(2)若外接圆面积为，求的最大值；
(9)若，且的角平分线，求．
16．（2029·全国·高三专题练习）已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
(1)证明：；
(2)若为的角平分线，交AB于D点，且．求的值．
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展17 解三角形中三角形的中线和角平分线问题（精讲+精练）
一、三角形中线问题
如图在中，为的中点，，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用）
二、角平分线问题
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
①等面积法
（常用）
②内角平分线定理：
或
③边与面积的比值：
【典例1】在中，内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线的长.
【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果；
（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出，最后利用求模公式即可求边上的中线的长.
【详解】（1）因为，所以，
所以，即，所以，
由余弦定理及得：
，又，
所以，即，所以，
所以.
（2）由，所以，
由（1），所以，因为为边上的中线，
所以，所以（通过平方，将向量转化为数量）
，所以，
所以边上的中线的长为：.
【典例2】在中.AB＝2，AC＝，BC＝4，D为AC上一点.
(1)若BD为AC边上的中线，求BD；
(2)若BD为∠ABC的角平分线，求BD.
【分析】（1）利用余弦定理，先求得，然后求得.
（2）利用余弦定理，先求得，即可求得、，利用等面积法求得.
【详解】（1）在中，，
因为BD为AC边上的中线，所以，
在中，，所以（活用两次余弦定理）
（2）在中，，
由于，所以.
因为BD为的角平分线，所以.
由，得（等面积法）
即，解得.
【题型训练-刷模拟】
1.中线问题
一、解答题
1．（2029·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别是，，，已知．
（1）求；
（2）若边上的中线的长为，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由正弦定理化角为边，结合余弦定理可得，即可求出；
（2）由平方可得，利用基本不等式可得，即可求出面积最值.
【详解】解：（1）因为，
所以由正弦定理可得，
即．
再由余弦定理可得，即．
因为，所以．因为，所以．
（2）因为，所以，
即．
因为，所以，当且仅当时取等，
故，则的最大值为．
2．（青海省海东市2029届高三第三次联考数学试题）在中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的值；
(2)若，求边上的中线的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）切化弦后，结合两角和差公式和诱导公式可求得，进而得到；
（2）利用余弦定理和基本不等式可求得范围，根据，平方后，结合向量数量积定义和运算律可求得结果.
【详解】（1），，
，又，.
（2）由余弦定理得：（当其仅当时取等号），
，，
，
，
，即的最大值为.
9（2029·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求边中线的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理求解即可得角；
（2）根据中线性质可得，在左右两侧平方，应用向量的数量积公式求值即可.
【详解】（1）由已知可得，
由余弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得，又，
所以．
（2）因为M为的中点，所以，
则，
即．
因为，所以．
所以，
所以．
4．（2029·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，且．
（1）求角A的值；
（2）若边上的中线，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式化简题设中的边角关系可得
（2）结合（1）可得为等腰三角形，在中利用余弦定理可求，从而可求的面积.
【详解】（1）由正弦定理可得，
整理得到，
因为，故，故，
因为，故.
（2）因为，，故，故为等腰三角形且.
设，则，
由余弦定理可得，故，
所以，故.
5．（2029·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知为的内角所对的边，向量,，且．
(1)求；
(2)若，的面积为，且，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量垂直的坐标表示以及正弦定理、余弦定理可求出；
（2）根据三角形面积公式求出，根据平面向量运算律可求出结果.
【详解】（1）因为，所以．
由正弦定理，得，即，
由余弦定理，得，
因为，所以.
（2），解得，
因为，则，
所以，.
6．（2029·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若AD为BC边上中线，，求△ABC的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用正弦定理边化角，再用三角恒等变换即可求解；
（2）利用，分别在△和△运用余弦定理可得
，再在△运用余弦定理得，两式联立即可求得，最后直接用三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理得，
∴，
∴,
∴，
∵，∴，
又∵, ∴,
（2）由已知得，，
在△中，由余弦定理得，
在△中，由余弦定理得，
又∵,
∴，
在△中，由余弦定理得，
以上两式消去得, 解得或（舍去），
则.
7．（2029·全国·高三专题练习）已知的三个内角、、所对的边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，边上的中线长为，求的周长．
【答案】（1）；（2）6．
【分析】（1）利用正弦定理边化角以及两角和的正弦公式化简可求得结果；
（2）根据两边平方可得，根据余弦定理可得，联立求出和，由此可求出，则可得三角形的周长.
【详解】（1）因为，所以，
根据正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
因为、、是的三个内角，
所以，，，
因为，所以．
（2）因为是边上的中线，所以，
所以，
所以，
所以，
所以①，
又因为，所以，即②，
由①②，解得，，，
则，所以，
∴，故的周长为6．
8．（2029·全国·高三专题练习）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若边上的中线，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为，再利用两角和的正弦公式求解；
（2）在中，由余弦定理得到，然后分别在和中，利用余弦定理结合，两式相加得到，联立求得c，再利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）解；因为，
所以，
所以，
即 ，
因为 ，
所以 ，
所以；
（2）在中，由余弦定理得，
即①，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，
两式相加得②，
由①②得，
所以.
9．（2029·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知中，，，
(1)求；
(2)若点D为BC边上靠近点B的三等分点，求的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由商数关系、和角正弦公式及三角形内角和性质可得，进而有，由和差角余弦公式得，同角平方关系及三角形内角性质求各角大小，即可得结果；
（2）取，应用余弦定理求，进而求的余弦值.
【详解】（1）由题意，
又，故，而，
且，所以，
，所以或（舍），
故，且，则，，故.
（2）不妨取，则，，

.
10．（2029·全国·高三专题练习）在△ABC中，角所对的边分别为，已知.
(1)求的大小；
(2)的面积等于，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）可得，化简可求出，从而得到的大小；
（2）由的面积等于可得，利用余弦定理和基本不等式可求出中线AD长最短时AB的边长.
(1)可得，
即，因为
从而，而，
所以.
(2)，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，
故.
11．（重庆市九龙坡区2029届高三二模数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A；
(2)若，的面积为，求边BC的中线AD的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用正弦定理结合,可得可得角；
（2）根据余弦定理及的面积，求得，再根据向量关系平方应用数量积公式求解即可.
【详解】（1）因为,所以,
可得,
又由两角和差正弦公式可得,
,，
所以,
.
（2）因为,所以,
因为余弦定理得,又已知,
可得,即得.
因为BC的中线AD,可得,
.
12．（2029·全国·高三专题练习）锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的值；
(2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简可得出，结合角为锐角可求得结果；
（2）由余弦定理可得出，利用平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算可得出，利用正弦定理结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围，可得出的取值范围，即可得解
【详解】（1）由，
，
，，，．
（2），，，
由余弦定理有：，，
所以，，
由正弦定理，，，，
，
，因为为锐角三角形，所以且，
则，,则，．
19．（浙江省重点中学拔尖学生培养联盟2029届高三下学期6月适应性考试数学试题）在中，角的对边分别为且，
(1)求；
(2)求边上中线长的取值范围．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）根据题意利用正弦定理进行边角转化，分析运算即可；
（2）利用余弦定理和基本不等式可得，再根据，结合向量的相关运算求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
整理得，
且，则，可得，即，
且，则，
由正弦定理，其中为的外接圆半径，
可得，
又因为，
所以.
（2）在中，由余弦定理，即，
则，当且仅当时，等号成立，
可得，即
设边上的中点为D，
因为，则
，
即，所以边上中线长的取值范围为.
14．（2029·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（I）求△ABC的面积；
（II）若sinA：sinC=9：2，求AC边上的中线BD的长．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）首先根据正弦定理，将原等式中的边化为角，再利用两角和的正弦公式化简，求出,再根据，得到，最后代入面积公式
（Ⅱ）由,得，根据上一问的结果可求，再根据中线表示向量为，两边平方后得到结果.
【详解】（Ⅰ）,由正弦定理可化为：
,,即,
,,
又,
得,,即，
的面积
（Ⅱ）由,得，
，又，解得：，
又,
,
,
即边上的中线的长为.
15．（2029·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由正弦定理化角为边得，再利用余弦定理可得结果；
（2）由余弦定理结合数量积运算得，由正弦定理可得，，所以，结合角的范围，利用三角函数性质可求得的范围，即可得出答案.
【详解】（1）已知，
由正弦定理可得，即，
所以，
因为，所以．
（2）由余弦定理可得，
又，
则，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
由题意得，解得，则，
所以，所以，
所以，所以中线CD长的取值范围为．
16．（2029·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知的内角的对边分别为，且，.
(1)求角的大小；
(2)若，点满足，点满足，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理得到，因为，求得，进而求得，即可求得的大小；
（2）在中，由余弦定理求得，再由，根据向量的数量积的运算公式，求得，再在中，求得，得到，进而得到，分别在和中，求得，，利用余弦定理求得，进而求得的值.
【详解】（1）解：因为，可得，
由正弦定理得，可得，
又因为，可得，则，
因为，所以，可得，所以，
又因为，可得，所以.
（2）解：在中，因为且，
由余弦定理得，即，
即，解得或（舍去），
设，因为，可得，
所以，
所以，即，
又因为，所以，所以，
在中，可得，可得，
因为，所以，
在中，可得，
所以，
在中，可得，
所以，
在中，可得，
所以
17．（2029·全国·高三专题练习）在中，
(1)求角A的大小
(2)若BC边上的中线，且，求的周长
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理可求角的大小；
（2）由面积公式可得，再在和中，由余弦定理可得，最后用完全平方公式可求的值，即可求得三角形的周长.
【详解】（1）由已知，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
在中，因为，
所以；
（2）由，得①，
由（1）知，即②，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因为，所以③，
由①②③，得，
所以，
所以的周长.
18．（2029·全国·高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由余弦定理结合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；
（2）由，结合正弦定理应用辅助角公式，根据锐角三角形中角的范围，即可应用三角函数值域求出范围
【详解】（1）由余弦定理得，
即，
由正弦定理得
，
，即，
.
（2）由余弦定理得：，则.
由正弦定理得
所以，
因为是锐角三角形，所以，即，
则.中线长的取值范围是.
2.角平分线问题
一、解答题
1．（2029·辽宁葫芦岛·统考一模）在中，角所对的边分别为．，角的角平分线交于点，且，．
(1)求角的大小；
(2)求线段的长．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由两角和与差公式化简求角即可；
（2）利用面积公式列方程解出线段的长．
【详解】（1）在中，由已知，可得：
则有：，
即
又，即有，
而，所以．
（2）在中，由（1）知，因为为角的角平分线，
则有，
由得：
解得，
所以线段的长为．
2．（2029·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，边上的高为，
(1)求c的值；
(2)设是的角平分线，求的长.
【答案】(1)9
(2)
【分析】（1）根据题意结合三角形面积公式运算求解；
（2）根据题意可得，结合三角形面积公式运算求解.
【详解】（1）由的面积，则，
且，解得，
故c的值为9.
（2）由（1）可得：，
由题意可得：，
∵，则，
即，解得，
故的长.
9．（2029·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若角的角平分线与交于点，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）根据三角形的面积公式结合等面积法求出，即可得解.
【详解】（1）因为，
所以根据正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）由，
得，解得，所以的面积为.
4．（2029·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)若的面积为，点在边上，是的角平分线，且，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题中等式和二倍角公式，正弦定理，余弦定理整理可得.
（2）利用三角形面积公式，先求，再利用余弦定理求即可.
【详解】（1），
，
由正弦定理得，
，
又，.
（2）
，
，
，
由题意知，
，
，
，
，
，故.
的周长为.
5．（2029·全国·高三专题练习）记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，结合三角恒等变换整理；（2）根据等面积可得，利用余弦定理得和基本不等式可得，根据面积得，整理分析．
【详解】（1）由正弦定理得，得，
因为，所以，即.
（2）因为，所以.
由余弦定理得，得（当且仅当时，等号成立），即.
因为，所以.
因为，所以.
因为函数在上单调递增，所以，
所以，即.故的最小值为.
6．（2029·全国·高三专题练习）在中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小，
(2)若，角的角平分线交于，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意和三角函数的基本关系式化简得，利用正弦定理和余弦定理，得到，即可求解；
（2）由的角平分线将分为和，得到，化简得到，又由余弦定理得到，联立求得的值，结合面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
由三角函数的基本关系式，可得
由正弦定理和，
即，
又由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为，所以.
（2）解：由的角平分线将分为和，如图所示，
可得，
因为，可得，且，
所以，
即，整理得，即，
又由，可得，即，
又由，
即，解得或（舍去），
所以的面积为.
7．（2029·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，， ，外接圆面积为.
(1)求；
(2)若为角的角平分线，交于点，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，角化边可得与的关系，由和外接圆半径可得，再由余弦定理即可解得；
（2）使用等面积法建立方程，求解即可.
【详解】（1）由已知，∵，
∴由正弦定理得，∴，
∵，，∴，即.
设外接圆半径为，则外接圆面积，∴，
∴由正弦定理，得，，
∵，∴或.
当时，由余弦定理，∴，
解得，∴（舍）；
当时，由余弦定理，∴，
解得，∴.
综上所述，.
（2）
由第（1）问知，，若为角的角平分线，则，
如图，设，，的面积分别为，，，
则，
∴
∴，
∴解得，.
8．（2029·全国·高三专题练习）在 中，已知.
(1)求的值；
(2)若是的角平分线，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理求出边的长，再利用正弦定理求出 （2）利用三角形的面积公式及面积关系，建立关于边的关系式求解即可得到答案
【详解】（1）在中，由余弦定理
整理得
解得或
由于，所以
因为，所以，所以
由正弦定理得：，故
（2）设，
由及三角形的面积公式可得：
整理得
在中，由余弦定理
由得
则
9．（2029·全国·高三专题练习）中，，，，.
(1)若，，求的长度；
(2)若为角平分线，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）从向量角度，以为基底，表示出，再用向量法计算的模长，即的长度；
（2）用正弦定理的面积公式分别A表示出，，面积，列出等式计算即可求出A的正弦值，继而求出面积.
【详解】（1）∵，，∴，
又∵在中，，，，
∴，
∴，即：.
（2）在中，，
又∵，
∴，∴，∴，
∴，
∴.
10．（2029·全国·高三专题练习）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB
(1)若，求tanC的值：
(2)已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且求△ABC的面积．
【答案】(1)或；
(2).
【分析】（1）利用同角关系式可得或sin，然后利用和角公式即得；
（2）由题可得，利用角平分线定理及条件可得，进而可得，，即得.
【详解】（1）因为，
所以，
解得或sin,
当时，，，
所以，；
当时，因为，
所以，又，
所以．
（2）∵，
∴，，
∴，即，
∴，
由角平分线定理可知，，又，
所以，
由，可得，
∴，，
所以．
11．（2029秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，
①的角平分线交于M，求线段的长；
②若D是线段上的点，E是线段上的点，满足，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据三角形内角的关系，结合二倍角公式求解即可；
（2）①法一：在与中根据正弦定理可得，再根据结合数量积运算求解即可；
法二：根据，结合面积公式列式求解即可；
②法一：根据平面向量基本定理可得，进而求得范围；
法二：以所在直线为x轴，过点A垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据坐标运算求解即可
【详解】（1），则，故，所以，因为，
可得，由，所以．
（2）①法一：在与中，
由正弦定理得，
即，故，
所以，
所以
法二：在中，由是的角平分线
所以
由知：
即，解得
②法一：由，得
又
所以．
的取值范围为；
法二：以所在直线为x轴，过点A垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由．则
因为，
所以．
所以
由，得的取值范围为
12．（2029·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为 ，且.
(1)求角B；
(2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简求值，可得答案.
（2）根据三角形的面积之间的关系，即，可得，结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由已知及正弦定理得：，
又在中，,
∴，
即，
又，∴,
又，∴，即角B的大小为.
（2）∵.
是的角平分线，而，
∴，
即，∴.
∵，∴，
∵，∴，即,
当且仅当时取等号，则，
即的面积的最小值为.
19．（2029·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交于点，且，求的最小值，
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦函数的和差公式化简题设条件，从而得到，由此得解；
（2）利用三角面积公式推得，从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
由于，则，所以，即，
又，所以.
（2）因为的角平分线交于点，且，，

根据三角形面积公式可得，
等式两边同除以可得，则，
则，
当且仅当，即时，等式成立，
故的最小值为.
14．（2029·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足（a+2b）cosC+ccosA=0.
(1)求角C的大小；
(2)设AB边上的角平分线CD长为2，求△ABC的面积的最小值.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）先通过正弦定理进行边化角，进而结合两角和与差的正弦公式将式子化简，然后求得答案；
（2）在和中，分别运用正弦定理，进而求出，然后在中再次运用正弦定理得到，最后通过三角形面积公式结合基本不等式求得答案.
【详解】（1）根据题意，由正弦定理可知：，则，因为，所以，则，而，于是.
（2）由（1）可知，，在中，设，则，
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
所以.
在中，由正弦定理得：，
所以.
由基本不等式可得：，当且仅当时取“=”.
于是，.即△ABC的面积的最小值为.
15．（2029·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知．
(1)求；
(2)若外接圆面积为，求的最大值；
(9)若，且的角平分线，求．
【答案】(1)
(2)
(9)
【分析】（1）由已知得，由余弦边角关系即可求值；
（2）由正弦定理求外接圆半径，由（1）得，进而求得，应用余弦定理、基本不等式求最值，注意等号成立条件.
（9）利用等面积法得，由二倍角余弦公式求，即可求结果.
【详解】（1）由题知，即，
由，解得．
（2）由外接圆面积为得外接圆半径，
由（1），所以，
由正弦定理得，解得，
由余弦定理得，即，
化简得，当且仅当a＝c时等号成立．
所以ac的最大值为．
（9）因为BD是的角平分线，则，
所以的面积，
所以，则，
由，所以，解得（负值舍去），
综上，．
16．（2029·全国·高三专题练习）已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
(1)证明：；
(2)若为的角平分线，交AB于D点，且．求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理可将转化为，结合角度关系转化得，即可证得；
（2）由为的角平分线，，可得，根据面积公式可求得，再由三角形为锐角三角形可得的范围，由平方公式二倍角公式可得的值，根据和差公式得的值，由余弦定理求得，再根据正弦定理的的值即可.
【详解】（1）证明：因为，由正弦定理得：
，又，
所以，整理得．
又，则，即.
（2）因为为的平分线，且，
所以，则，
所以，可得，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，所以，
由正弦定理得.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑