资源简介

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展20 累加、累乘、构造法求数列通项公式（精讲+精练）
一、累加法
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
二、累乘法
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
三、构造法
1.第一种形式：形如（其中均为常数且）型的递推式
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（9）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出
2.第二种形式：形如型的递推式
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为第一种形式，求出 ，再用累加法便可求出
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为第一种形式便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型第一种形式的方法解决．
（9）当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为累加法，求出之后得．
【典例1】在数列中，，.求的通项公式.
【分析】利用累加法以及等差数列的求和公式可求出结果.
【详解】因为，
所以当时，
，
又适合上式，所以.
【典例2】已知数列{}，，，求通项公式.
【答案】＝
【分析】由题得＝，再利用累乘法求解.
【详解】∵，，∴＝.
∴＝ (n≥2)．
以上各式相乘，得.∵＝ (n≥2)
又＝1满足上式，∴＝(n∈N*)．
【典例9】已知数列中，，且对任意，都有．求数列的通项公式；
【分析】(1)构造等比数列求通项；
【详解】（1）由得
又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，所以.
【题型训练1-刷真题】
一、单选题
1．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
9．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【题型训练2-刷模拟】
1.累加法
一、单选题
1．（2029·全国·高三专题练习）数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
9．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则（ ）
A．90 B．91 C．22 D．29
4．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则的通项为( )
A． B．
C． D．
5．（2029·全国·高三专题练习）若数列满足且，则数列的第100项为（ ）
A．2 B．9 C． D．
6．（2029·全国·高三专题练习）已知是数列的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，，且，则（ ）
A．6065 B．6064 C．4044 D．4049
8．（2029·全国·高三专题练习）在数列中，，，则
A． B． C． D．
9．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A．10.5 B．10.6 C．10.4 D．10.7
二、填空题
10．（2029·全国·高三专题练习）在数列中，，则数列中最大项的数值为 ．
11．（2029·全国·高三专题练习）设数列满足，则= .
12．（2029·全国·高三专题练习）数列满足，且对任意的都有，则数列的前100项的和为 .
19．（2029·全国·高三专题练习）已知数列的各项均不为零，且满足，（，），则的通项公式 ．
14．（2029·全国·高三专题练习）数列中，且，则 .
三、解答题
15．（2029·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项为，公差为2.数列满足
(1)求取得最小值时的值；
(2)若，证明：.
16．（2029·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）在数列中，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
17．（2029·河南郑州·模拟预测）已知数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
18．（2029·全国·高三专题练习）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图①、②、③、④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形.

(1)求出；
(2)归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式求的表达式；
(9)求证：.
19．（2029·内蒙古赤峰·校联考三模）设各项都为正数的数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设函数，且，求数列的前n项和．
20．（2029·全国·学军中学校联考二模）设数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
2.累乘法
一、单选题
1．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2029·全国·高三专题练习）已知，，则数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．n
9．（2029·全国·高三专题练习）数列中，，（为正整数），则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2029·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2029·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）若数列满足且，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A．20 B．19 C．21 D．22
二、填空题
6．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则的通项公式为 ．
7．（2029·全国·高三专题练习）在数列中，若，，则的通项公式为 ．
8．（2029·全国·高三专题练习）数列满足：，，则通项 ．
三、解答题
9．（2029·浙江金华·校考三模）已知等差数列的各项均为正数，，.
(1)求的前项和；
(2)若数列满足，，求的通项公式.
10．（2029春·山东临沂·高三校考阶段练习）已知数列的首项为1，前项和为，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
11．（2029春·山西吕梁·高二统考阶段练习）已知数列满足．
(1)若是等比数列，且成等差数列，求的通项公式；
(2)若是公差为2的等差数列，证明：．
12．（2029·湖北武汉·统考模拟预测）已知是数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
19．（2029·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项积．
9.构造法
一、单选题
1．（2029·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）在数列中，，且，则的通项为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2029·全国·高三专题练习）已知数列中，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
9．（2029·全国·高三专题练习）在数列中,,,则（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C．是等比数列 D．是等比数列
4．（2029·全国·高三专题练习）已知数列中，，，则数列的前10项和（ ）
A． B． C． D．2
5．（2029·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．2029
6．（2029·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2029·全国·高三专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为 .
8．（2029·全国·高三对口高考）数列中，，，则 ．
9．（2029·全国·高三专题练习）数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 .
10．（2029·全国·高三专题练习）已知数列中，，若，则正整数的值为 .
11．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式 ．
12．（2029·全国·高三专题练习）数列的前项和为，满足，且，则的通项公式是 ．
19．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则 ．
三、解答题
14．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，为数列的前n项和，求．
15．（2029·贵州毕节·校考模拟预测）已知数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
16．（2029·全国·高三专题练习）若，，.
(1)求证：；
(2)令，写出、、、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式.
17．（2029春·云南昭通·高三校考阶段练习）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
18．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列，，使得成立．
19．（2029·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为Sn，满足，且成等差数列．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
20．（2029·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展20 累加、累乘、构造法求数列通项公式（精讲+精练）
一、累加法
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
二、累乘法
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
三、构造法
1.第一种形式：形如（其中均为常数且）型的递推式
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（9）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出
2.第二种形式：形如型的递推式
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为第一种形式，求出 ，再用累加法便可求出
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为第一种形式便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型第一种形式的方法解决．
（9）当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为累加法，求出之后得．
【典例1】在数列中，，.求的通项公式.
【分析】利用累加法以及等差数列的求和公式可求出结果.
【详解】因为，
所以当时，
，
又适合上式，所以.
【典例2】已知数列{}，，，求通项公式.
【答案】＝
【分析】由题得＝，再利用累乘法求解.
【详解】∵，，∴＝.
∴＝ (n≥2)．
以上各式相乘，得.∵＝ (n≥2)
又＝1满足上式，∴＝(n∈N*)．
【典例9】已知数列中，，且对任意，都有．求数列的通项公式；
【分析】(1)构造等比数列求通项；
【详解】（1）由得
又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，所以.
【题型训练1-刷真题】
一、单选题
1．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．
【详解】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.
2．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．
二、解答题
9．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
【题型训练2-刷模拟】
1.累加法
一、单选题
1．（2029·全国·高三专题练习）数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据，利用累加法结合等差数列前n项和的公式即可得出答案.
【详解】解：因为，
则，
，
，
，
累加得，
所以.
当n=1时也成立
故选：A.
2．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由得，∴
，∴，当时也符合，∴数列的通项公式为.故选C.
9．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则（ ）
A．90 B．91 C．22 D．29
【答案】B
【分析】根据题意利用累加法求解即可
【详解】因为数列满足，，
所以，，，，
所以，
所以，
故选：B
4．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则的通项为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先把，利用累加法和裂项相消法可求答案.
【详解】因为，所以，则当时，，
将个式子相加可得，
因为，则，当时，符合题意，
所以.
故选：D.
5．（2029·全国·高三专题练习）若数列满足且，则数列的第100项为（ ）
A．2 B．9 C． D．
【答案】B
【分析】直接用累加法求解即可．
【详解】解：由题意，因为，
所以，
，
，
以上99个式子累加得，
．
故选：B．
6．（2029·全国·高三专题练习）已知是数列的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用累加法求得的通项公式，再运用裂项相消法求和即可.
【详解】解：当时，由累加法可得：，
所以（），
又因为，
所以（），
当时，，符合，
所以（），
所以，
所以．
故选：A.
7．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，，且，则（ ）
A．6065 B．6064 C．4044 D．4049
【答案】B
【分析】先由得到，再利用裂项抵消法进行求解.
【详解】因为，
所以，
即，
所以，，
，，
累加，得，
即，即，n=1成立
则.
故选：B.
8．（2029·全国·高三专题练习）在数列中，，，则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：在数列中，
故选A.
9．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A．10.5 B．10.6 C．10.4 D．10.7
【答案】A
【分析】由所给表达式，结合累加法可求得的通项公式；
进而求得的表达式，因为取正整数，利用最低点附近的求的最小值．
【详解】因为，所以由递推公式可得
当时，等式两边分别相加，得
，
因为，则，而满足上式，
所以，
即,，
函数在上单调递减,在上单调递增,又因为 ，，
当时，，
当时，，
因为，
所以的最小值为，
故选: .
二、填空题
10．（2029·全国·高三专题练习）在数列中，，则数列中最大项的数值为 ．
【答案】10
【分析】利用累加法，求出是一个二次函数类型的数列，通过二次函数的最值求解即可
【详解】当时，
，
所以当时，数列{}中最大项的数值为10.
故答案为：10.
11．（2029·全国·高三专题练习）设数列满足，则= .
【答案】
【分析】利用累加法和等比数列的前项和公式直接求通项即可.
【详解】因为数列满足，，
所以当时，
.
所以，，
因为，也满足上式，
所以数列的通项公式为，
故答案为：
12．（2029·全国·高三专题练习）数列满足，且对任意的都有，则数列的前100项的和为 .
【答案】
【分析】先根据累加法求出数列的通项公式，然后利用裂项求和进行求解.
【详解】由，则，……，于是，则，故数列的前项的和为：.
故答案为：
19．（2029·全国·高三专题练习）已知数列的各项均不为零，且满足，（，），则的通项公式 ．
【答案】
【分析】变换得到，设，得到，利用累加法计算得到答案.
【详解】，则，
设，，则，
，
而也符合该式，故，故.
故答案为：
14．（2029·全国·高三专题练习）数列中，且，则 .
【答案】100
【分析】先裂项，然后由累加法可得.
【详解】∵ ，∴
∵=9，即=9，解得n=100
故答案为：100
三、解答题
15．（2029·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项为，公差为2.数列满足
(1)求取得最小值时的值；
(2)若，证明：.
【答案】(1)2；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用累加法结合等差数列的求和公式即得；
（2）利用裂项求和法结合条件即得.
【详解】（1）由，得，
累加可得：，
所以，
显然取最小值时，的值为2.
（2）若，则，即，
所以
显然时，，
可得.
16．（2029·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）在数列中，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由得，然后利用累加法求出即可得证；
（2），利用分组求和法和错位相减法可得答案.
【详解】（1）由得，
∴，
，
，
，
∴，
∴，，,
∴数列是等比数列；
（2）由（1）可得，
∴，
令，①
∴，②
错位相减，②﹣①，得：
，
∴.
17．（2029·河南郑州·模拟预测）已知数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）由，利用累加法求数列通项公式，注意验证；
（2）由题设得，讨论的奇偶性分别求出对应前n项和即可.
【详解】（1），
当时
，检验知：当时上式也成立，
故．
（2）．
当为偶数时，；
当为奇数时，且，
又时满足上式，此时；
且.
18．（2029·全国·高三专题练习）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图①、②、③、④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形.

(1)求出；
(2)归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式求的表达式；
(9)求证：.
【答案】(1)41
(2)，
(9)证明见解析
【分析】（1）直接根据图形中小正方形排列规律可得；
（2）先对已知的前几个图形中小正方形个数作差（后一个减去前一个），从而找出规律，进而归纳出，然后利用累加法求出；
（9）根据的特点，利用裂项相消法求和，进而证出不等式.
【详解】（1）∵，，，，
∴.
（2）∵，，，，
，
∴，，
，，，
以上各式相加得，
∴，
又时，也适合，
∴.
（9）当时，，
，
∴.
19．（2029·内蒙古赤峰·校联考三模）设各项都为正数的数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设函数，且，求数列的前n项和．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由递推关系，根据累加法求数列的通项公式；
（2）由条件可得，利用错位相减法求数列的前n项和.
【详解】（1）由，可得，
当时，，
以上各式分别相加得，又，
所以当时，，
经检验符合，
所以，；
（2），
，
，
两式相减得：
，
所以，
故，
所以.
20．（2029·全国·学军中学校联考二模）设数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件证明数列为等比数列，利用累加法求数列的通项公式；
（2）数列中在之前共有项，由此确定前项的值，再分组，结合等比求和公式可求得答案.
【详解】（1）因为，
所以，又，
所以数列为首项为1，公比为的等比数列，
所以，
所以当时，
，
所以，
所以当时，，又也满足该关系，
所以数列的通项公式为；
（2）数列中在之前共有项，
当时，，当时
2.累乘法
一、单选题
1．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】通过累乘法可求出，再利用递推式求出，进而答案可求.
【详解】解：，
，∴
∴，，∴，∴，
故选：A.
2．（2029·全国·高三专题练习）已知，，则数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．n
【答案】D
【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得；
【详解】由，得，
即，
则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：D．
9．（2029·全国·高三专题练习）数列中，，（为正整数），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合递推式特征，利用累乘法算出，进而可得答案.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：A
4．（2029·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】，又由，后由累乘法可得答案.
【详解】注意到，则当时，.
故.
故选：B
5．（2029·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）若数列满足且，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A．20 B．19 C．21 D．22
【答案】A
【分析】由题意利用累乘法可得，解不等式即可得解.
【详解】,
当时，，
，
当时，，，
又 ，，解得，
又 ，故所求的最大值为.
故答案为：A.
【点睛】本题考查了累乘法求数列通项的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.
二、填空题
6．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则的通项公式为 ．
【答案】
【分析】根据累乘法求出当时的通项公式，并验证也满足，从而得到的通项公式.
【详解】因为数列满足，，则，
所以，当时，，
也满足，所以，对任意的，．
故答案为：
7．（2029·全国·高三专题练习）在数列中，若，，则的通项公式为 ．
【答案】
【分析】将变为，利用累乘法即可求得答案.
【详解】由题意知，故，
故
，
故答案为：
8．（2029·全国·高三专题练习）数列满足：，，则通项 ．
【答案】
【分析】当时，与两式相减，可得出，再由累乘法计算即可得出答案.
【详解】由题意得：①，
当时，，
当时，②，
①②得：，
所以，，，，…，，
累乘得，当时，不满足，
则．
故答案为：.
三、解答题
9．（2029·浙江金华·校考三模）已知等差数列的各项均为正数，，.
(1)求的前项和；
(2)若数列满足，，求的通项公式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的性质得到，根据等差数列的通项公式求出公差，代入等差数列的前项和公式进而求解；
（2）结合（1）的结论得到，进而得到，利用累乘法求出.
【详解】（1）等差数列中，因为，所以，
又因为等差数列的各项均为正数.所以，
又因为，所以.
所以.
（2）由（1）得，因为，且，所以，
所以.
所以.
所以.
当时也符合.
所以的通项公式为.
10．（2029春·山东临沂·高三校考阶段练习）已知数列的首项为1，前项和为，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用得，再根据累乘法可求出；
（2）根据错位相减法可求出结果.
【详解】（1）因为，，所以，
当时，，所以，
所以，所以，因为，所以，
所以，
所以当时，，
又时，也符合，
所以.
（2）由（1）知，，所以，
所以，
，
所以，
所以，
所以.
11．（2029春·山西吕梁·高二统考阶段练习）已知数列满足．
(1)若是等比数列，且成等差数列，求的通项公式；
(2)若是公差为2的等差数列，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设的公比为q，由题意列式求得q，再结合已知可得，即可求得答案；
（2）由已知求得的通项公式，可得，利用累乘法求得的表达式，再用裂项求和法证明结论.
【详解】（1）设的公比为q，由于成等差数列，
故，而，故，
解得，
由，得，
即是等比数列，且，故；
（2）证明：是首项为1，公差为2的等差数列，故，
由，得，
故
，
又符合上式，
故
.
12．（2029·湖北武汉·统考模拟预测）已知是数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系，结合累乘法即可求出数列的通项公式；
（2）分和利用等差数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）由，则，
两式相减得：，
整理得：，
即时，，
所以时，，
又时，，得，也满足上式．
故．
（2）由（1）可知：．
记，设数列的前项和．
当时，；
当时，
综上：
19．（2029·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据与的关系化简，可得，由等差数列的定义得证；
（2）由（1）求出，再由累乘法求解.
【详解】（1）由，得．
所以，
即，整理得，
上式两边同时除以，得．
又，所以，即，
所以是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）由（1）知，．
所以．
所以．
9.构造法
一、单选题
1．（2029·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）在数列中，，且，则的通项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得，即可得到是以2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；
【详解】解：∵，∴，
由，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即．
故选：A
2．（2029·全国·高三专题练习）已知数列中，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析得到数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，求出数列的通项即得解.
【详解】
所以所以数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，
所以.
故选：C
9．（2029·全国·高三专题练习）在数列中,,,则（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C．是等比数列 D．是等比数列
【答案】B
【分析】根据变形整理为,再求出,根据等比数列的定义即可选出选项.
【详解】解:由题知,
所以,
又因为,
所以是等比数列,
且首项为4,公比为2.
故选:B
4．（2029·全国·高三专题练习）已知数列中，，，则数列的前10项和（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】将递推式两边同时倒下，然后构造等差数列求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∴数列是首项为，公差为的等差数列，
∴，∴．
∴，
∴数列的前10项和．
故选:C．
5．（2029·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．2029
【答案】A
【分析】根据与的关系，可推得数列是等比数列，进而得出的表达式，即可求出，代入对数式，根据对数的运算，即可得出答案.
【详解】因为，即.
当时，，即；
当时，，
所以，
所以.
又，
所以数列是等比数列，首项为，公比为，
所以，
所以，
所以.
故选：A.
6．（2029·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，求出的值，令，由得出，两式作差推导出，可知数列是等比数列，确定该等比数列的公比和首项，进而可求得的值.
【详解】当时，，解得；
当时，由可得，
上述两式作差得，所以，，
设，可得，可得，解得，
所以，，，可得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，因此，.
故选：C.
【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：
（1）当出现时，构造等差数列；
（2）当出现时，构造等比数列；
（9）当出现时，用累加法求解；
（4）当出现时，用累乘法求解.
二、填空题
7．（2029·全国·高三专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】依题意可得，即可得到是为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式.
【详解】因为，
设，即，
根据对应项系数相等则，解得，故，
所以是为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
故答案为：
8．（2029·全国·高三专题练习）数列中，，，则 ．
【答案】
【分析】先两边取倒数，再构造等差数列即可求解．
【详解】由，，可得，
所以，即(定值)，
故数列以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，所以．
故答案为：．
9．（2029·全国·高三专题练习）数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 .
【答案】．
【分析】已知式两边同除以，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论．
【详解】∵，所以，即，
∴是等差数列，而，
所以，
所以．
故答案为：．
10．（2029·全国·高三专题练习）已知数列中，，若，则正整数的值为 .
【答案】8
【分析】推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，进而可得，解方程即可得解
【详解】因为，可得，
因为，则，即，可得，
对任意的，所以，等式两边取倒数可得，则，
所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为1，
所以，故，
由可得.
故答案为：8.
11．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式 ．
【答案】
【分析】利用条件构造数列，可得数列为等差数列即求.
【详解】∵，
∴，
即．又，，
∴数列是以9为首项，1为公差的等差数列，
∴，
∴数列的通项公式．
故答案为：.
12．（2029·全国·高三专题练习）数列的前项和为，满足，且，则的通项公式是 ．
【答案】
【分析】由题意可证得是以为首项，为公比的等比数列，即可求出，再由与的关系求出的通项公式
【详解】，，且，
，是以为首项，为公比的等比数列．
，．
时，，
且不满足上式，所以．
故答案为：.
19．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则 ．
【答案】
【分析】由递推公式找到对应的不动点方程，巧用“不动点法”求数列的通项公式.
【详解】设，令得：，解得：；
，化简得，，
所以，从而，
故，
又，所以是首项和公差均为的等差数列，
从而，故．
故答案为：
三、解答题
14．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，为数列的前n项和，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）根据递推公式证明为定值即可；
（2）先由（1）求得数列的通项，从而可得数列的的通项，再利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
又，
所以是以为首项，以9为公比的等比数列；
（2）由（1）知，故，
所以，
故，
则，
两式相减得
，
所以.
15．（2029·贵州毕节·校考模拟预测）已知数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用构造等比数列的方法求出通项公式作答.
（2）由（1）及已知，利用错位相减法求和作答.
【详解】（1）因为数列满足，则，
因此数列是以为首项，2为公比的等比数列，即，则，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
则，
于是有，
两式相减得，
所以.
16．（2029·全国·高三专题练习）若，，.
(1)求证：；
(2)令，写出、、、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)，，，，
【分析】（1）假设，根据已知条件得出，解得，结合题设条件推出矛盾，即可证得原结论成立；
（2）根据递推公式可写出、、、的值，由此可归纳出数列的通项公式，然后通过递推公式得出，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式.
【详解】（1）证明：假设，因，，则，解得或，
于是得或，与题设且矛盾，故假设不成立，所以成立.
（2）解：因，，，
则，，，
，
显然有，，，，，
猜想，
由得，即，
又，因此数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，则，所以.
17．（2029春·云南昭通·高三校考阶段练习）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得数列为常数列，可数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求数列前n项和.
【详解】（1）由，得，所以数列为常数列，有，∴
（2），
，
，
两式相减，，
所以
18．（2029·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列，，使得成立．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由构造出，用等比数列定义证明即可；
（2）通过两次构造等比数列，求出的通项公式，根据通项公式得出结论即可.
【详解】（1）由已知，，∴，
∴，
显然与，矛盾，∴，
∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）∵，∴，
∴，
显然与，矛盾，∴，
∴∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，①，
又∵由第（1）问，，②，
∴②①得，，
∴存在，，两个等比数列，， 使得成立．
19．（2029·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为Sn，满足，且成等差数列．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）令、及三个数成等差数列列方程组求解即可.
（2）运用数列通项与其前n项和关系并构造数列可求得的通项公式.
【详解】（1）因为，
所以令得：，即：①，
令得：，即：②，
又因为，，成等差数列，
所以，即③，
将③代入①②可得，即
由①②③得：，，故的值为1.
（2）因为，
当时，，
两式作差可得：，
所以，，
由（1）知，，
所以，
即：，，
将代入得：，符合，
综上，.
故数列的通项公式为.
20．（2029·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据求出首项及，构造法求出通项公式；
（2）求出，从而利用裂项相消法求和.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，．
可得，
整理得：，
从而，
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列；
所以，
所以，经检验，满足，
综上，数列的通项公式为；
（2）由（1）得，所以，所以，
，
所以
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑