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2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展26 立体几何中的轨迹问题（精讲+精练）
一、立体几何中的轨迹问题
立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.
二、常用的解决策略
(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.
(2)坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.
(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等.
(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.
三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析
令平面与轴线的夹角为,圆雉的母线与轴的夹角为,如图②.
当时,截口曲线为椭圆;
(2)当时,截口曲线为抛物线;
(3)当时,截口曲线为双曲线.
图②我们再从几何角度来证明.
(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点.在截口曲线上任取一点,过点作圆雉的母线,分别与两球切于点.由球的性质可知,于是为定值,这样截口曲线上的任一点到两个定点的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.
(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点.在截口曲线上任取一点,过点作圆雉的母线,分别与两球切于点.由球的性质可知,于是为定值,这样截口曲线上的任一点到两个定点的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.
(3)如图⑤,用平行于母线且垂直于轴截面的平面去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面相切,球与截面切于点.设为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记.在截口曲线上任取一点,作直线与球相切于点,连结,有.在母线上取点(为与球的切点),使得.过点作,有点在上,且.另一方面,因为平面与垂直,那么平面,有,所以.于是截口曲线是以点为焦点,为准线的抛物线.
1.平行、垂直有关的的轨迹问题
①平行有关的轨迹问题的解题策略
1.线面平行转化为面面平行得轨迹;
2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.
②垂直有关的轨迹问题的解题策略
1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;
2.利用空间坐标运算求轨迹;
3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.
【典例1】如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（　　）
A．a B．a C． D．
【答案】D
【分析】连接GH、HN，有GH∥BA1，HN∥BD，证得面A1BD∥面GHN，由已知得点M须在线段GH上运动，即满足条件，由此可得选项.
【详解】解：连接GH、HN、GN，∵在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、CD的中点，N是BC的中点，
则GH∥BA1，HN∥BD，又面A1BD，BA1面A1BD，所以面A1BD，同理可证得面A1BD，
又，∴面A1BD∥面GHN，
又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，MN∥面A1BD，
则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH=a，则点M轨迹的长度是a.
【典例2】在正方体中，Q是正方形内的动点，，则Q点的轨迹是（ ）
A．点 B．线段 C．线段 D．平面
【答案】B
【分析】如图，连接,证明,又，即得解.
【详解】
如图，连接,
因为平面,所以平面, 又平面,
所以,又.所以点在线段上.故选：B
2.距离、角度有关的的轨迹问题
①距离有关的轨迹问题的解题策略
1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；
2.利用空间坐标计算求轨迹.
②角度有关的轨迹问题的解题策略
1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;
2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;
3.利用空间坐标系计算求轨迹.
【典例3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
【答案】D
【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出点P的轨迹方程即可判断.
【详解】
如图示，过P作PE⊥AB与E，过P作PF⊥AD于F，过F作FG∥AA1交A1D1于G，连结PG，由题意可知PE=PG
以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由PE=PG得：
，平方得：即点P的轨迹是双曲线.故选：D.
【典例4】正方体中，，分别为，的中点，是边上的一个点（包括端点），是平面上一动点，满足直线 与直线 夹角与直线与直线 的夹角相等，则点所在轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．抛物线或双曲线
【答案】D
【分析】根据题设分析可知：点轨迹为以为母线，为轴，为底面直径的圆锥体，及其关于反向对称的锥体与平面的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断所在轨迹的形状.
【详解】由题设，点轨迹为以为母线，为轴，为底面直径的圆锥体，及其关于反向对称的锥体与平面的交线，如下图示：
当是边上移动过程中，只与下方锥体有相交，点轨迹为抛物线；
当是边上移动过程中，与上方锥体也有相交，点轨迹为双曲线；
故选：D
3.翻折有关的的轨迹问题
①翻折有关的轨迹问题的解题策略
1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹
2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹
3.可以利用空间坐标运算求轨迹
【典例5】1822年，比利时数学家 Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，从而可得 ，，，利用勾股定理可得，再由离心率的定义即可求解.
【详解】在中，设，
，，，，
， ∴长轴长，，则离心率.故选：A
【题型训练2-刷模拟】
1.平行、垂直有关的的轨迹问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）正四棱锥的底面边长为2，高为2，E是边的中点，动点P在表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为（ ）
A． B． C．4 D．
2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱中，，，为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体中，点满足，，分别为棱，的中点，点在正方体的表面上运动，满足面，则点的轨迹所构成的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，点P是正方体表面上的动点，若平面，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面，则下列说法正确的是（ ）
A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为
C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为
6．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为1的正方体，是的中点，动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，为圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上一点，已知，圆柱的高为5．若点在圆柱表面上运动，且满足，则点的轨迹所围成图形的面积为 ．
8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正方体的棱长为，动点P在内，满足，则点P的轨迹长度为 ．
9．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）若点是棱长为的正方体的内切球的球面上的动点，点为棱上的一点，且，，则动点的轨迹的长度为 ．
2.距离、角度有关的的轨迹问题
一、单选题
1．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知长方体的外接球的表面积为，，点P在四边形内，且直线BP与平面所成角为，则长方体的体积最大时，动点P的轨迹长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为，动点Q在正方形ABCD内运动，且满足，则动点Q形成轨迹的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东淄博·统考三模）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，E为的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为．若该正方体外接球的表面积为，则动点F的轨迹长度为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知三棱锥的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为4，体积为，若该三棱锥的外接球O的半径为，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）在正四面体中，点为所在平面上的动点，若与所成角为定值， 则动点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
7．（2022秋·河南·高三期末）棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界），则下面结论正确的有（ ）
①若点满足，则动点的轨迹是线段；
②若点满足，则动点的轨迹是椭圆的一部分；
③在线段上存在点，使直线与．所成的角为；
④当在棱上移动时，的最小值是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）在棱长为3的正方体中，为棱上一点，且，则正方体表面到点距离为的点的轨迹总长度为 .
9．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的外接球的半径为，为等腰直角三角形，若顶点到底面的距离为4，且三棱锥的体积为，则满足上述条件的顶点的轨迹长度是 ．
10．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知为正方体的内切球球面上的动点，为的中点，，若动点的轨迹长度为，则正方体的体积是 .
3.翻折有关的的轨迹问题
一、单选题
1．已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方形的边长为为的中点，将沿向上翻折到，连接，在翻折过程中，下列说法中正确的是（ ）
①四棱锥的体积最大值为②．中点的轨迹长度为
③与平面所成角的正弦值之比为
④三棱锥的外接球半径有最小值，没有最大值
A．①③ B．②③ C．①③④ D．①②③
3．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为
A． B． C． D．
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展26 立体几何中的轨迹问题（精讲+精练）
一、立体几何中的轨迹问题
立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.
二、常用的解决策略
(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.
(2)坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.
(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等.
(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.
三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析
令平面与轴线的夹角为,圆雉的母线与轴的夹角为,如图②.
当时,截口曲线为椭圆;
(2)当时,截口曲线为抛物线;
(3)当时,截口曲线为双曲线.
图②我们再从几何角度来证明.
(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点.在截口曲线上任取一点,过点作圆雉的母线,分别与两球切于点.由球的性质可知,于是为定值,这样截口曲线上的任一点到两个定点的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.
(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点.在截口曲线上任取一点,过点作圆雉的母线,分别与两球切于点.由球的性质可知,于是为定值,这样截口曲线上的任一点到两个定点的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.
(3)如图⑤,用平行于母线且垂直于轴截面的平面去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面相切,球与截面切于点.设为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记.在截口曲线上任取一点,作直线与球相切于点,连结,有.在母线上取点(为与球的切点),使得.过点作,有点在上,且.另一方面,因为平面与垂直,那么平面,有,所以.于是截口曲线是以点为焦点,为准线的抛物线.
1.平行、垂直有关的的轨迹问题
①平行有关的轨迹问题的解题策略
1.线面平行转化为面面平行得轨迹;
2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.
②垂直有关的轨迹问题的解题策略
1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;
2.利用空间坐标运算求轨迹;
3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.
【典例1】如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（　　）
A．a B．a C． D．
【答案】D
【分析】连接GH、HN，有GH∥BA1，HN∥BD，证得面A1BD∥面GHN，由已知得点M须在线段GH上运动，即满足条件，由此可得选项.
【详解】解：连接GH、HN、GN，∵在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、CD的中点，N是BC的中点，
则GH∥BA1，HN∥BD，又面A1BD，BA1面A1BD，所以面A1BD，同理可证得面A1BD，
又，∴面A1BD∥面GHN，
又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，MN∥面A1BD，
则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH=a，则点M轨迹的长度是a.
【典例2】在正方体中，Q是正方形内的动点，，则Q点的轨迹是（ ）
A．点 B．线段 C．线段 D．平面
【答案】B
【分析】如图，连接,证明,又，即得解.
【详解】
如图，连接,
因为平面,所以平面, 又平面,
所以,又.所以点在线段上.故选：B
2.距离、角度有关的的轨迹问题
①距离有关的轨迹问题的解题策略
1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；
2.利用空间坐标计算求轨迹.
②角度有关的轨迹问题的解题策略
1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;
2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;
3.利用空间坐标系计算求轨迹.
【典例3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
【答案】D
【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出点P的轨迹方程即可判断.
【详解】
如图示，过P作PE⊥AB与E，过P作PF⊥AD于F，过F作FG∥AA1交A1D1于G，连结PG，由题意可知PE=PG
以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由PE=PG得：
，平方得：即点P的轨迹是双曲线.故选：D.
【典例4】正方体中，，分别为，的中点，是边上的一个点（包括端点），是平面上一动点，满足直线 与直线 夹角与直线与直线 的夹角相等，则点所在轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．抛物线或双曲线
【答案】D
【分析】根据题设分析可知：点轨迹为以为母线，为轴，为底面直径的圆锥体，及其关于反向对称的锥体与平面的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断所在轨迹的形状.
【详解】由题设，点轨迹为以为母线，为轴，为底面直径的圆锥体，及其关于反向对称的锥体与平面的交线，如下图示：
当是边上移动过程中，只与下方锥体有相交，点轨迹为抛物线；
当是边上移动过程中，与上方锥体也有相交，点轨迹为双曲线；
故选：D
3.翻折有关的的轨迹问题
①翻折有关的轨迹问题的解题策略
1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹
2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹
3.可以利用空间坐标运算求轨迹
【典例5】1822年，比利时数学家 Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，从而可得 ，，，利用勾股定理可得，再由离心率的定义即可求解.
【详解】在中，设，
，，，，
， ∴长轴长，，则离心率.故选：A
【题型训练2-刷模拟】
1.平行、垂直有关的的轨迹问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）正四棱锥的底面边长为2，高为2，E是边的中点，动点P在表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】由题意，动点P的轨迹为过E且垂直的平面与正四棱锥的交线，再根据线面垂直的性质求解即可.
【详解】如图，设交于，连接，由正四棱锥的性质可得，平面，因为平面，故.
又，，平面，故平面.
由题意，则动点P的轨迹为过E且垂直的平面与正四棱锥的交线，即如图，则平面.
由线面垂直的性质可得平面平面，又由面面平行的性质可得，，，又E是边的中点，故分别为的中位线.
由题意，故.
即动点P的轨迹的周长为.

故选：A
2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱中，，，为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的条件，结合正四棱柱的结构特征，作出过点垂直于的正四棱柱的截面即可计算作答.
【详解】在正四棱柱中，连接，如图，，平面，
因为平面，则，又平面，
，则平面，又平面，则，
取中点，连接，在平面内过作，交于，显然，
而平面，则平面，有，
又平面，，于是平面，而平面，因此，
因为平面，，从而平面，
连接，则点的轨迹为平面与四棱柱的交线，即，
因为，即有，又，
于是，有，，
所以点的轨迹长为.
故选：A
【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
3．（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体中，点满足，，分别为棱，的中点，点在正方体的表面上运动，满足面，则点的轨迹所构成的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出辅助线，找到点的轨迹，利用勾股定理求出边长，得到周长.
【详解】延长，交的延长线与，连接，分别交，于，
过点作交于点，过点作交于点，
因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
因为，所以平面平面，
过点作交于点，
连接，则
则平行四边形（点除外）为点的轨迹所构成的图形，
因为正方体棱长为4，，分别为棱，的中点，，
所以，
因为，所以，
过点作⊥于点，则，
则由几何关系可知，所以，
由勾股定理得，
所以点的轨迹所构成的周长为.
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，点P是正方体表面上的动点，若平面，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】要满足平面，只需要寻找一个平面，使该平面经过，且与平面平行即可, 取的中点G，的中点H，连结.证明出面面.得到点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形，求出周长即可.
【详解】取的中点G，的中点H，连结.
正方体的棱长为2.为中点，所以,所以且.
因为为分别为的中点，所以,且，所以四边形为平行四边形，所以.
因为面，面，所以面.
同理可证：面.
又,面,面,
所以面面.
所以点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形.
因为正方体的棱长为2，所以,
所以三角形的周长为.
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面，则下列说法正确的是（ ）
A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为
C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为
【答案】B
【分析】如图，取棱的中点，连接，进而证明平面平面，再结合题意可知直线必过点，进而取中点，连接，证明平面即可得四边形为点的轨迹，再根据几何关系依次判断各选项即可.
【详解】解：如图，取棱的中点，连接，
因为分别为，的中点，
所以，在中，，由于平面，平面，
所以平面，
因为，所以，四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以，平面，
因为，平面，
所以，平面平面，
由于为体对角线的中点，
所以，连接并延长，直线必过点，
故取中点，连接，
所以，由正方体的性质易知，
所以，四边形是平行四边形，，，
因为，，，
所以，共线，即平面，
所以，四边形为点的轨迹，故A选项错误；
由正方体的棱长为，所以，四边形的棱长均为，且对角线为，，
所以，四边形为菱形，周长为，故CD选项错误，
由菱形的性质知，线段的最大值为，故B选项正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于取棱的中点，进而证明平面平面，再根据面面平行的性质求解点轨迹即可求解.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为1的正方体，是的中点，动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点M做平面的平行截面，再求四边形面积即可.
【详解】
如图所示 E、F、G、M分别是、、、的中点，
则，，所以平面，平面，且，
所以平面 平面，故点P的轨迹为矩形.
，所以，所以.
故选：A
【点睛】本题考查面面平行的判定和面面平行的性质，以及正方体的截面问题，属综合中档题.
二、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，为圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上一点，已知，圆柱的高为5．若点在圆柱表面上运动，且满足，则点的轨迹所围成图形的面积为 ．
【答案】10
【分析】先推出平面，设过的母线与上底面的交点为，过的母线与上底面的交点为，连，推出平面，从而可得点的轨迹是矩形，计算这个矩形的面积即可得解.
【详解】因为是圆柱下底面圆的直径，所以，
又，，平面，所以平面，
设过的母线与上底面的交点为，过的母线与上底面的交点为，连，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
所以点在平面内，又点在圆柱的表面，所以点的轨迹是矩形，
依题意得，，，所以，
所以矩形的面积为.
故点的轨迹所围成图形的面积为.
故答案为：.
8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正方体的棱长为，动点P在内，满足，则点P的轨迹长度为 ．
【答案】
【分析】确定正方体对角线与的交点E，求出确定轨迹形状，再求出轨迹长度作答.
【详解】在正方体中，如图，
平面，平面，则，而，
平面，于是平面，又平面，
则，同理，而平面，因此平面，
令交平面于点E，由，得，
即，解得，而，于是，
因为点P在内，满足，则，
因此点P的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆在内的圆弧，
而为正三角形，则三棱锥必为正三棱锥，为正的中心，
于是正的内切圆半径，
则，即，，
所以圆在内的圆弧为圆周长的，即点P的轨迹长度为．故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.
9．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）若点是棱长为的正方体的内切球的球面上的动点，点为棱上的一点，且，，则动点的轨迹的长度为 ．
【答案】
【分析】由题意画出图形，上取点，使得，连接，由线面垂直的判定定理和性质，可得平面，所以点的轨迹为平面与球的截面圆周，求出截面圆的半径即可得出答案.
【详解】
如图所示，在上取点，使得，连接
，
又平面，
又，平面，平面，平面
平面
又点是棱长为的正方体的内切球的球面上的动点且，可得点的轨迹为平面与球的截面圆周.
连接,则
又
又在平面，则到平面的距离：
又
设到平面的距离为，则，解得
又正方体的内切球得半径
则截面圆的半径，
因此可得动点的轨迹的长度为.
故答案为：
【点睛】本题是一道空间线面位置关系及多面体与球的内切等位置关系与距离、体积的计算等能力的综合运用．解答时先将问题转化和化归为平面与球的截面圆周的周长问题，进而转化为到平面的距离为，运用等体积法求出，借助截面圆的半径与球的半径，球心距之间的关系求出截面圆周的半径，最后求出截面圆的周长也即为动点的轨迹的长度.
2.距离、角度有关的的轨迹问题
一、单选题
1．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知长方体的外接球的表面积为，，点P在四边形内，且直线BP与平面所成角为，则长方体的体积最大时，动点P的轨迹长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由题意得到长方体体积最大时，得到几何体的棱长，设，相交于点，由平面，确定线面角，从而确定点的轨迹，从而得解.
【详解】因为长方体的外接球的表面积为，设外接球的半径为，
所以，解得或（舍去），即外接球的直径为，
设，，则，可得，
所以，当且仅当时，等号成立．
如图，设，相交于点，
因为，，平面，
所以平面，直线与平面所成角为，
所以，故，则点的轨迹是以为圆心，半径的半圆弧，
所以动点的轨迹长为．
故选：C
2．（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为，动点Q在正方形ABCD内运动，且满足，则动点Q形成轨迹的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等体积法及几何关系求出关于动点Q的等式关系 ，根据相关几何意义即可求出动点Q形成轨迹的周长.
【详解】设内切球O的半径为R，则，∴．
如图，连接AC与BD，设交点为F，取AD的中点E，连接PE，PF，EF．
根据等体积法得，
∴，整理得，又，
解得，．∴，，．
在中，．
∴点Q在以点F为圆心，为半径的圆上，其周长为．
故选：C．
3．（2023·山东淄博·统考三模）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，根据确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心距，对应圆的半径为，再计算周长得到答案.
【详解】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的垂直平分线为轴，
，则，，设，，
则，整理得到，
故轨迹是以为圆心，半径的圆，
转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，不变，依然满足，
故空间中的轨迹为以为球心，半径为的球，
同时在球上，故在两球的交线上，为圆.
球心距为，
为直角三角形，对应圆的半径为，
周长为.
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，E为的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为．若该正方体外接球的表面积为，则动点F的轨迹长度为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取AD的中点H，连接EH，判断出为EF与底面ABCD所成的角，即．设正方体的棱长为a，利用外接球的表面积求出.判断出F的轨迹为以H为圆心，为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，利用弧长公式求出动点F的轨迹的长度.
【详解】
如图1，取AD的中点H，连接EH，则.
在正方体中，底面ABCD，所以底面ABCD.
所以为EF与底面ABCD所成的角，则．
设正方体的棱长为a，因为该正方体外接球的表面积为，
所以，解得，
所以，从而，
所以F的轨迹为以H为圆心，为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，如图2．
在图2中，，
所以，则，
根据对称性可知，所以，
故动点F的轨迹周长为．
故选：A
5．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知三棱锥的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为4，体积为，若该三棱锥的外接球O的半径为，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三棱锥的体积，求解底边边长，求出的外接圆半径，以及球心到底面的距离，判断顶点的轨迹是一个截面圆的圆周，进而求解周长即可．
【详解】依题意得，设底面等腰直角三角形的直角边长为，
三棱锥的体积
解得：
的外接圆半径为
球心到底面的距离为
，
又顶点P到底面ABC的距离为4，
顶点的轨迹是一个截面圆的圆周
当球心在底面和截面圆之间时，
球心到该截面圆的距离为，
截面圆的半径为，
顶点P的轨迹长度为；
当球心在底面和截面圆同一侧时，
球心到该截面圆的距离为，故不成立．
综上所述，顶点P的轨迹的总长度为．
故选：D．
6．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）在正四面体中，点为所在平面上的动点，若与所成角为定值， 则动点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】B
【分析】把条件转化为与圆锥的轴重合，面与圆锥的相交轨迹即为点的轨迹后即可求解.
【详解】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与所成角为定值，所以面与圆锥的相交轨迹即为点的轨迹.根据题意，不可能垂直于平面即轨迹不可能为圆. 面不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线.可进一步计算与平面所成角为，即时，轨迹为抛物线，时，轨迹为椭圆， ，所以轨迹为椭圆.
故选：B.
【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题.
7．（2022秋·河南·高三期末）棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界），则下面结论正确的有（ ）
①若点满足，则动点的轨迹是线段；
②若点满足，则动点的轨迹是椭圆的一部分；
③在线段上存在点，使直线与．所成的角为；
④当在棱上移动时，的最小值是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】对于①，证明平面即可解决；对于②，若，则在以为轴，母线所在直线为的圆锥曲线的侧面上，即可解决；对于③，当为中点时，此时最小，计算得即可解决；对于④，平面旋转到与平面重合，连接交于，即可解决.
【详解】连接
所以，
又正方体中，平面，
因为平面，
所以，
又平面，
所以平面，
所以只要在线段上，就有，
所以动点的轨迹是线段；故①正确；
若，
则在以为轴，母线所在直线为的圆锥曲线的侧面上，
平面与圆锥的轴斜交，截圆锥的侧面所得的截线是椭圆，故②正确；
因为
所以与所成的角等于与所成的角，
当为中点时，
此时最小，
在中，
所以不可能为.故③错误；
如图，将平面旋转到与平面重合，
连接交于，
此时的最小值为故④错误；
故选：B.
二、填空题
8．（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）在棱长为3的正方体中，为棱上一点，且，则正方体表面到点距离为的点的轨迹总长度为 .
【答案】
【分析】根据以为球心，为半径的球与正方体表面的交线长度来求得轨迹总长度.
【详解】以为球心，为半径的球与正方体表面的交线长度即为所求，
在平面和平面上轨迹是以为圆心，为半径，
圆心角为的两段弧，弧长为，
在平面上的轨迹是以为圆心，1为半径，圆心角为的弧，弧长为，
在平面上的轨迹是以为圆心，2为半径，圆心角为的弧，弧长为，
因此，轨迹的总长度为.
故答案为：
9．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的外接球的半径为，为等腰直角三角形，若顶点到底面的距离为4，且三棱锥的体积为，则满足上述条件的顶点的轨迹长度是 ．
【答案】
【分析】设直角边的边长为，根据三棱锥的体积为，求得，进而求得外接圆半径为，得出球心到底面的距离，得出球心到该截面圆的距离，进而求得截面圆的半径，即可求得点的轨迹长度.
【详解】设底面等腰直角三角形的直角边的边长为，
∴顶点到底面的距离为4且三棱锥的体积为，
∴，解得，
∴的外接圆半径为，
∴球心到底面的距离为，
又∵顶点到底面的距离为4，
∴顶点的轨迹是一个截面圆的圆周（球心在底面和截面圆之间）且球心到该截面圆的距离为，
∵截面圆的半径，
∴顶点的轨迹长度是，
故答案是：．
【点睛】解题方法点拨：
1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；
2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
10．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知为正方体的内切球球面上的动点，为的中点，，若动点的轨迹长度为，则正方体的体积是 .
【答案】
【分析】将动点的轨迹转化到平面与内切球的交线，其交线为圆，根据轨迹长度可求得圆的半径，利用射影定理与中位线性质，求出到截面的距离，再利用勾股定理即可求出内切球的半径，即可得正方体的棱长，即可求体积.
【详解】如图所示：
正方体，设，则内切球的半径，
其中为的中点，取的中点，连接,
则有：,
又,平面，
所以平面，
所以动点的轨迹是平面截内切球的交线，
即平面截内切球的交线，
因为正方体，，
如图所示：
连接,则有且，
，且，
设到平面的距离为：，
则在三棱锥中，有，
所以，
即，
解得：，
截面圆的半径，
所以动点的轨迹长度为：，
即，解得，
所以，正方体的体积：，
故答案为：.
3.翻折有关的的轨迹问题
一、单选题
1．已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取中点，作，设点轨迹所在平面为，设三棱锥外接球的球心为的中心分别为，则可得平面平面，且四点共面，求出三棱锥外接球半径和到平面的距离，从而可求出平面截外接球所得截面圆的半径，进而可得结果.
【详解】取中点，连接，
则，平面
∴平面，，又，
∴，
则三棱锥的高，
三棱锥体积为；
作，设点轨迹所在平面为，
则平面经过点且，
设三棱锥外接球的球心为的中心分别为，
易知平面平面，且四点共面，
由题可得，，
解Rt ，得，又，
则三棱锥外接球半径，
易知到平面的距离，
故平面截外接球所得截面圆的半径为，
∴截面圆的周长为，即点轨迹的周长为.
故答案为：.
2．如图，正方形的边长为为的中点，将沿向上翻折到，连接，在翻折过程中，下列说法中正确的是（ ）
①四棱锥的体积最大值为②．中点的轨迹长度为
③与平面所成角的正弦值之比为
④三棱锥的外接球半径有最小值，没有最大值
A．①③ B．②③ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【分析】根据题意，根据四棱锥的体积公式，以及线面角的概念和三棱锥的外接球概念作图，逐个选项进行判断即可求解
【详解】由已知梯形面积为，直角斜边
上的高为.当平面平面时，四棱锥的
体积取最大值. ①正确；
取中点为，则平行且相等，四边形是平行四边形，
所以，点的轨迹与点的轨迹完全相同，过作的垂线，垂足为
的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧，从而
中点的轨迹长度为.②错误；
由四边形是平行四边形知，
则平面，则到平面距离相等，
故，与平面所成角的正弦值之比为等于. ③正确；
外接圆半径为是中点，根据正弦定理
外接圆半径为是圆与圆公共弦，.
设三棱锥外接球球心为，半径为，
则
因为，所以，所以最小值为，没有最大值. ④正确；
故选：C
3．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
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