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第2课时　用空间向量研究夹角问题
[学习目标]　1．会用向量法求线线、线面、面面夹角．(直观想象、数学运算)
2．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．(逻辑推理、数学运算)
[讨论交流]　
问题1．两条异面直线、直线和平面、两个平面的夹角的向量计算公式分别是什么？
问题2．直线和平面的夹角与直线方向向量、平面法向量的夹角有什么关系？
问题3．两个平面的夹角和二面角有什么区别？
问题4．用向量解决空间线面夹角问题的一般步骤是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　两异面直线所成的角
探究问题1　如何求两个向量a，b的夹角？
探究问题2　能否借助两个向量的夹角来求两异面直线所成的角．
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[新知生成]
利用向量方法求两条异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝_______．
[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD A′B′C′D′，AB＝2，BC＝1，AA′＝3．求AC′与A′D夹角的余弦值．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　求异面直线所成角的步骤
(1)确定两条异面直线的方向向量．
(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值．
(3)得出两条异面直线所成的角．
[学以致用]　1．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，△SAB，△SCD是直角圆锥SO的两个轴截面，且cos ∠BOC＝，则异面直线SA与BC所成角的余弦值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
2．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的正弦值为(　　)
A． B． C． D．
探究2　直线与平面所成的角
探究问题3　直线的方向向量与平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角吗？
探究问题4　设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为v，平面的法向量为n，则θ与〈v，n〉有什么关系？
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[新知生成]
利用向量方法求直线与平面所成的角
利用向量方法求直线与平面所成的角
直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝______．
[典例讲评]　2．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，PA⊥平面ABCD，E为PD中点，且PA＝1．
(1)求证：PB∥平面ACE；
(2)求直线BE与平面PCD所成角的余弦值．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　利用向量法求直线与平面所成角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求直线的方向向量．
(3)求平面的法向量n．
(4)计算：设线面角为θ，则sinθ＝．
[学以致用]　3．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为C1C，BC的中点．求A1B与平面AEF所成角的正弦值．
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探究3　两平面的夹角
探究问题5　两个平面的夹角与二面角的平面角有什么区别？
探究问题6　设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，平面α1与平面α2的夹角为θ，则θ与〈n1，n2〉的关系是什么？
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[新知生成]
利用向量方法求两个平面的夹角
(1)平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中___________的二面角称为平面α与平面β的夹角．
(2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝____________．
[典例讲评]　3．(2023·新高考Ⅱ卷)如图，三棱锥A BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F满足，求二面角D AB F的正弦值．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　利用坐标法求两个平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)分别求出两个面所在平面的法向量的坐标．
(3)求两个法向量的夹角．
(4)确定两平面夹角的大小．
[学以致用]　4．(2023·北京卷)如图，四面体P ABC中，PA＝AB＝BC＝1，PC＝，PA⊥平面ABC．
(1)求证：BC⊥平面PAB；
(2)求二面角A PC B的大小．
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1．已知空间两异面直线所成的角的取值集合为A，直线与平面所成角的取值集合为B，则(　　)
A．A＝B B．A B
C．B A D．A∩B＝
2．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2所成角的余弦值等于(　　)
A．－ 　B． C．－ D．
3．如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，平面PCD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ满足(　　)
A．θ＝ B．cos θ＝
C．tan θ＝ D．sin θ＝
4．如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0，0，2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝________．
1．知识链：(1)用向量求两条异面直线所成的角．
(2)用向量求直线与平面所成的角．
(3)用向量求两个平面的夹角．
2．方法链：向量法、化归转化．
3．警示牌：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念、把握空间角的范围．
8/8(共54张PPT)
第1课时　用空间向量研究距离问题
第一章 空间向量与立体几何
1.4　空间向量的应用
1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题
[学习目标]　能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题．(直观想象、数学运算)
整体感知
(教师用书)
空间中的距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离、平行线之间的距离、点到平面的距离、与平面平行的直线到平面的距离、平行平面之间的距离、异面直线的距离等．空间两点间的距离即为以这两点为起点和终点的向量的模．本节主要研究点到直线、点到平面、平行线之间、平行平面之间的距离，这些距离都可以通过求投影向量的长度得到．
[讨论交流]　
问题1．空间点到直线、点到平面的距离的向量计算公式是什么？
问题2．相互平行的直线、平面间的距离可分别转化为什么距离求解？
问题3．用向量解决空间线面距离问题的一般步骤是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　点到直线的距离
探究问题1　给定一条直线l和直线l外一点P，如何用向量的方法求点P到直线l的距离？
探究建构
[提示]　取直线l上一点A，它的单位方向向量用u表示，过P作PQ⊥l(图略)，点Q为垂足．这样，要解决的问题是：利用直线l上的点A，直线的单位方向向量u和直线外的一点P求线段PQ的长度．
探究问题2　为了求线段PQ的长度，如何将“探究问题1”中的条件与线段PQ联系起来？
[提示]　作向量(图略)，构造Rt△APQ，通过勾股定理求出线段
PQ的长度，即PQ＝．
[新知生成]
点到直线的距离
设直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝ ．
【教用·微提醒】　(1)点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．
(2)两条平行线之间的距离可以转化为其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离．所以两条平行线之间的距离可以用点到直线的距离公式解决．
[典例讲评]　1．如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3．用向量的方法求点B到直线A′C的距离．
[解]　依题意有A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)．
法一：＝(1，2，－3)，＝(0，2，0)，
方向上的投影向量的模为．
所以点B到直线A′C的距离为
d＝．
法二：取直线A′C的方向向量＝(1，2，－3)，a＝＝(0，2，0)，
u＝，
则a2＝4，a·u＝，
所以点B到直线A′C的距离为．
反思领悟　用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求直线的单位方向向量u．
(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a．
(4)利用公式PQ＝计算点到直线的距离．
[学以致用]　1．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
[解]　连接BC1．以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0，0，0)，A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直线A1C1的方向向量＝(－4，3，0)，＝(0，3，1)，取a＝＝(0，3，1)，u＝．
所以点B到直线A1C1的距离
d＝．
探究2　点到平面的距离
探究问题3　你能类比点到直线的距离公式的推导过程，推导出点到平面的距离公式吗？
[提示]　第一步，确定平面α的法向量n；
第二步，选择“参考向量”；
第三步，确定向量向法向量n的投影向量；
第四步，求投影向量的模长，得到PQ＝＝＝．
[新知生成]
点P到平面α的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝ ．
【教用·微提醒】　实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．
[典例讲评]　2．在三棱锥S-ABC中，棱长SA＝a，SB＝b，SC＝c，∠ASB，∠BSC，∠CSA都是直角，求点S到底面ABC的距离．
[解]　如图所示，以S为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则S(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)．
所以＝(－a，b，0)，＝(－a，0，c)，＝(a，0，0)．
设n＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，
则
取x＝bc，得y＝ac，z＝ab，
则n＝(bc，ac，ab)是平面ABC的一个法向量．
由于点S到底面ABC的距离等于向量在法向量n上的投影向量的长度，
因此，点S到底面ABC的距离
d＝
＝
＝．
发现规律　试写出向量法求点面距离的步骤
[提示]　(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
(3)求向量：求出相关向量的坐标，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．
(4)求距离d＝________．
[学以致用]　2．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，求点D1到平面BDE的距离．
[解]　以点D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz如图所示，
则D(0，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，1)，故＝(1，1，0)，＝(0，1，1)．
设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥．
故有所以
所以取x＝1，则y＝－1，z＝1，
所以n＝(1，－1，1)．
因为点D1到平面BDE的距离d＝，＝(0，0，2)，
所以·n＝2，|n|＝，
所以d＝＝，即点D1到平面BDE的距离为．
探究3　直线、平面到平面的距离
探究问题4　类比两条平行直线间的距离，如何求直线与平面或两个平行平面间的距离？
[提示]　在直线上或其中一个平面上取一定点，则该点到另一个平面的距离即为直线与平面或两平行平面之间的距离．
[新知生成]
1．如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为________的距离求解．
2．如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．
【教用·微提醒】　只有线面(或面面)平行时，才有线面(面面)距离．
点到平面
【链接·教材例题】
例6　如图1.4-18，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离．
[分析]　根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离．
[解]　以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-18所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E，F，
所以＝(0，1，0)，＝(－1，1，－1)，＝，
＝＝＝．
(1)取a＝＝(0，1，0)，u＝＝(－1，1，－1)，
则a2＝1，a·u＝．
所以，点B到直线AC1的距离为＝＝．
(2)因为＝＝，所以FC∥EC1，所以FC∥平面AEC1．所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离．
设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，则
所以所以
取z＝1，则x＝1，y＝2．
所以，n＝(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量．
又因为＝，所以点F到平面AEC1的距离为
＝＝．
即直线FC到平面AEC1的距离为．
[典例讲评]　3．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2．
(1)求直线B1C到平面A1BD的距离；
(2)求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
[解]　 (1)如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，所以＝(2，0，2)，＝(2，0，2)，＝(2，2，0)，所以∥，即CB1∥DA1，又CB1 平面A1BD，DA1 平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD，所以直线B1C到平面A1BD的距离等于点B1到平面A1BD的距离．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则
令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，又＝(0，2，0)，所以点B1到平面A1BD的距离d＝，即直线B1C到平面A1BD的距离为．
(2)由(1)知B1C∥平面A1BD，同理，D1B1∥平面A1BD，B1C∩D1B1＝B1，所以平面A1BD∥平面B1CD1，即平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点B1到平面A1BD的距离．由(1)知，点B1到平面A1BD的距离d＝．所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为．
反思领悟　用向量方法研究空间距离问题的一般步骤：(1)确定法向量．(2)选择参考向量．(3)利用公式求解．
[学以致用]　3．已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC，AC的中点．PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点．
(1)求证：AE∥平面PFQ；
(2)求AE与平面PFQ间的距离．
[解]　如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边所在直线的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系．∵AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，又E，F分别是BC，AC的中点，
∴A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，
F(0，2，0)，E(，3，0)，Q，
P(0，0，2)．
(1)证明：∵＝＝(，3，0)，
∴．∵AE与FQ无交点，∴AE∥FQ．又FQ 平面PFQ，AE 平面PFQ，∴AE∥平面PFQ．
(2)由(1)知，AE∥平面PFQ，∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离．设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)，＝(0，2，－2)，＝，∴n·＝x＋y＝0．令y＝1，则x＝－，z＝1，∴平面PFQ的一个法向量为n＝(－，1，1)．连接QA，则＝，∴所求距离d＝＝．
【教用·备选题】　如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE间的距离．
[解]　因为A1B1∥AB，A1B1 平面ABE，AB 平面ABE，所以A1B1∥平面ABE，所以A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离．
如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)，C(0，，0)．
过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，
所以B(1，2，0)，所以＝(0，2，0)，＝(－1，－，1)．
设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
所以y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1)．
因为＝(0，0，2)，
所以点A1到平面ABE的距离d＝＝＝．
所以直线A1B1与平面ABE间的距离为．
1．已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为(　　)
A． B．1 C． D．2
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
A　[∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，
＝(1，0，0)，＝(－1，2，－2)，∴点A到直线BC的距离为：
d＝＝1×＝．]
2
3
题号
1
4
√
2．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，2)在α内，则平面外一点P(－2，1，2)到平面α的距离为(　　)
A．4 　　 B．2 　　C． 　　 D．3
B　[∵P(－2，1，2)，A(－1，3，2)，∴＝(1，2，0)，
又n＝(－2，－2，1)是平面α的一个法向量，
∴P到平面α的距离为d＝＝＝2．故选B．]
3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　)
A． 　　B． 　　C． 　　 D．3
2
3
题号
4
1
√
B　[∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，＝(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，∴两平面间的距离d＝＝＝．故选B．]
4．已知AB∥平面α，平面α的一个法向量为n＝(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上的点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为_____．
2
4
3
题号
1
　[因为AB∥平面α，所以直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离，易知＝(1，2，0)，所以点A到平面α的距离d＝＝＝，即直线AB到平面α的距离为．]
　
1．知识链：(1)点到直线的距离、两条平行线之间的距离．
(2)点到平面的距离、与平面平行的直线到平面的距离、两个平行平面之间的距离．
2．方法链：向量法、几何法、转化法．
3．警示牌：(1)求两条平行线之间的距离，在其中一条直线上找到一点，转化为点到直线的距离．
(2)求直线与平面之间的距离、两个平行平面之间的距离，在直线或其中一个平面上找到一点，转化为点到平面的距离．
(3)应注意点要选取适当，以方便求解为主．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用空间向量求点到直线的距离的方法是什么？
[提示]　已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直
线l外一点，则点P到直线l的距离为．
2．用空间向量求点到平面的距离的方法是什么？
[提示]　已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离是．
3．如何用空间向量求直线和平面、平面和平面间的距离？
[提示]　先证明直线和平面平行，平面和平面平行，然后把所求距离转化为点到平面的距离，最后利用点到平面的距离公式求解．
异面直线间的距离
设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？
阅读材料
如图1所示，过直线a上任意一点A作b′∥b，过直线b上任意一点B作a′∥a，则a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a与b′，a′与b均可确定一个平面，依次记作α，β．由立体几何的知识可以证明：平面α，β均由直线a，b唯一确定，与点A，B的位置无关，且α∥β．于是，异面直线a，b间的距离就转化为平行平面α，β间的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量，再求在此法向量上的投影向量的长度即可．
如何求这两个平行平面的法向量呢？
设n是平行平面α，β的一个法向量，显然有n⊥a，n⊥b．因为向量a，b不共线，所以满足这个条件的所有向量都平行．也就是说，只需找到与向量a，b均垂直的向量即可．
如图2所示，设点A，B分别是异面直线a，b上任意一点，向量a，b分别是直线a，b的方向向量，向量n是与向量a，b均垂直的向量，则异面直线a，b间的距离为d＝．
课时分层作业(十)
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用空间向量研究距离问题
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时　用空间向量研究距离问题
[学习目标]　能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题．(直观想象、数学运算)
[讨论交流]　
问题1．空间点到直线、点到平面的距离的向量计算公式是什么？
问题2．相互平行的直线、平面间的距离可分别转化为什么距离求解？
问题3．用向量解决空间线面距离问题的一般步骤是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　点到直线的距离
探究问题1　给定一条直线l和直线l外一点P，如何用向量的方法求点P到直线l的距离？
探究问题2　为了求线段PQ的长度，如何将“探究问题1”中的条件与线段PQ联系起来？
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[新知生成]
点到直线的距离
设直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝________________．
[典例讲评]　1．如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3．用向量的方法求点B到直线A′C的距离．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求直线的单位方向向量u．
(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a．
(4)利用公式PQ＝计算点到直线的距离．
[学以致用]　1．已知在直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
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探究2　点到平面的距离
探究问题3　你能类比点到直线的距离公式的推导过程，推导出点到平面的距离公式吗？
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[新知生成]
点P到平面α的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝________．
[典例讲评]　2．在三棱锥S ABC中，棱长SA＝a，SB＝b，SC＝c，∠ASB，∠BSC，∠CSA都是直角，求点S到底面ABC的距离．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　试写出向量法求点面距离的步骤
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
(3)求向量：求出相关向量的坐标，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．
(4)求距离d＝________．
[学以致用]　2．已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，求点D1到平面BDE的距离．
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探究3　直线、平面到平面的距离
探究问题4　类比两条平行直线间的距离，如何求直线与平面或两个平行平面间的距离？
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[新知生成]
1．如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为________的距离求解．
2．如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．
[典例讲评]　3．设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2．
(1)求直线B1C到平面A1BD的距离；
(2)求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　用向量方法研究空间距离问题的一般步骤：(1)确定法向量．(2)选择参考向量．(3)利用公式求解．
[学以致用]　3．已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC，AC的中点．PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点．
(1)求证：AE∥平面PFQ；
(2)求AE与平面PFQ间的距离．
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1．已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为(　　)
A． B．1 C． D．2
2．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，2)在α内，则平面外一点P(－2，1，2)到平面α的距离为(　　)
A．4 B．2 C． D．3
3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　)
A． B． C． D．3
4．已知AB∥平面α，平面α的一个法向量为n＝(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上的点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为________．
1．知识链：(1)点到直线的距离、两条平行线之间的距离．
(2)点到平面的距离、与平面平行的直线到平面的距离、两个平行平面之间的距离．
2．方法链：向量法、几何法、转化法．
3．警示牌：(1)求两条平行线之间的距离，在其中一条直线上找到一点，转化为点到直线的距离．
(2)求直线与平面之间的距离、两个平行平面之间的距离，在直线或其中一个平面上找到一点，转化为点到平面的距离．
(3)应注意点要选取适当，以方便求解为主．
异面直线间的距离
设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？
如图1所示，过直线a上任意一点A作b′∥b，过直线b上任意一点B作a′∥a，则a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a与b′，a′与b均可确定一个平面，依次记作α，β．由立体几何的知识可以证明：平面α，β均由直线a，b唯一确定，与点A，B的位置无关，且α∥β．于是，异面直线a，b间的距离就转化为平行平面α，β间的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量，再求在此法向量上的投影向量的长度即可．
如何求这两个平行平面的法向量呢？
设n是平行平面α，β的一个法向量，显然有n⊥a，n⊥b．因为向量a，b不共线，所以满足这个条件的所有向量都平行．也就是说，只需找到与向量a，b均垂直的向量即可．
如图2所示，设点A，B分别是异面直线a，b上任意一点，向量a，b分别是直线a，b的方向向量，向量n是与向量a，b均垂直的向量，则异面直线a，b间的距离为d＝．
7/7课时分层作业(十)　用空间向量研究距离问题
一、选择题
1．直线l的方向向量为m＝(1，0，－1)，且l过点A(1，1，1)，则点P(－1，2，1)到l的距离为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．2
2．Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
3．(多选)在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，M为AA1的中点，则(　　)
A．C1到直线CE的距离为
B．A1到平面MBD的距离为
C．E到平面ABM的距离为
D．C到直线MD的距离为1
4．已知在四棱锥P ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则点P到底面ABCD的距离为(　　)
A．　　　B．　　　C．1　　　D．2
5．在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝1，则直线AB1到平面BC1D的距离为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
二、填空题
6．已知A(1，2，0)，B(3，1，2)，C(2，0，4)，则点C到直线AB的距离为________．
7．如图所示，直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1＝，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，则点B1到平面A1BC的距离为________．
8．已知直线l的方向向量为m＝，若点P(－1，1，－1)为直线l外一点，A(4，1，－2)为直线l上一点，则P到直线l的距离为________．
三、解答题
9．如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1．
(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
10．在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0＜λ＜2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为(　　)
A．λ　　　B．　　　C．λ　　　D．
11．(多选)已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，点P在该正方体内部且满足，则下列说法正确的是(　　)
A．点A到直线BE的距离是
B．点O到平面ABC1D1的距离为
C．平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为
D．点P到直线AB的距离为
12．在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
13．如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD间的距离为________．
14．如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
15．如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝2，棱AA1＝2，D是CC1的中点，则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1，B两点)，使得点A1到平面AED的距离为？
2/41.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时　用空间向量研究距离问题
[学习目标]　能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题．(直观想象、数学运算)
(教师用书)
空间中的距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离、平行线之间的距离、点到平面的距离、与平面平行的直线到平面的距离、平行平面之间的距离、异面直线的距离等．空间两点间的距离即为以这两点为起点和终点的向量的模．本节主要研究点到直线、点到平面、平行线之间、平行平面之间的距离，这些距离都可以通过求投影向量的长度得到．
[讨论交流]　
问题1．空间点到直线、点到平面的距离的向量计算公式是什么？
问题2．相互平行的直线、平面间的距离可分别转化为什么距离求解？
问题3．用向量解决空间线面距离问题的一般步骤是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　点到直线的距离
探究问题1　给定一条直线l和直线l外一点P，如何用向量的方法求点P到直线l的距离？
[提示]　取直线l上一点A，它的单位方向向量用u表示，过P作PQ⊥l(图略)，点Q为垂足．这样，要解决的问题是：利用直线l上的点A，直线的单位方向向量u和直线外的一点P求线段PQ的长度．
探究问题2　为了求线段PQ的长度，如何将“探究问题1”中的条件与线段PQ联系起来？
[提示]　作向量(图略)，构造Rt△APQ，通过勾股定理求出线段PQ的长度，即PQ＝．
[新知生成]
点到直线的距离
设直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝＝．
【教用·微提醒】　(1)点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．
(2)两条平行线之间的距离可以转化为其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离．所以两条平行线之间的距离可以用点到直线的距离公式解决．
[典例讲评]　1．如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3．用向量的方法求点B到直线A′C的距离．
[解]　 依题意有A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)．
法一：＝(1，2，－3)，＝(0，2，0)，
方向上的投影向量的模为．
所以点B到直线A′C的距离为
d＝．
法二：取直线A′C的方向向量＝(1，2，－3)，a＝＝(0，2，0)，u＝，
则a2＝4，a·u＝，
所以点B到直线A′C的距离为．
　用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求直线的单位方向向量u．
(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a．
(4)利用公式PQ＝计算点到直线的距离．
[学以致用]　1．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
[解]　连接BC1．以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0，0，0)，A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直线A1C1的方向向量＝(－4，3，0)，＝(0，3，1)，取a＝＝(0，3，1)，u＝．
所以点B到直线A1C1的距离
d＝．
探究2　点到平面的距离
探究问题3　你能类比点到直线的距离公式的推导过程，推导出点到平面的距离公式吗？
[提示]　第一步，确定平面α的法向量n；
第二步，选择“参考向量”；
第三步，确定向量向法向量n的投影向量；
第四步，求投影向量的模长，得到PQ＝＝＝．
[新知生成]
点P到平面α的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝．
【教用·微提醒】　实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．
[典例讲评]　2．在三棱锥S-ABC中，棱长SA＝a，SB＝b，SC＝c，∠ASB，∠BSC，∠CSA都是直角，求点S到底面ABC的距离．
[解]　如图所示，以S为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则S(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)．
所以＝(－a，b，0)，＝(－a，0，c)，＝(a，0，0)．
设n＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，
则
取x＝bc，得y＝ac，z＝ab，
则n＝(bc，ac，ab)是平面ABC的一个法向量．
由于点S到底面ABC的距离等于向量在法向量n上的投影向量的长度，
因此，点S到底面ABC的距离
d＝
＝
＝．
　试写出向量法求点面距离的步骤
[提示]　(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
(3)求向量：求出相关向量的坐标，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．
(4)求距离d＝．
[学以致用]　2．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，求点D1到平面BDE的距离．
[解]　以点D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz如图所示，
则D(0，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，1)，故＝(1，1，0)，＝(0，1，1)．
设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥．
故有所以
所以取x＝1，则y＝－1，z＝1，
所以n＝(1，－1，1)．
因为点D1到平面BDE的距离d＝，＝(0，0，2)，所以·n＝2，|n|＝，
所以d＝＝，即点D1到平面BDE的距离为．
探究3　直线、平面到平面的距离
探究问题4　类比两条平行直线间的距离，如何求直线与平面或两个平行平面间的距离？
[提示]　在直线上或其中一个平面上取一定点，则该点到另一个平面的距离即为直线与平面或两平行平面之间的距离．
[新知生成]
1．如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点到平面的距离求解．
2．如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．
【教用·微提醒】　只有线面(或面面)平行时，才有线面(面面)距离．
【链接·教材例题】
例6　如图1.4-18，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离．
[分析]　根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离．
[解]　以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-18所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E，F，
所以
＝(0，1，0)，＝(－1，1，－1)，＝，
＝＝＝．
(1)取a＝＝(0，1，0)，u＝＝(－1，1，－1)，则a2＝1，a·u＝．
所以，点B到直线AC1的距离为＝＝．
(2)因为＝＝，所以FC∥EC1，所以FC∥平面AEC1．所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离．
设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，则
所以
所以
取z＝1，则x＝1，y＝2．
所以，n＝(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量．
又因为＝，所以点F到平面AEC1的距离为
＝＝．
即直线FC到平面AEC1的距离为．
[典例讲评]　3．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2．
(1)求直线B1C到平面A1BD的距离；
(2)求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
[解]　 (1)如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，所以＝(2，0，2)，＝(2，0，2)，＝(2，2，0)，所以∥，即CB1∥DA1，又CB1 平面A1BD，DA1 平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD，所以直线B1C到平面A1BD的距离等于点B1到平面A1BD的距离．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，又＝(0，2，0)，所以点B1到平面A1BD的距离d＝，即直线B1C到平面A1BD的距离为．
(2)由(1)知B1C∥平面A1BD，同理，D1B1∥平面A1BD，B1C∩D1B1＝B1，所以平面A1BD∥平面B1CD1，即平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点B1到平面A1BD的距离．由(1)知，点B1到平面A1BD的距离d＝．所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为．
　用向量方法研究空间距离问题的一般步骤：(1)确定法向量．(2)选择参考向量．(3)利用公式求解．
[学以致用]　3．已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC，AC的中点．PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点．
(1)求证：AE∥平面PFQ；
(2)求AE与平面PFQ间的距离．
[解]　如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边所在直线的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系．∵AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，又E，F分别是BC，AC的中点，
∴A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，F(0，2，0)，E(，3，0)，Q，P(0，0，2)．
(1)证明：∵＝＝(，3，0)，
∴．∵AE与FQ无交点，∴AE∥FQ．又FQ 平面PFQ，AE 平面PFQ，∴AE∥平面PFQ．
(2)由(1)知，AE∥平面PFQ，∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离．设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)，＝(0，2，－2)，＝，∴n·＝x＋y＝0．令y＝1，则x＝－，z＝1，∴平面PFQ的一个法向量为n＝(－，1，1)．连接QA，则＝，∴所求距离d＝＝．
【教用·备选题】　如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE间的距离．
[解]　因为A1B1∥AB，A1B1 平面ABE，AB 平面ABE，所以A1B1∥平面ABE，所以A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离．
如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)，C(0，，0)．
过点C作AB的垂线交AB于点F，
易得BF＝，
所以B(1，2，0)，所以＝(0，2，0)，＝(－1，－，1)．
设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
所以y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1)．
因为＝(0，0，2)，
所以点A1到平面ABE的距离
d＝＝＝．
所以直线A1B1与平面ABE间的距离为．
1．已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为(　　)
A． B．1 C． D．2
A　[∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，
＝(1，0，0)，＝(－1，2，－2)，∴点A到直线BC的距离为：
d＝
＝1×＝．]
2．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，2)在α内，则平面外一点P(－2，1，2)到平面α的距离为(　　)
A．4 B．2 C． D．3
B　[∵P(－2，1，2)，A(－1，3，2)，∴＝(1，2，0)，
又n＝(－2，－2，1)是平面α的一个法向量，
∴P到平面α的距离为d＝＝＝2．故选B．]
3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　)
A． B． C． D．3
B　[∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，＝(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，∴两平面间的距离d＝＝＝．故选B．]
4．已知AB∥平面α，平面α的一个法向量为n＝(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上的点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为________．
　[因为AB∥平面α，所以直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离，易知＝(1，2，0)，所以点A到平面α的距离d＝＝＝，即直线AB到平面α的距离为．]
1．知识链：(1)点到直线的距离、两条平行线之间的距离．
(2)点到平面的距离、与平面平行的直线到平面的距离、两个平行平面之间的距离．
2．方法链：向量法、几何法、转化法．
3．警示牌：(1)求两条平行线之间的距离，在其中一条直线上找到一点，转化为点到直线的距离．
(2)求直线与平面之间的距离、两个平行平面之间的距离，在直线或其中一个平面上找到一点，转化为点到平面的距离．
(3)应注意点要选取适当，以方便求解为主．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用空间向量求点到直线的距离的方法是什么？
[提示]　已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，则点P到直线l的距离为．
2．用空间向量求点到平面的距离的方法是什么？
[提示]　已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离是．
3．如何用空间向量求直线和平面、平面和平面间的距离？
[提示]　先证明直线和平面平行，平面和平面平行，然后把所求距离转化为点到平面的距离，最后利用点到平面的距离公式求解．
异面直线间的距离
设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？
如图1所示，过直线a上任意一点A作b′∥b，过直线b上任意一点B作a′∥a，则a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a与b′，a′与b均可确定一个平面，依次记作α，β．由立体几何的知识可以证明：平面α，β均由直线a，b唯一确定，与点A，B的位置无关，且α∥β．于是，异面直线a，b间的距离就转化为平行平面α，β间的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量，再求在此法向量上的投影向量的长度即可．
如何求这两个平行平面的法向量呢？
设n是平行平面α，β的一个法向量，显然有n⊥a，n⊥b．因为向量a，b不共线，所以满足这个条件的所有向量都平行．也就是说，只需找到与向量a，b均垂直的向量即可．
如图2所示，设点A，B分别是异面直线a，b上任意一点，向量a，b分别是直线a，b的方向向量，向量n是与向量a，b均垂直的向量，则异面直线a，b间的距离为d＝．
课时分层作业(十)　用空间向量研究距离问题
一、选择题
1．直线l的方向向量为m＝(1，0，－1)，且l过点A(1，1，1)，则点P(－1，2，1)到l的距离为(　　)
A． B． C． D．2
B　[直线l的方向向量为m＝(1，0，－1)，且l过点A(1，1，1)，
又点P(－1，2，1)，则＝(－2，1，0)，则|AP|＝，
又∵＝＝，
∴点P(－1，2，1)到l的距离为＝，故选B．]
2．Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
C　[以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P，
所以＝(－4，3，0)，＝，
所以点P到AB的距离d＝＝＝3．故选C．]
3．(多选)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，M为AA1的中点，则(　　)
A．C1到直线CE的距离为
B．A1到平面MBD的距离为
C．E到平面ABM的距离为
D．C到直线MD的距离为1
ABD　[建立空间直角坐标系，如图所示，则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，E，所以＝，＝(0，0，1)，所以点C1到直线EC的距离
d＝＝＝，A正确；A1到平面MBD的距离等于A到平面MBD的距离，由VA-MBD＝VM-ABD可得该距离为，B正确；E到平面ABM的距离是EA1＝，C错误；C到直线MD的距离为CD＝1，D正确．故选ABD．]
4．已知在四棱锥P-ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则点P到底面ABCD的距离为(　　)
A． B． C．1 D．2
D　[在四棱锥P-ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则可得不妨令x＝3，则y＝12，z＝4，
可得n＝(3，12，4)．则＝(－6，2，－8)在平面ABCD法向量上的投影向量的长度就是这个四棱锥的高h，所以h＝＝＝＝2，
所以该四棱锥的高为2．故选D．]
5．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝1，则直线AB1到平面BC1D的距离为(　　)
A． B． C． D．
A　[以B为原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C1(1，0，1)，D，A(0，1，0)，B1(0，0，1)，所以＝(1，0，1)，＝(0，－1，1)．
设平面BC1D的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－1)．因为·n＝0×1＋(－1)×(－1)＋1×(－1)＝0，所以⊥n，又AB1 平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D．设直线AB1到平面BC1D的距离为d，因为＝(0，1，0)，所以d＝，所以直线AB1到平面BC1D的距离为．故选A．]
二、填空题
6．已知A(1，2，0)，B(3，1，2)，C(2，0，4)，则点C到直线AB的距离为________．
　[设点C到直线AB的距离为d，∵A(1，2，0)，B(3，1，2)，C(2，0，4)，
∴＝(2，－1，2)，＝(1，－2，4)，∴＝4，∴d＝＝．]
7．如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1＝，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，则点B1到平面A1BC的距离为________．
　[如图所示，建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1，B1，C1，∴＝()，＝＝(－1，1，0)．
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令z＝1，得x＝－，y＝0，
∴n＝．
∴点B1到平面A1BC的距离d＝．]
8．已知直线l的方向向量为m＝(1，，－1)，若点P(－1，1，－1)为直线l外一点，A(4，1，－2)为直线l上一点，则P到直线l的距离为________．
　[∵P(－1，1，－1)，A(4，1，－2)，
∴＝(5，0，－1)，又m＝(1，，－1)，
∴cos 〈m，〉＝＝＝，
∴sin 〈m，〉＝，又∵＝，
∴点P(－1，1，－1)到直线l的距离为＝×＝．]
三、解答题
9．如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1．
(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
[解]　 (1)以D为坐标原点，DA，DC，DF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)．设点F(0，0，z)．
因为四边形AEC1F为平行四边形，
所以，即(－2，0，z)＝(－2，0，2)，解得z＝2，所以F(0，0，2)，所以＝(－2，－4，2)，所以＝2．即BF的长为2．
(2)＝(0，4，1)，＝(－2，0，2)，设平面AEC1F的法向量为n＝(x，y，z)，
由
令z＝1，得x＝1，y＝－，所以n＝为平面AEC1F的一个法向量．
又因为＝(0，0，3)，
所以点C到平面AEC1F的距离为
d＝．
10．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0＜λ＜2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为(　　)
A．λ B． C．λ D．
D　[以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则E(2，0，1)，M(2，λ，2)，N，D1(0，0，2)，F(2，2，1)，
＝(0，2，0)，＝(－2，0，1)，，
设平面D1EF的法向量n＝(x，y，z)，则
取x＝1，得n＝(1，0，2)，∴点N到平面D1EF的距离d＝．故选D．]
11．(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，点P在该正方体内部且满足＝＋＋AA1，则下列说法正确的是(　　)
A．点A到直线BE的距离是
B．点O到平面ABC1D1的距离为
C．平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为
D．点P到直线AB的距离为
BC　[如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，
所以＝(1，0，0)，，
所以点A到直线BE的距离d1＝，故A错误；
易知，平面ABC1D1的一个法向量为＝(0，－1，1)，
则点O到平面ABC1D1的距离d2＝，故B正确；
易知＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，0)，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
令z＝1，得y＝1，x＝1，
所以n＝(1，1，1)，
所以点D1到平面A1BD的距离d3＝，
因为平面A1BD∥平面B1CD1，
所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为，故C正确；
易知＝(0，1，0)，＝(0，0，1)，
且．
所以，
所以点P到直线AB的距离d4＝＝，故D错误．]
12．在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
　[由AD∥平面PBC知AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可得AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，
则＝(2，0，－2)，＝(0，2，0)．
设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，
则即
取a＝1，得n＝(1，0，1)，
又＝(2，0，0)，
所以d＝＝．]
13．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD间的距离为________．
　[如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)．
∴＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)，
∴，
∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M．
∴平面AMN∥平面EFBD．
设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，
则
解得
取z＝1，则x＝2，y＝－2，
得n＝(2，－2，1)．
平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离．
∵＝(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d＝＝．]
14．如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
[解]　(1)建立以点D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示．
则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，所以＝＝＝．
设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)．
所以点D到平面PEF的距离d＝＝＝．
(2)由题意知AC∥平面PEF，所以直线AC到平面PEF的距离即点A到平面PEF的距离．
因为＝，
所以点A到平面PEF的距离d′＝＝＝，
所以直线AC到平面PEF的距离为．
15．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝2，棱AA1＝2，D是CC1的中点，则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1，B两点)，使得点A1到平面AED的距离为？
[解]　 假设存在点E满足题意．以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，＝(0，0，2)，＝(2，－2，2)．
设，λ∈(0，1)，
则E(2λ，2(1－λ)，2λ)，＝(－2，0，1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)．
设n＝(x，y，z)为平面AED的法向量，
则
即
取x＝1，则y＝，z＝2，
即n＝为平面AED的一个法向量．
因为点A1到平面AED的距离d＝，
所以，
又λ∈(0，1)，所以λ＝．
故存在点E，且当点E为A1B的中点时，点A1到平面AED的距离为．
20/23(共72张PPT)
第2课时　用空间向量研究夹角问题
第一章 空间向量与立体几何
1.4　空间向量的应用
1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题
[学习目标]　1．会用向量法求线线、线面、面面夹角．(直观想象、数学运算)
2．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．(逻辑推理、数学运算)
整体感知
(教师用书)
在必修教材中，我们学习过异面直线所成的角、直线与平面相交所成的角以及两个平面相交所成的二面角．那么，在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？
[讨论交流]　
问题1．两条异面直线、直线和平面、两个平面的夹角的向量计算公式分别是什么？
问题2．直线和平面的夹角与直线方向向量、平面法向量的夹角有什么关系？
问题3．两个平面的夹角和二面角有什么区别？
问题4．用向量解决空间线面夹角问题的一般步骤是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　两异面直线所成的角
探究问题1　如何求两个向量a，b的夹角？
探究建构
[提示]　cos 〈a，b〉＝．
探究问题2　能否借助两个向量的夹角来求两异面直线所成的角．
[提示]　可以．可转化为两条异面直线的方向向量的夹角问题来解决．
[新知生成]
利用向量方法求两条异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝ ．
【教用·微提醒】　两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．
【链接·教材例题】
例7　如图1.4-19，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值．
[分析]　求直线AM和CN夹角的余弦值，可以转化为求向量夹角的余弦值．为此需要把向量用适当的基底表示出来，进而求得向量夹角的余弦值．
[解]　化为向量问题
如图1.4-19，以{}作为基底，则
－＝．
设向量．
进行向量运算
＝·
＝－＋－＝－＋－＝．
又△ABC和△ACD均为等边三角形，
所以＝＝．
所以cos θ＝＝＝．
回到图形问题
所以直线AM和CN夹角的余弦值为．
[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝2，BC＝1，AA′＝3．求AC′与A′D夹角的余弦值．
[解]　设s1，s2分别是AC′和A′D的一个方向向量，取s1＝．
因为A(0，0，0)，C′(2，1，3)，A′(0，0，3)，D(0，1，0)，所以s1＝＝(2，1，3)，s2＝＝(0，1，－3)．
设AC′与A′D所成角为θ，则
cos θ＝|cos 〈s1，s2〉|＝．
故AC′与A′D夹角的余弦值为．
反思领悟　求异面直线所成角的步骤
(1)确定两条异面直线的方向向量．
(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值．
(3)得出两条异面直线所成的角．
[学以致用]　1．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，△SAB，△SCD是直角圆锥SO的两个轴截面，且
cos ∠BOC＝，则异面直线SA与BC所成角的余弦值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
√
B　[以O为坐标原点，OB，OS所在直线分别为y，z轴，垂直于平面SAB的轴为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝6，则A(0，－3，0)，B(0，3，0)，S(0，0，3)，因为cos ∠BOC＝，
所以C(－2，1，0)，
所以＝(0，－3，－3)，＝(－2，－2，0)，
所以cos 〈〉＝＝＝，
所以异面直线SA与BC所成角的余弦值为．
故选B．]
2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的正弦值为(　　)
A．　　　　B．　　　C．　　　D．
√
A　[如图，
∵PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，
∴以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP
所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PA＝BC＝2，则B(2，0，0)，F(1，1，1)，
P(0，0，2)，E(1，2，0)，
∴＝(－1，1，1)，＝(1，2，－2)，
∵cos 〈〉＝＝＝－，
∴异面直线BF与PE所成角的正弦值为＝．
故选A．]
探究2　直线与平面所成的角
探究问题3　直线的方向向量与平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角吗？
[提示]　不是．
探究问题4　设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为v，平面的法向量为n，则θ与〈v，n〉有什么关系？
[提示]　θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－．
[新知生成]
利用向量方法求直线与平面所成的角
直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝ ．
【教用·微提醒】　(1)求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决．
(2)线面角的范围为．
[典例讲评]　2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，PA⊥平面ABCD，E为PD中点，且PA＝1．
(1)求证：PB∥平面ACE；
(2)求直线BE与平面PCD所成角的余弦值．
[解]　(1)证明：连接BD，交AC于点O，连接EO，则O为BD中点，
∵E为PD的中点，∴EO∥PB，
又EO 平面ACE，PB 平面ACE，∴PB∥平面ACE．
(2)以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，C(2，1，0)，B(2，0，0)，P(0，0，1)，D(0，1，0)，E，
∴＝＝(0，1，－1)，
＝(2，1，－1)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令y＝1，得n＝(0，1，1)，
设直线BE与平面PCD所成角为θ，且θ∈，
∴sin θ＝＝＝＝，
∴cos θ＝＝，
故直线BE与平面PCD所成角的余弦值为．
反思领悟　利用向量法求直线与平面所成角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求直线的方向向量．
(3)求平面的法向量n．
(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝．
[学以致用]　3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为C1C，BC的中点．求A1B与平面AEF所成角的正弦值．
[解]　以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，所以＝(2，0，－2)，＝(0，2，1)，＝(1，1，0)．
设平面AEF的法向量为n＝(a，b，c)，
由得令a＝1，可得n＝(1，－1，2)为平面AEF的一个法向量．
设A1B与平面AEF所成角为θ，
所以sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝，
即A1B与平面AEF所成角的正弦值为．
[提示]　平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
区别：二面角的范围是[0，π]，而两个平面的夹角的范围是．
探究3　两平面的夹角
探究问题5　两个平面的夹角与二面角的平面角有什么区别？
探究问题6　设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，平面α1与平面α2的夹角为θ，则θ与〈n1，n2〉的关系是什么？
[提示]　两平面的夹角是两平面法向量的夹角或其补角，
即θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．
[新知生成]
利用向量方法求两个平面的夹角
(1)平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中___________的二面角称为平面α与平面β的夹角．
(2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝ ．
不大于90°
【教用·微提醒】　(1)求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题．
(2)两平面的夹角的范围是，二面角的范围是[0，π]．
(3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念．
【链接·教材例题】
例8　如图1.4-22，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1．求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值．
[分析]　因为平面PQR与平面A1B1C1的夹角可以转化为平面PQR与平面A1B1C1的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可．
[解]　化为向量问题
以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-22所示的空间直角坐标系．设平面A1B1C1的法向量为n1，平面PQR的法向量为n2，则平面PQR与平面A1B1C1的夹角就是n1与n2的夹角或其补角．
进行向量运算
因为C1C⊥平面A1B1C1，所以平面A1B1C1的一个法向量为n1＝(0，0，1)．
根据所建立的空间直角坐标系，可知P(0，1，3)，Q(2，0，2)，R(0，2，1)．
所以＝(2，－1，－1)，＝(0，1，－2)．
设n2＝(x，y，z)，则 所以所以
取n2＝(3，4，2)，则
cos 〈n1，n2〉＝＝＝．
回到图形问题
设平面PQR与平面A1B1C1的夹角为θ，则
cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝．
即平面PQR与平面A1B1C1的夹角的余弦值为．
[典例讲评]　3．(2023·新高考Ⅱ卷)如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F满足，求二面角D-AB-F的正弦值．
[解]　(1)证明：如图，连接DE，AE，
因为DC＝DB，且E为BC的中点，所以DE⊥BC．
因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，
所以△ADB≌△ADC(SAS)．
可得AC＝AB，故AE⊥BC．
因为DE∩AE＝E，DE，AE 平面ADE，所以BC⊥平面ADE．
又DA 平面ADE，所以BC⊥DA．
(2)由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC．
不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为∠ADB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2．
由题可知△DBC为等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝．
因为AE⊥BC，所以AE＝＝．
在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED．
以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EB所在直线为
y轴，EA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
如图，则D(，0，0)，B(0，，0)，A(0，0，)，
＝(－，0，)，＝(0，－，)．
设F(xF，yF，zF)，因为，所以(xF，yF，zF)＝(－，0，)，可得F(－，0，)．
所以＝(，0，0)．
设平面DAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即
取x1＝1，则y1＝z1＝1，m＝(1，1，1)．
设平面ABF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则即得x2＝0，取y2＝1，
则z2＝1，n＝(0，1，1)．
所以cos 〈m，n〉＝＝＝．
记二面角D-AB-F的大小为θ，
则sin θ＝＝＝，
故二面角D-AB-F的正弦值为．
反思领悟　利用坐标法求两个平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)分别求出两个面所在平面的法向量的坐标．
(3)求两个法向量的夹角．
(4)确定两平面夹角的大小．
[学以致用]　4．(2023·北京卷)如图，四面体P-ABC中，PA＝AB＝BC＝1，PC＝，PA⊥平面ABC．
(1)求证：BC⊥平面PAB；
(2)求二面角A-PC-B的大小．
[解]　(1)证明：∵PA⊥平面ABC，AC 平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥AC，PA⊥BC，∵PA＝1，PC＝，∴AC＝＝＝，
又∵AB＝BC＝1，∴AC2＝AB2＋BC2，∴BC⊥AB，又∵PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB．
(2)以点B为坐标原点，分别以BC，BA所在直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则A(0，1，0)，B(0，0，0)，C(1，0，0)，P(0，1，1)，
∴＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)，＝(0，1，1)，＝(1，0，0)．
设平面APC的法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝1，得n＝(1，1，0)，
设平面BPC的法向量为m＝(a，b，c)，
则取b＝1，得m＝(0，1，－1)，
∴cos 〈m，n〉＝＝＝，
由图可知二面角A-PC-B为锐角，设二面角A-PC-B的大小为θ，
则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝，∴θ＝，
即二面角A-PC-B的大小为．
【教用·备选题】　如图所示，四棱锥P-ABCD，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，△PAB为等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，Q为PB的中点．
(1)求证：AQ⊥平面PBC；
(2)求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值．
[解]　(1)证明：因为AB∥CD，∠BCD＝90°，所以AB⊥BC，
又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面PAB．
又AQ 平面PAB，所以BC⊥AQ．
因为Q为PB的中点，且△PAB为等边三角形，所以PB⊥AQ．
又PB∩BC＝B，所以AQ⊥平面PBC．
(2)法一：取AB的中点O，连接PO，OD，因为△PAB为等边三角形，所以PO⊥AB．
因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OD．
由AB＝2BC＝2CD＝4，AB∥CD，得OB＝CD，且OB∥CD，所以四边形OBCD为平行四边形，可得OD∥BC，又∠ABC＝90°，所以OD⊥AB．
以AB的中点O为坐标原点，OA，OD，OP所在直
线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角
坐标系Oxyz，则A(2，0，0)，D(0，2，0)，C(－2，
2，0)，P(0，0，2)，B(－2，0，0)，则＝(0，－2，2)，＝(2，0，0)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
取z＝1，则平面PCD的一个法向量为n＝(0，，1)．
由(1)知，为平面PBC的一个法向量，
因为Q为PB的中点，则Q(－1，0，)，所以＝(3，0，－)．
又·n＝－，＝2＝2，
所以cos 〈，n〉＝＝＝－．
故平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为．
法二：建系同方法一．
分别从B，D作PC的垂线段，垂足分别为E，F，如图所示，则〈〉即为二面角B-PC-D的平面角的大小．
设＝λ(2，－2，2)＝(2λ，－2λ，
2λ)，则＝(0，2，0)＋(2λ，
－2λ，2λ)＝(2λ，2－2λ，2λ)，
由＝0，得2λ×2＋(2－2λ)×(－2)＋
2λ×2＝0，解得λ＝，即＝．
同理可得＝，所以＝－，＝，＝．
所以cos 〈〉＝＝＝－，
故平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为．
法三：如图，取AB的中点为O，连接PO，OD，因为△PAB为等边三角形，所以PO⊥AB．
因为平面PAB⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OD．
在Rt△POD中，PO＝2，OD＝2，
所以PD＝4．所以PB＝PD，
又BC＝DC，PC＝PC，所以△PBC≌△PDC．
在Rt△PBC中，过点B作BE⊥PC，垂足为E，连接DE，则DE⊥PC，所以∠BED就是二面角B-PC-D的平面角．
在Rt△PBC中，PB＝4，BC＝2，所以PC＝＝2，所以BE＝＝，所以DE＝BE＝．
连接BD，则BD＝2，在△BED中，cos ∠BED＝
＝－，所以平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为．
【链接·教材例题】
例9　图1.4-23为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°．已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)．
[分析]　因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小．8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量．
[解]　如图1.4-24，设水平面的单位法向量为n，其中一根绳子的拉力为F．因为〈n，F〉＝30°，所以F在n上的投影向量为n．所以8根绳子拉力的合力
F合＝8×n＝4n．
又因为降落伞匀速下落，
所以|F合|＝|G礼物|＝1×9.8＝9.8(N)．
所以＝9.8．所以|F|＝≈1.41(N)．
【链接·教材例题】
例10　如图1.4-25，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
(1)求证：PA∥平面EDB；
(2)求证：PB⊥平面EFD；
(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．
[分析]　本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角．这些问题都可以利用向量方法解决．由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题．
[解]　以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-26所示的空间直角坐标系，设DC＝1．
(1)证明：连接AC，交BD于点G，连接EG．
依题意得A(1，0，0)，P(0，0，1)，E．
因为底面ABCD是正方形，所以点G是它的中心，
故点G的坐标为，且＝(1，0，－1)，
＝．
所以，即PA∥EG．
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，因此PA∥平面EDB．
(2)证明：依题意得
B(1，1，0)，＝(1，1，－1)．
又＝，故＝0＋－＝0．
所以PB⊥DE．
由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD．
(3)解：已知PB⊥EF，由(2)可知PB⊥DF，故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角．
设点F的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)．
因为，所以(x，y，z－1)＝k(1，1，－1)＝(k，k，－k)，即x＝k，y＝k，z＝1－k．
由(2)可知＝0，则(1，1，－1)·(k，k，1－k)＝k＋k－1＋k＝3k－1＝0．
所以k＝，点F的坐标为．
又点E的坐标为，所以＝．
所以cos ∠EFD＝
＝＝．
所以∠EFD＝60°，即平面CPB与平面PBD的夹角大小为60°．
1．已知空间两异面直线所成的角的取值集合为A，直线与平面所成角的取值集合为B，则(　　)
A．A＝B　　B．A B　　C．B A　　D．A∩B＝
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
B　[两异面直线所成的角的取值集合为A＝，
而直线与平面所成角的取值集合为B＝，则ACD错误，B正确．故选B．]
2．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝
(2，0，4)，则异面直线l1与l2所成角的余弦值等于(　　)
A．－ 　　 B． 　　 C．－ 　　 D．
2
3
题号
1
4
√
B　[异面直线 l1，l2 的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，
b＝(2，0，4)，
则a·b＝0×2＋(－2)×0＋(－1)×4＝－4，|a|＝＝2，
则cos 〈a，b〉＝＝＝－，则异面直线l1与l2所成角的余弦值等于．故选B．]
3．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，平面PCD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ满足(　　)
A．θ＝ B．cos θ＝
C．tan θ＝ D．sin θ＝
2
3
题号
4
1
√
C　[因为四边形ABCD为正方形，所以DC⊥DA，
因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，CD 底面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，又因为PD 平面PAD，所以CD⊥PD，同理可得AD⊥PD，
2
3
题号
4
1
所以DA，DC，DP两两垂直，以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，
G，所以＝，
易知平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
则sin θ＝＝＝，
所以cos θ＝＝，tan θ＝．
故选C．]
2
3
题号
4
1
4．如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0，0，2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝________．
2
4
3
题号
1
　[cos θ＝＝＝．]
　
1．知识链：(1)用向量求两条异面直线所成的角．
(2)用向量求直线与平面所成的角．
(3)用向量求两个平面的夹角．
2．方法链：向量法、化归转化．
3．警示牌：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念、把握空间角的范围．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用向量语言表述两条异面直线所成的角．
[提示]　若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝．
2．用向量语言表述直线和平面所成的角．
[提示]　设直线l和平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为u，平面α
的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝．
3．用向量语言表述平面和平面的夹角．
[提示]　设平面α与平面β的夹角为θ，其法向量分别为n1，n2，
则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝．
4．试总结用坐标法求两平面的夹角的步骤．
[提示]　(1)建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标；
(2)求出两个平面的法向量；
(3)求出两个法向量的夹角；
(4)两个法向量的夹角或其补角就是两平面的夹角．
课时分层作业(十一)
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用空间向量研究夹角问题
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS课时分层作业(十一)　用空间向量研究夹角问题
一、选择题
1．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，D，E分别为SO，SB的中点，OC⊥AB，SO＝AB＝4，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
2．我们称：两个相交平面构成四个二面角，其中不大于90°的二面角称为这两个相交平面的夹角；由正方体的四个顶点所确定的平面统称为该正方体的“表截面”．则在正方体中，两个不重合的“表截面”的夹角大小不可能为(　　)
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°
3．如图，在正方体ABEF DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为(　　)
A．－　　　B．　　　C．－　　　D．
4．(多选)已知正方体ABCD A1B1C1D1，则(　　)
A．直线AB1与CD1所成的角为90°
B．直线AD1与CA1所成的角为90°
C．直线AD1与平面BB1D1D所成的角为45°
D．直线AD1与平面ABCD所成的角为45°
5．(多选)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝AC＝AB＝2，AB⊥AC，点D，E分别是线段BC，B1C上的动点(不含端点)，且．则下列说法正确的是(　　)
A．ED∥平面ACC1
B．点C1到直线B1C的距离为1
C．异面直线B1C与AA1所成角的正切值为
D．平面AEC与平面ECD的夹角的余弦值为
二、填空题
6．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝2AC＝2BC，则直线AB1与直线BC1所成角的余弦值为________．
7．在空间直角坐标系中，已知A(a2，2a，6)，B(0，0，1)，C(1，1，2)，D(－1，0，3)，E(a2，0，5)，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平面BCD所成角的正弦值为________．
8．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AB，AC，AA1两两垂直，AB＝AC＝AA1＝1，M，N分别是侧棱BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成的(锐)二面角为，则当CN最小时，∠AMB＝________．
三、解答题
9．(2023·新高考Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．
(1)证明：B2C2∥A2D2；
(2)点P在棱BB1上，当二面角P A2C2 D2为150°时，求B2P．
10．阅读材料：空间直角坐标系Oxyz中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0；过点P(x0，y0，z0)且一个方向向量为d＝(u，v，w)(uvw≠0)的直线l的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为3x－5y＋z－7＝0，直线l是平面x－3y＋7＝0与4y＋2z＋1＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为(　　)
A．　 　B．　 　C．　 　D．
11．古代城池中的瓮城，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如图的曲池是上、下底面均为半圆形的柱体．若AA1⊥底面ABCD，AA1＝3，AB＝4，CD＝2，E为弧的中点，则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为(　　)
A．　　　C．
12．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”P ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝PA，则直线PC与面PBD所成角的正弦值为(　　)
A．　 　B．　 　C．　 　D．
13．如图，已知四边形ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F DC B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为________．
14．(2024·新高考Ⅱ卷)如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足．将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4．
(1)证明：EF⊥PD；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
15．如图1，在平面图形ABCDE中，AE＝ED＝BD＝BC＝1，BC⊥BD，ED∥AB，∠EAB＝60°，沿BD将△BCD折起，使点C到F的位置，且BF⊥BE，，如图2．
(1)求证：平面GEBF⊥平面AEG；
(2)线段FG上是否存在点M，使得平面MAB与平面AEG夹角的余弦值为？若存在，求出GM的长；若不存在，请说明理由．
5/5第2课时　用空间向量研究夹角问题
[学习目标]　1．会用向量法求线线、线面、面面夹角．(直观想象、数学运算)
2．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．(逻辑推理、数学运算)
(教师用书)
在必修教材中，我们学习过异面直线所成的角、直线与平面相交所成的角以及两个平面相交所成的二面角．那么，在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？
[讨论交流]　
问题1．两条异面直线、直线和平面、两个平面的夹角的向量计算公式分别是什么？
问题2．直线和平面的夹角与直线方向向量、平面法向量的夹角有什么关系？
问题3．两个平面的夹角和二面角有什么区别？
问题4．用向量解决空间线面夹角问题的一般步骤是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　两异面直线所成的角
探究问题1　如何求两个向量a，b的夹角？
[提示]　cos 〈a，b〉＝．
探究问题2　能否借助两个向量的夹角来求两异面直线所成的角．
[提示]　可以．可转化为两条异面直线的方向向量的夹角问题来解决．
[新知生成]
利用向量方法求两条异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝．
【教用·微提醒】　两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．
【链接·教材例题】
例7　如图1.4-19，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值．
[分析]　求直线AM和CN夹角的余弦值，可以转化为求向量夹角的余弦值．为此需要把向量用适当的基底表示出来，进而求得向量夹角的余弦值．
[解]　化为向量问题
如图1.4-19，以{}作为基底，则
－＝．
设向量．
进行向量运算
＝·
＝－＋－
＝－＋－＝．
又△ABC和△ACD均为等边三角形，
所以＝＝．
所以cos θ＝＝＝．
回到图形问题
所以直线AM和CN夹角的余弦值为．
[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝2，BC＝1，AA′＝3．求AC′与A′D夹角的余弦值．
[解]　 设s1，s2分别是AC′和A′D的一个方向向量，取s1＝．
因为A(0，0，0)，C′(2，1，3)，A′(0，0，3)，D(0，1，0)，所以s1＝＝(2，1，3)，s2＝＝(0，1，－3)．
设AC′与A′D所成角为θ，则
cos θ＝|cos 〈s1，s2〉|＝．
故AC′与A′D夹角的余弦值为．
　求异面直线所成角的步骤
(1)确定两条异面直线的方向向量．
(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值．
(3)得出两条异面直线所成的角．
[学以致用]　1．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，△SAB，△SCD是直角圆锥SO的两个轴截面，且cos ∠BOC＝，则异面直线SA与BC所成角的余弦值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
B　[以O为坐标原点，OB，OS所在直线分别为y，z轴，垂直于平面SAB的轴为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝6，则A(0，－3，0)，B(0，3，0)，S(0，0，3)，因为cos ∠BOC＝，
所以C(－2，1，0)，
所以＝(0，－3，－3)，＝(－2，－2，0)，
所以cos 〈〉＝＝＝，
所以异面直线SA与BC所成角的余弦值为．
故选B．]
2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的正弦值为(　　)
A．　　　　B．　　　C．　　　D．
A　[如图，
∵PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，
∴以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PA＝BC＝2，则B(2，0，0)，F(1，1，1)，P(0，0，2)，E(1，2，0)，
∴＝(－1，1，1)，＝(1，2，－2)，
∵cos 〈〉＝＝＝－，
∴异面直线BF与PE所成角的正弦值为＝．
故选A．]
探究2　直线与平面所成的角
探究问题3　直线的方向向量与平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角吗？
[提示]　不是．
探究问题4　设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为v，平面的法向量为n，则θ与〈v，n〉有什么关系？
[提示]　θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－．
[新知生成]
利用向量方法求直线与平面所成的角
直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝．
【教用·微提醒】　(1)求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决．
(2)线面角的范围为
[典例讲评]　2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，PA⊥平面ABCD，E为PD中点，且PA＝1．
(1)求证：PB∥平面ACE；
(2)求直线BE与平面PCD所成角的余弦值．
[解]　(1)证明：连接BD，交AC于点O，连接EO，则O为BD中点，
∵E为PD的中点，∴EO∥PB，
又EO 平面ACE，PB 平面ACE，
∴PB∥平面ACE．
(2)以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，C(2，1，0)，B(2，0，0)，P(0，0，1)，D(0，1，0)，E，
∴＝＝(0，1，－1)，＝(2，1，－1)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令y＝1，得n＝(0，1，1)，
设直线BE与平面PCD所成角为θ，且θ∈，
∴sin θ＝＝＝＝，
∴cos θ＝＝，
故直线BE与平面PCD所成角的余弦值为．
　利用向量法求直线与平面所成角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求直线的方向向量．
(3)求平面的法向量n．
(4)计算：设线面角为θ，则sinθ＝．
[学以致用]　3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为C1C，BC的中点．求A1B与平面AEF所成角的正弦值．
[解]　以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，所以＝(2，0，－2)，＝(0，2，1)，＝(1，1，0)．
设平面AEF的法向量为n＝(a，b，c)，
由得令a＝1，可得n＝(1，－1，2)为平面AEF的一个法向量．
设A1B与平面AEF所成角为θ，
所以sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝，
即A1B与平面AEF所成角的正弦值为．
探究3　两平面的夹角
探究问题5　两个平面的夹角与二面角的平面角有什么区别？
[提示]　平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
区别：二面角的范围是[0，π]，而两个平面的夹角的范围是．
探究问题6　设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，平面α1与平面α2的夹角为θ，则θ与〈n1，n2〉的关系是什么？
[提示]　两平面的夹角是两平面法向量的夹角或其补角，即θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．
[新知生成]
利用向量方法求两个平面的夹角
(1)平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
(2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝．
【教用·微提醒】　(1)求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题．
(2)两平面的夹角的范围是，二面角的范围是[0，π]．
(3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念．
【链接·教材例题】
例8　如图1.4-22，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1．求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值．
[分析]　因为平面PQR与平面A1B1C1的夹角可以转化为平面PQR与平面A1B1C1的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可．
[解]　化为向量问题
以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-22所示的空间直角坐标系．设平面A1B1C1的法向量为n1，平面PQR的法向量为n2，则平面PQR与平面A1B1C1的夹角就是n1与n2的夹角或其补角．
进行向量运算
因为C1C⊥平面A1B1C1，所以平面A1B1C1的一个法向量为n1＝(0，0，1)．
根据所建立的空间直角坐标系，可知P(0，1，3)，Q(2，0，2)，R(0，2，1)．
所以＝(2，－1，－1)，＝(0，1，－2)．
设n2＝(x，y，z)，则
所以
所以
取n2＝(3，4，2)，则
cos 〈n1，n2〉＝＝＝．
回到图形问题
设平面PQR与平面A1B1C1的夹角为θ，则
cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝．
即平面PQR与平面A1B1C1的夹角的余弦值为．
[典例讲评]　3．(2023·新高考Ⅱ卷)如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F满足，求二面角D-AB-F的正弦值．
[解]　(1)证明：如图，连接DE，AE，
因为DC＝DB，且E为BC的中点，所以DE⊥BC．
因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，
所以△ADB≌△ADC(SAS)．
可得AC＝AB，故AE⊥BC．
因为DE∩AE＝E，DE，AE 平面ADE，所以BC⊥平面ADE．
又DA 平面ADE，所以BC⊥DA．
(2)由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC．
不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为∠ADB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2．
由题可知△DBC为等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝．
因为AE⊥BC，所以AE＝＝．
在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED．
以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则D(，0，0)，B(0，，0)，A(0，0，)，＝(－，0，)，＝(0，－，)．
设F(xF，yF，zF)，因为，所以(xF，yF，zF)＝(－，0，)，可得F(－，0，)．
所以＝(，0，0)．
设平面DAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即取x1＝1，则y1＝z1＝1，m＝(1，1，1)．
设平面ABF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则即得x2＝0，取y2＝1，则z2＝1，n＝(0，1，1)．
所以cos 〈m，n〉＝＝＝．
记二面角D-AB-F的大小为θ，则sin θ＝＝＝，
故二面角D-AB-F的正弦值为．
　利用坐标法求两个平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)分别求出两个面所在平面的法向量的坐标．
(3)求两个法向量的夹角．
(4)确定两平面夹角的大小．
[学以致用]　4．(2023·北京卷)如图，四面体P-ABC中，PA＝AB＝BC＝1，PC＝，PA⊥平面ABC．
(1)求证：BC⊥平面PAB；
(2)求二面角A-PC-B的大小．
[解]　(1)证明：∵PA⊥平面ABC，AC 平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥AC，PA⊥BC，∵PA＝1，PC＝，∴AC＝＝＝，
又∵AB＝BC＝1，∴AC2＝AB2＋BC2，∴BC⊥AB，又∵PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB．
(2)以点B为坐标原点，分别以BC，BA所在直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则A(0，1，0)，B(0，0，0)，C(1，0，0)，P(0，1，1)，
∴＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)，＝(0，1，1)，＝(1，0，0)．
设平面APC的法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝1，得n＝(1，1，0)，
设平面BPC的法向量为m＝(a，b，c)，
则取b＝1，得m＝(0，1，－1)，
∴cos 〈m，n〉＝＝＝，
由图可知二面角A-PC-B为锐角，设二面角A-PC-B的大小为θ，
则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝，∴θ＝，
即二面角A-PC-B的大小为．
【教用·备选题】　如图所示，四棱锥P-ABCD，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，△PAB为等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，Q为PB的中点．
(1)求证：AQ⊥平面PBC；
(2)求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值．
[解]　(1)证明：因为AB∥CD，∠BCD＝90°，所以AB⊥BC，
又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面PAB．
又AQ 平面PAB，所以BC⊥AQ．
因为Q为PB的中点，且△PAB为等边三角形，所以PB⊥AQ．
又PB∩BC＝B，所以AQ⊥平面PBC．
(2)法一：取AB的中点O，连接PO，OD，因为△PAB为等边三角形，所以PO⊥AB．
因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OD．
由AB＝2BC＝2CD＝4，AB∥CD，得OB＝CD，且OB∥CD，所以四边形OBCD为平行四边形，可得OD∥BC，又∠ABC＝90°，所以OD⊥AB．
以AB的中点O为坐标原点，OA，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(2，0，0)，D(0，2，0)，C(－2，2，0)，P(0，0，2)，B(－2，0，0)，则＝(0，－2，2)，＝(2，0，0)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
取z＝1，则平面PCD的一个法向量为n＝(0，，1)．
由(1)知，为平面PBC的一个法向量，
因为Q为PB的中点，则Q(－1，0，)，
所以＝(3，0，－)．
又·n＝－，＝2＝2，
所以cos 〈，n〉＝＝＝－．
故平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为．
法二：建系同方法一．
分别从B，D作PC的垂线段，垂足分别为E，F，如图所示，则〈〉即为二面角B-PC-D的平面角的大小．
设＝λ(2，－2，2)＝(2λ，－2λ，2λ)，则＝(0，2，0)＋(2λ，－2λ，2λ)＝(2λ，2－2λ，2λ)，由＝0，得2λ×2＋(2－2λ)×(－2)＋2λ×2＝0，解得λ＝，即＝．
同理可得＝，所以＝－，＝，＝．
所以cos 〈〉＝＝＝－，
故平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为．
法三：如图，取AB的中点为O，连接PO，OD，因为△PAB为等边三角形，所以PO⊥AB．
因为平面PAB⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OD．
在Rt△POD中，PO＝2，OD＝2，所以PD＝4．所以PB＝PD，又BC＝DC，PC＝PC，
所以△PBC≌△PDC．
在Rt△PBC中，过点B作BE⊥PC，垂足为E，连接DE，则DE⊥PC，所以∠BED就是二面角B-PC-D的平面角．
在Rt△PBC中，PB＝4，BC＝2，所以PC＝＝2，所以BE＝＝，所以DE＝BE＝．
连接BD，则BD＝2，在△BED中，cos ∠BED＝＝－，所以平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为．
【链接·教材例题】
例9　图1.4-23为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°．已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)．
[分析]　因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小．8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量．
[解]　如图1.4-24，设水平面的单位法向量为n，其中一根绳子的拉力为F．因为〈n，F〉＝30°，所以F在n上的投影向量为n．所以8根绳子拉力的合力
F合＝8×n＝4n．
又因为降落伞匀速下落，所以
|F合|＝|G礼物|＝1×9.8＝9.8(N)．
所以＝9.8．
所以|F|＝≈1.41(N)．
【链接·教材例题】
例10　如图1.4-25，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
(1)求证：PA∥平面EDB；
(2)求证：PB⊥平面EFD；
(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．
[分析]　本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角．这些问题都可以利用向量方法解决．由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题．
[解]　以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-26所示的空间直角坐标系，设DC＝1．
(1)证明：连接AC，交BD于点G，连接EG．
依题意得A(1，0，0)，P(0，0，1)，E．
因为底面ABCD是正方形，所以点G是它的中心，故点G的坐标为，且＝(1，0，－1)，＝．
所以，即PA∥EG．
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，因此PA∥平面EDB．
(2)证明：依题意得
B(1，1，0)，＝(1，1，－1)．
又＝，故＝0＋－＝0．
所以PB⊥DE．
由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD．
(3)解：已知PB⊥EF，由(2)可知PB⊥DF，故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角．
设点F的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)．
因为，所以
(x，y，z－1)＝k(1，1，－1)＝(k，k，－k)，即x＝k，y＝k，z＝1－k．
由(2)可知＝0，则(1，1，－1)·(k，k，1－k)＝k＋k－1＋k＝3k－1＝0．
所以k＝，点F的坐标为．
又点E的坐标为，所以＝．
所以cos ∠EFD＝＝＝．
所以∠EFD＝60°，即平面CPB与平面PBD的夹角大小为60°．
1．已知空间两异面直线所成的角的取值集合为A，直线与平面所成角的取值集合为B，则(　　)
A．A＝B　　B．A B　　C．B A　　D．A∩B＝
B　[两异面直线所成的角的取值集合为A＝，
而直线与平面所成角的取值集合为B＝，则ACD错误，B正确．
故选B．]
2．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2所成角的余弦值等于(　　)
A．－ B． C．－ D．
B　[异面直线 l1，l2 的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，
则a·b＝0×2＋(－2)×0＋(－1)×4＝－4，|a|＝＝2，
则cos 〈a，b〉＝＝＝－，则异面直线l1与l2所成角的余弦值等于．故选B．]
3．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，平面PCD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ满足(　　)
A．θ＝ B．cos θ＝
C．tan θ＝ D．sin θ＝
C　[因为四边形ABCD为正方形，所以DC⊥DA，
因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，CD 底面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，又因为PD 平面PAD，所以CD⊥PD，同理可得AD⊥PD，
所以DA，DC，DP两两垂直，以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，G，所以＝，
易知平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
则sin θ＝＝＝，
所以cos θ＝＝，tan θ＝．
故选C．]
4．如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0，0，2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝________．
　[cos θ＝＝＝．]
1．知识链：(1)用向量求两条异面直线所成的角．
(2)用向量求直线与平面所成的角．
(3)用向量求两个平面的夹角．
2．方法链：向量法、化归转化．
3．警示牌：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念、把握空间角的范围．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用向量语言表述两条异面直线所成的角．
[提示]　若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝．
2．用向量语言表述直线和平面所成的角．
[提示]　设直线l和平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝．
3．用向量语言表述平面和平面的夹角．
[提示]　设平面α与平面β的夹角为θ，其法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝．
4．试总结用坐标法求两平面的夹角的步骤．
[提示]　(1)建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标；
(2)求出两个平面的法向量；
(3)求出两个法向量的夹角；
(4)两个法向量的夹角或其补角就是两平面的夹角．
课时分层作业(十一)　用空间向量研究夹角问题
一、选择题
1．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，D，E分别为SO，SB的中点，OC⊥AB，SO＝AB＝4，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为(　　)
A．　　B．　　C． 　　D．
C　[以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于D，E分别为SO，SB的中点，OC⊥AB，SO＝AB＝4，
则C(2，0，0)，A(0，2，0)，D(0，0，2)，E(0，－1，2)，
＝(0，－2，2)，＝(－2，－1，2)，
cos 〈〉＝＝＝．
故选C．]
2．我们称：两个相交平面构成四个二面角，其中不大于90°的二面角称为这两个相交平面的夹角；由正方体的四个顶点所确定的平面统称为该正方体的“表截面”．则在正方体中，两个不重合的“表截面”的夹角大小不可能为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
A　[若“表截面”为平面ABC1D1与平面ABCD，则它们的夹角为45°，即B正确；若“表截面”为平面ABC1D1与平面BDD1B1，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，A (1，0，0)，C(0，1，0)，
因为四边形ADD1A1为正方形，所以A1D⊥AD1，因为AB⊥平面ADD1A1，且A1D 平面ADD1A1，所以AB⊥A1D，又AD1∩AB＝A，AD1，AB 平面ABC1D1，
所以A1D⊥平面ABC1D1，即平面ABC1D1的一个法向量为＝(1，0，1)，
同理可证，AC⊥平面BDD1B1，所以平面BDD1B1的一个法向量为＝(－1，1，0)，
设平面ABC1D1与平面BDD1B1所成角为θ，则cos θ＝＝，所以θ＝60°，即C正确；
若“表截面”为平面ABB1A1与平面ABCD，则它们的夹角为90°，即D正确．
从排除法的角度来看，选项A不可能．故选A．]
3．如图，在正方体ABEF-DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为(　　)
A．－　　　　B．　　　　C．－ 　　　　D．
B　[设正方体棱长为1，以BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建系如图，
则根据题意可知M，N，A(1，0，0)，B(0，0，0)．
法一：取MN的中点G，连接BG，AG，则G．
因为△AMN，△BMN为等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB为两平面夹角或其补角．又因为＝＝，
所以cos 〈〉＝＝＝－，
设平面MNA与平面MNB的夹角为θ，
则cos θ＝＝．
故所求两平面夹角的余弦值为．
法二：设平面AMN的法向量n1＝(x，y，z)，由于＝＝，则取n1＝(1，1，1)，
同理可求得平面BMN的一个法向量n2＝(1，－1，－1)．
所以cos 〈n1，n2〉＝＝＝－，
设平面MNA与平面MNB的夹角为θ，
则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝．
故所求两平面夹角的余弦值为．
故选B．]
4．(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则(　　)
A．直线AB1与CD1所成的角为90°
B．直线AD1与CA1所成的角为90°
C．直线AD1与平面BB1D1D所成的角为45°
D．直线AD1与平面ABCD所成的角为45°
ABD　[如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，B(1，1，0)，
对于A：＝(0，1，1)，＝(0，－1，1)，所以＝0，即⊥，
所以直线AB1与CD1所成的角为90°，故A正确；
对于B：＝(－1，0，1)，＝(1，－1，1)，所以＝0，即⊥，所以直线AD1与CA1所成的角为90°，故B正确；
对于C：因为＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，设平面BB1D1D的法向量为n＝(x，y，z)，则
可取n＝(1，－1，0)，
设直线AD1与平面BB1D1D所成的角为θ，则sin θ＝，又θ∈，所以θ＝，即直线AD1与平面BB1D1D所成的角为，故C错误；
对于D：因为D1D⊥平面ABCD，则直线AD1与平面ABCD所成的角为∠D1AD，
在正方体ABCD A1B1C1D1中，∠D1AD＝45°，则直线AD1与平面ABCD所成的角为45°，故D正确．故选ABD．]
5．(多选)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AC＝AB＝2，AB⊥AC，点D，E分别是线段BC，B1C上的动点(不含端点)，且＝．则下列说法正确的是(　　)
A．ED∥平面ACC1
B．点C1到直线B1C的距离为1
C．异面直线B1C与AA1所成角的正切值为
D．平面AEC与平面ECD的夹角的余弦值为
AD　[在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，
因为＝，所以ED∥BB1∥AA1，ED不在平面ACC1内，AA1 平面ACC1，
所以ED∥平面ACC1，A项正确；
在Rt△A1B1C1中，A1B1＝3，A1C1＝2，∴B1C1＝＝，
在Rt△B1C1C中，B1C＝＝，
设斜边B1C的高为h，则B1C·h＝B1C1·C1C，
∴h＝＝．
∴点C1到直线B1C的距离为，故B错误；
因为AA1∥BB1，所以异面直线B1C与AA1所成角为∠BB1C．在Rt△B1BC中，BB1＝2，BC＝，所以tan ∠BB1C＝＝，所以C项错误；
以A为坐标原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，
则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，2，0)，B1(3，0，2)，
∴＝(3，0，2)，＝(－3，2，0)，＝(－3，2，－2)，
设平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，
则
令x＝2，可得n＝(2，0，－3)，
设平面BB1C的法向量为m＝(a，b，c)，
则
令a＝2，可得m＝(2，3，0)，
故cos m，n〉＝，所以D项正确．故选AD．]
二、填空题
6．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝2AC＝2BC，则直线AB1与直线BC1所成角的余弦值为________．
　[以C为原点，分别以CA，CC1，CB所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设CC1＝2AC＝2BC＝2，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，1)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，
可得＝(－1，2，1)，＝(0，2，－1)，
故＝4－1＝3，＝＝，
所以cos ＝，
所以直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为．]
7．在空间直角坐标系中，已知A(a2，2a，6)，B(0，0，1)，C(1，1，2)，D(－1，0，3)，E(a2，0，5)，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平面BCD所成角的正弦值为________．
　[＝(a2＋1，2a，3)，＝(1，1，1)，＝(－1，0，2)．
设n＝(x，y，z)是平面BCD的法向量，
则即令x＝2，得n＝(2，－3，1)．
所以点A到平面BCD的距离d＝＝＝．
当a＝时，d取得最小值，此时，＝(0，－3，－1)，
所以直线AE与平面BCD所成角的正弦值为＝＝．]
8．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB，AC，AA1两两垂直，AB＝AC＝AA1＝1，M，N分别是侧棱BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成的(锐)二面角为，则当CN最小时，∠AMB＝________．
　[建立空间直角坐标系，如图所示．设CN＝b(0≤b≤1)，BM＝a(0≤a≤1)，则M(1，0，a)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，N(0，1，b)，所以＝(1，0，a)，＝(0，1，b)，
设平面AMN的法向量为n＝(x，y，z)，则即
令z＝1，则n＝(－a，－b，1)，又平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，
所以cos ＝＝＝，即3a2＋3b2＝1，
当CN最小时，b＝0，BM＝a＝，所以tan ∠AMB＝＝，所以∠AMB＝．]
三、解答题
9．(2023·新高考Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．
(1)证明：B2C2∥A2D2；
(2)点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150°时，求B2P．
[解]　(1)证明：以点C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B2(0，2，2)，C2(0，0，3)，A2(2，2，1)，D2(2，0，2)，
所以＝(0，－2，1)，＝(0，－2，1)，
所以，所以B2C2∥A2D2．
(2)设BP＝n(0≤n≤4)，则P(0，2，n)，所以＝(2，0，1－n)，＝(0，－2，3－n)，
设平面PA2C2的法向量为a＝(x1，y1，z1)，
所以
则
令x1＝n－1，得a＝(n－1，3－n，2)．
设平面A2C2D2的法向量为b＝(x2，y2，z2)，
又＝(－2，－2，2)，＝(0，－2，1)，
所以
则
令y2＝1，得b＝(1，1，2)．
所以|cos 150°|＝|cos a，b〉|＝，
整理得n2－4n＋3＝0，解得n＝1或n＝3，
所以BP＝1或BP＝3，
所以B2P＝1．
10．阅读材料：空间直角坐标系Oxyz中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0；过点P(x0，y0，z0)且一个方向向量为d＝(u，v，w)(uvw≠0)的直线l的方程为＝＝．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为3x－5y＋z－7＝0，直线l是平面x－3y＋7＝0与4y＋2z＋1＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为(　　)
A．　 　B．　 　C．　 　D．
A　[因为平面α的方程为3x－5y＋z－7＝0，所以平面α的一个法向量为m＝(3，－5，1)，
∵直线l是平面x－3y＋7＝0与4y＋2z＋1＝0的交线，∴
即满足＝＝，
即直线l的方向向量为d1＝(3，1，－2)，
设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m，d1〉|＝＝．
故选A．]
11．古代城池中的瓮城，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如图的曲池是上、下底面均为半圆形的柱体．若AA1⊥底面ABCD，AA1＝3，AB＝4，CD＝2，E为弧A1B1的中点，则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为(　　)
A． B． C． D．
D　[因为AA1⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，则AA1⊥AB，
以点A为原点，AB所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，平面ABCD内垂直于AB的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0，0，0)，B(0，4，0)，C(0，3，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，3)，B1(0，4，3)，C1(0，3，3)，D1(0，1，3)，
又因为E为的中点，则E(2，2，3)，则＝(2，－2，0)，＝(0，－3，－3)，＝(2，－1，3)，
设平面DEB1的法向量n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则y＝1，z＝－1，则n＝(1，1，－1)，设直线CE与平面DEB1所成的角为θ，
则sin θ＝＝．
故选D．]
12．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝PA，则直线PC与面PBD所成角的正弦值为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
A　[因为PA⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直，设AB＝1，
AD＝AP＝2，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图，则B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，
所以＝(－1，2，0)，＝(－1，0，2)，＝(1，2，－2)．
设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，
所以解得令x＝2，则y＝1，z＝1，所以n＝(2，1，1)，
设直线PC与平面PBD所成的角为θ，
所以sin θ＝＝＝＝，
所以直线PC与面PBD所成角的正弦值为．故选A．]
13．如图，已知四边形ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F-DC-B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为________．
　[过点E，D分别作直线DC，AB的垂线EG，DH并分别交于点G，H．
因为四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB∥DC，CD∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，由平面几何知识易知，DG＝AH＝2，∠EFC＝∠DCF＝∠DCB＝∠ABC＝90°，则四边形EFCG和四边形DCBH是矩形，
所以在Rt△EGD和Rt△DHA中，EG＝DH＝2，因为DC⊥CF，DC⊥CB，且CF∩CB＝C，
所以DC⊥平面BCF，∠BCF是二面角F-DC-B的平面角，则∠BCF＝60°，
则△BCF是等边三角形，CB⊥FN．
因为DC⊥平面FCB，FN 平面FCB，所以DC⊥FN，又因为DC∩CB＝C，DC 平面ABCD，CB 平面ABCD，
所以FN⊥平面ABCD，过点N作AB的平行线NK，以N为原点，以NK，NB，NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则A(5，，0)，B(0，，0)，D(3，－，0)，E(1，0，3)，则M，
所以＝＝(－2，－2，0)，＝(－2，，3)．
设平面ADE的法向量为n＝(x，y，z)，由得
令x＝，则y＝－1，z＝，则n＝(，－1，)．
设直线BM与平面ADE所成的角为θ，
则sin θ＝＝＝＝＝．]
14．(2024·新高考Ⅱ卷)如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足．将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4．
(1)证明：EF⊥PD；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
[解]　(1)证明：由AB＝8，AD＝5，得AE＝2，AF＝4．
又∠BAD＝30°，在△AEF中，由余弦定理得
EF＝
＝＝2．
所以AE2＋EF2＝AF2，则AE⊥EF，即EF⊥AD，所以EF⊥PE，EF⊥DE，
又PE∩DE＝E，PE，DE 平面PDE，
所以EF⊥平面PDE，
又PD 平面PDE，故EF⊥PD．
(2)连接CE，由∠ADC＝90°，ED＝3，CD＝3，则CE2＝ED2＋CD2＝36，
在△PEC中，PC＝4，EC＝6，得EC2＋PE2＝PC2，
所以PE⊥EC，由(1)知PE⊥EF，
又EC∩EF＝E，EC，EF 平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD，又ED 平面ABCD，
所以PE⊥ED，则PE，EF，ED两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，
则E(0，0，0)，P()，D()，C()，F(2，0，0)，A()，由F是AB的中点，得B()，
所以＝()，＝()，＝()，＝()，
设平面PCD和平面PBF的法向量分别为n＝(x1，y1，z1)，m＝(x2，y2，z2)，
则
　
令y1＝2，x2＝，得x1＝0，z1＝3，y2＝－1，z2＝1，
所以n＝(0，2，3)为平面PCD的一个法向量，m＝()为平面PBF的一个法向量，
所以|cos 〈m，n〉|＝，设平面PCD和平面PBF所成角为θ，则sin θ＝，
即平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值为．
15．如图1，在平面图形ABCDE中，AE＝ED＝BD＝BC＝1，BC⊥BD，ED∥AB，∠EAB＝60°，沿BD将△BCD折起，使点C到F的位置，且BF⊥BE，，如图2．
(1)求证：平面GEBF⊥平面AEG；
(2)线段FG上是否存在点M，使得平面MAB与平面AEG夹角的余弦值为？若存在，求出GM的长；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)证明：∵，∴EG∥BF，且EG＝BF．
∵BF⊥BE，BF⊥BD，BE∩BD＝B，BE，BD 平面ABDE，
∴BF⊥平面ABDE，∴EG⊥平面ABDE，∵EB 平面ABDE，∴EG⊥EB．
∵AE＝ED＝DB＝1，ED∥AB，∴四边形ABDE是等腰梯形，
∵∠EAB＝60°，∴∠BDE＝∠AED＝120°，
∴∠DEB＝30°，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BE．
∵AE∩EG＝E，AE，EG 平面AEG，
∴BE⊥平面AEG，∵BE 平面GEBF，∴平面GEBF⊥平面AEG．
(2)由(1)知EG⊥BE，EG⊥EA，EA⊥BE，∴EA，EB，EG两两垂直．
以E为原点，分别以的方向为x 轴、y轴和z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
∵AE＝ED＝BD＝BF＝1，四边形GEBF是矩形，
∴FG＝BE＝，
则A(1，0，0)，B(0，，0)，G(0，0，1)．
假设线段FG上存在点M满足题意，
令GM＝λ(0≤λ≤)，则M(0，λ，1)，
可得＝(－1，λ，1)，＝(－1，，0)，
设平面MAB的法向量为m＝(x，y，z)，
则
取y＝1，可得x＝，z＝－λ，∴m＝(，1，－λ)，
由BE⊥平面AEG，则平面AEG的一个法向量为n＝(0，1，0)，
设平面MAB与平面AEG夹角为θ，
则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝，其中0≤λ≤，
∴＝，解得λ＝，即GM＝，
∴线段FG上存在点M，使得平面MAB与平面AEG夹角的余弦值为，且GM＝．
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