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课时分层作业(九)　空间中直线、平面的垂直
一、选择题
1．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，点E是棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F(0，y，z)满足方程(　　)
A．y－z＝0 B．2y－z－1＝0
C．2y－z－2＝0 D．z－1＝0
2．已知向量a＝(4，4，5)，b＝(－7，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1⊥l2，则下列几组解中可能正确的是(　　)
A．x＝1，y＝3 B．x＝4，y＝3
C．x＝2，y＝4 D．x＝0，y＝2
3．已知直线l经过点A(1，1，2)，B(0，1，0)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　)
A．l∥α B．l⊥α
C．l α D．l与α相交，但不垂直
4．(多选)已知平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝(－1，0，－2)，直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，直线m的方向向量为b＝(0，1，－2)，则(　　)
A．l⊥α
B．α⊥β
C．l与m为相交直线或异面直线
D．a在b上的投影向量的坐标为
5．(多选)给出下列命题，其中是真命题的是(　　)
A．若直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量为b＝，则l与m垂直
B．若直线l的方向向量为a＝(0，1，－1)，平面α的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，则l⊥α
C．若平面α，β的一个法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α⊥β
D．若平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1
二、填空题
6．△ABC的三个顶点分别是A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD长为________．
7．已知空间直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的法向量n＝(2，3，3)．若l⊥α，则a＋b＝________．
8．已知A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P的坐标是(x，0，y)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是________．
三、解答题
9．如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．求证：EF⊥平面PAB．
10．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的比值为(　　)
A．1∶2　 B．1∶1　 C．3∶1　 D．2∶1
11．(多选)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM(　　)
A．和AC垂直
B．和AA1垂直
C．和MN垂直
D．与AC，MN都不垂直
12．如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是(　　)
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在DQ与平面A1BD垂直
13．如图，在四棱锥P ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB＝2，E是PB的中点，cos 〈〉＝．
(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点E的坐标是________；
(2)在底面ABCD内求一点F，使EF⊥平面PCB，则点F的坐标是________．
14．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，D为BC的中点．
(1)证明：A1B∥平面ADC1；
(2)证明：平面ADC1⊥平面BB1C1C．
15．(多选)在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
(1)过点P0(x0，y0，z0)，且以u＝(a，b，c)(abc≠0)为方向向量的空间直线l的方程为．
(2)过点P(x0，y0，z0)，且以v＝(m，n，t)(mnt≠0)为法向量的平面α的方程为m(x－x0)＋n(y－y0)＋t(z－z0)＝0．
现已知平面α：x＋2y＋3z＝6，l1：l2：x＝y＝2－z，l3：，则(　　)
A．l1∥α B．l2∥α
C．l3∥α D．l1⊥α
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第2课时　空间中直线、平面的平行
第一章 空间向量与立体几何
1.4　空间向量的应用
1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
[学习目标]　1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．(数学抽象)
2．能用向量方法判断或证明线线、线面、面面间的平行关系．(逻辑推理、数学运算)
整体感知
(教师用书)
牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝，在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道均有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？
[讨论交流]　问题1．空间直线、平面平行的向量条件是什么？
问题2．对比平面的两种向量表示式，能写出线面平行的两种向量条件吗？
问题3．用向量解决空间线面平行问题的一般步骤是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　直线与直线平行
探究问题1　由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？
探究建构
[提示]　平行．
[新知生成]
两直线平行的判定方法
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 _______ λ∈R，使得_________．
【教用·微提醒】　利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．
u1∥u2
u1＝λu2
[典例讲评]　1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2．求证：MN∥AP．
[证明]　法一：由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直，如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，N，M，所以＝(－1，0，1)，＝，所以＝，又M AP，故MN∥AP．
法二：由题意可得，＝＋＝＋×＝＋＋＝＋＝＝，又M AP，所以MN∥AP．
反思领悟　向量法证明线线平行的两种思路
[学以致用]　1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1．求证：EF∥AC1．
[证明]　如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则A(a，0，0)，C1(0，b，c)，
E，F，
所以＝， ＝(－a，b，c)，
所以＝ ，
因为FE与AC1不共线，所以EF∥AC1．
探究2　直线与平面平行
探究问题2　观察下图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？
[提示]　垂直．
[新知生成]
直线和平面平行的判定方法
设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α ______
__________．
u⊥n
u·n＝0
【教用·微提醒】　(1)证明线面平行的关键是看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直．
(2)特别强调直线在平面外．
【链接·教材例题】
例3　如图1.4-12，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2．线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1
[分析]　根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量，，以及平面ACD1的法向量n等都可以用坐标表示．如果点P存在，那么就有n·＝0，由此通过向量的坐标运算可得结果．
[解]　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-12所示的空间直角坐标系．因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)，
所以＝(－3，4，0)，＝(－3，0，2)．
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则n＝0，n·＝0，即 所以
取z＝6，则x＝4，y＝3．所以，n＝(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量．
由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得＝(0，4，0)，＝(－3，0，2)．设点P满足＝λ(0≤λ≤1)，则＝(－3λ，0，－2λ)，所以＝＋＝(－3λ，4，－2λ)．
令n·＝0，得－12λ＋12－12λ＝0，解得λ＝，此时A1P 平面ACD1，这样的点P存在．所以，当＝，即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1．
[典例讲评]　2．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB．
[证明]　如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a．
连接AC，交BD于点G，连接EG，
依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，
E，B(a，a，0)．
法一：设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
又＝＝，
则有即即
令z＝1，则
所以n＝(1，－1，1)，又＝(a，0，－a)，
所以n＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0．
所以n⊥．又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB．
法二：因为四边形ABCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，
所以＝．
又＝(a，0，－a)，
所以，则PA∥EG．
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB．
法三：假设存在实数λ，μ使得，
即(a，0，－a)＝λ＋μ，
则有解得
所以，又PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB．
反思领悟　利用空间向量证明线面平行的三种方法
(1)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
(3)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示．
[学以致用]　2．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1．
[证明]　如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为a(a＞0)，侧棱长为b(b＞0)，则A(0，0，0)，B，B1，C1(0，a，b)，D，
所以＝＝，
＝．
设平面DBC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
所以
不妨令y＝2b，则n＝(0，2b，－a)．
由于·n＝ab－ab＝0，因此⊥n．
又AB1 平面DBC1，所以AB1∥平面DBC1．
探究3　平面与平面平行
探究问题3　如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？
[提示]　平行．
[新知生成]
平面和平面平行的判定方法
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β _________ λ∈R，使得____________．
【教用·微提醒】　证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．
n1∥n2
n1＝λn2
【链接·教材例题】
例2　证明“平面与平面平行的判定定理”：若一
个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这
两个平面平行．
已知：如图1.4-11，a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α．
求证：α∥β．
[分析]　设平面α的法向量为n，直线a，b的方向向量分别为u，v，则由已知条件可得n·u＝n·v＝0，由此可以证明n与平面β内的任意一个向量垂直，即n也是β的法向量．
证明　如图1.4-11，取平面α的法向量n，直线a，b的方向向量u，v．
因为a∥α，b∥α，所以n·u＝0，n·v＝0．
因为a β，b β，a∩b＝P，
所以对任意点Q∈β，存在x，y∈R，使得＝xu＋yv．
从而n＝n·(xu＋yv)＝xn·u＋yn·v＝0．
所以，向量n也是平面β的法向量．故α∥β．
[典例讲评]　3．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC．
[证明]　由题意知AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
所以＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－2)，设n1＝(x1，y1，z1)是平面GEF的法向量，
则n1⊥，n1⊥，即
得令z1＝1，则x1＝1，y1＝0，所以n1＝(1，0，1)为平面GEF的一个法向量．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量，由n2⊥，n2⊥，
得即即
令z2＝1，得x2＝1，y2＝0，
所以n2＝(1，0，1)为平面PBC的一个法向量．
因为n1＝n2，所以平面EFG∥平面PBC．
反思领悟　证明面面平行问题的方法
(1)转化为相应的线线平行或线面平行．
(2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．
[学以致用]　3．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点，
求证：平面BMN∥平面PCD．
[证明]　连接BD，PM，因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以BM⊥AD，
又PA＝PD，M为AD的中点，所以PM⊥AD，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥平面ABCD，
所以以M为原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设PA＝PD＝2a，CD＝b，
则B(2a，0，0)，C(b，2a，0)，D(0，2a，0)，P(0，0，2a)，M(0，0，0)，N(0，－a，a)，
所以＝(0，－a，a)，＝(2a，0，0)，
＝(b，2a，－2a)，＝(0，2a，－2a)，
设n1＝(x1，y1，z1)是平面BMN的法向量，
n2＝(x2，y2，z2)是平面PCD的法向量，
则由＝0，
得令y1＝1，则x1＝0，z1＝1，
所以n1＝(0，1，1)是平面BMN的一个法向量．
同理，由＝0，
得
令y2＝1，可得x2＝0，z2＝1，
所以n2＝(0，1，1)是平面PCD的一个法向量．
因为n1＝n2，所以平面BMN∥平面PCD．
【教用·备选题】　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO
[解]　如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，则O，
P，A(1，0，0)，B(1，1，0)，
D1(0，0，1)，
设Q(0，1，z)，则＝， ＝(－1，－1，1)，
则＝2，所以∥，所以OP∥BD1．
又＝＝(－1，0，z)，
当z＝时，，即AP∥BQ．
又AP∩OP＝P，BQ∩BD1＝B，AP，OP 平面PAO，BQ，BD1 平面D1BQ，
则有平面PAO∥平面D1BQ．
所以当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．
1．若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是(　　)
A．m＝(3，－1，0)，n＝(－1，0，2)
B．m＝(－2，1，4)，n＝(2，0，1)
C．m＝(2，9，7)，n＝(－2，0，－1)
D．m＝(1，－2，3)，n＝(0，3，1)
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
B　[根据题意，直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，要使l∥α，则m·n＝0，
由此分析选项，对于A，m·n＝－3≠0，不符合题意；
对于B，m·n＝－4＋4＝0，符合题意；对于C，m·n＝－11≠0，不符合题意；
对于D，m·n＝－3≠0，不符合题意．
故选B．]
2
4
3
题号
1
应用迁移
2
3
题号
1
4
√
2．已知向量a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)，且向量a，b分别为直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　)
A．m＝8，n＝28 B．m＝4，n＝28
C．m＝8，n＝ D．m＝4，n＝
C　[因为l1∥l2，且a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)分别为l1，l2的方向向量，所以＝＝，解得m＝8，n＝．故选C．]
3．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为，则m＝________．
2
3
题号
4
1
－8　[∵l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为，
∴向量(2，m，1)与平面α的法向量垂直，
则(2，m，1)＝2＋m＋2＝0，解得m＝－8．]
－8
4．已知平面α与平面ABC是不重合的两个平面，若平面α的一个法向量为m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，则平面α与平面ABC的位置关系是________．
2
4
3
题号
1
平行　[根据题意，平面α的一个法向量为m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，则有m＝2×2－4＝0，则m⊥，同理m＝2－6＋4＝0，
则m⊥，故m也是平面ABC的法向量，必有平面α∥平面ABC．]
平行
1．知识链：(1)利用向量证明直线和直线平行．
(2)利用向量证明直线和平面平行．
(3)利用向量证明平面和平面平行．
2．方法链：坐标法、转化化归．
3．警示牌：利用向量证明直线和平面平行，不要忽略直线不在平面内的条件．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两直线平行的向量表达式是什么？
[提示]　设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R，使得μ1＝λμ2．
2．直线和平面平行的向量表达式是什么？
[提示]　设μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，且l α，则l∥α μ⊥n μ·n＝0．
3．平面和平面平行的向量表达式是什么？
[提示]　设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1∥n2
λ∈R，使得n1＝λn2．
4．证明线面平行有哪些方法？
[提示]　(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；
(2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面且直线不在平面内；
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
课时分层作业(八)
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空间中直线、平面的平行
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS1.4　空间向量的应用
1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示
[学习目标]　1．能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．(数学抽象)
2．会求一个平面的法向量．(数学运算、逻辑推理)
[讨论交流]　
问题1．空间点的位置向量、直线的方向向量、平面的法向量是如何定义的？
问题2．空间一条直线的方向向量唯一吗？它们有什么共同特征？
问题3．空间直线和平面的向量表示式分别是什么？其依据是什么？
问题4．求一个平面的法向量的一般步骤是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　空间中点的向量和直线的向量表示
探究问题1　在空间中，如何确定一条直线？
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[新知生成]
1．点的位置向量
在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量．
2．空间直线的向量表示式
设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点，
(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝________．
(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＋ta，即＝________．
(3)性质：空间任意直线都可以由直线上一点及直线的________唯一确定．
[典例讲评]　1．(源自湘教版教材)如图所示，已知长方体ABCD A′B′C′D′的棱长AB＝2，AD＝4，AA′＝3．以点D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：
(1)AA′；(2)BD′．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　求直线的方向向量的两种方法
(1)在直线l上确定两点A，B，则就是直线l的方向向量．
(2)在与直线l平行的直线m上确定两点A1，B1，则就是直线l的方向向量．
[学以致用]　1．已知点A(1，2，－1)，B(2，0，1)是直线l上的两点．
(1)求直线l的一个方向向量；
(2)判断点M(3，3，1)是否在直线l上．
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探究2　空间中平面的向量表示
探究问题2　向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是什么？
探究问题3　如何用向量表示点P在平面ABC内的充要条件？
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[新知生成]
1．如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得________．
2．如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝________．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．空间中任意平面由空间一点及两个________向量唯一确定．
3．如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的________．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P·＝0}．
[典例讲评]　2．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[母题探究]　本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．
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　如何确定平面的法向量？
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[学以致用]　2．已知点A(1，2，3)，B(1，1，0)，C(0，1，1)，则下列向量是平面ABC的一个法向量的是(　　)
A．(－1，3，－1)　　　　 B．(－1，－3，－1)
C．(1，3，1) D．(－1，3，1)
3．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2．以A为原点，建立空间直角坐标系．
(1)求平面BCC1B1的法向量；
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
(2)求平面A1BC的法向量．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．若A(0，1，2)，B(2，5，8)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(3，2，1) B．(1，3，2)
C．(2，1，3) D．(1，2，3)
2．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α法向量的是(　　)
A．(0，－3，1) B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
3．设直线l的方向向量为m＝(2，－1，z)，平面α的一个法向量为n＝(4，－2，－2)，若直线l∥平面α，则实数z的值为(　　)
A．－5 B．5 C．－1 D．1
4．已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是平面α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________．
1．知识链：(1)空间中点和直线的向量表示．
(2)空间中平面的向量表示．
(3)平面法向量的求法．
2．方法链：待定系数法、赋值法．
3．警示牌：直线的方向向量和平面的法向量都不能是零向量且不唯一，这无数个方向向量或法向量都分别是共线向量．用代数法求平面的法向量时，设定的某个分坐标一定不能是0．
6/6课时分层作业(七)　空间中点、直线和平面的向量表示
一、选择题
1．设空间四点O，A，B，P满足其中m＋n＝1，则(　　)
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P不一定在直线AB上
D．以上都不对
2．若点A(－1，0，2)，B(1，4，10)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(1，2，4) B．(1，4，2)
C．(0，2，－1) D．(0，4，12)
3．已知A(3，2，0)，B(0，4，0)，C(3，0，2)，则平面ABC的一个法向量是(　　)
A．(1，1，1) B．(2，2，3)
C．(2，3，3) D．
4．已知直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，a，3)和B(－1，2，b)两点，则a＋b＝(　　)
A．0　　　B．1　　　C．　　　D．3
5．(多选)已知平面α内有一点M(1，－1，1)，平面α的一个法向量为n＝(4，－1，0)，则下列点中不在平面α内的是(　　)
A．A(2，3，2) B．B(－2，0，1)
C．C(－4，4，0) D．D(3，－3，4)
二、填空题
6．已知直线l的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝________，y＝________．
7．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中：
(1)直线AB的方向向量有________个；
(2)平面AA1B1B的法向量有________个．
8．已知A(1，2，3)，B(－2，2，1)在直线l上，写出直线l的一个方向向量：u＝________．(用坐标表示)
三、解答题
9．已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，－2)．
(1)写出直线BC的一个方向向量；
(2)设平面α经过点A，且是平面α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
10．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的一个法向量的是(　　)
A．(1，－2，4) B．(－4，1，－2)
C．(2，－2，1) D．(1，2，－2)
11．已知空间三点坐标分别为A(1，1，1)，B(0，3，0)，C(－2，－1，4)，点P(－3，x，3)在平面ABC内，则实数x的值为(　　)
A．1　　　B．－2　　　C．0　　　D．－1
12．在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m＝(A，B，C)的平面方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0．若平面α的方程为x＋2y＋z－1＝0，则平面α的一个法向量为________．
13．已知直线l的方向向量为e＝(－1，1，2)，平面α的一个法向量为n＝(λ∈R)，若l⊥α，则实数λ的值为________．
14．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点E在棱AB上移动．
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)求平面ACD1的法向量．
15．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．
(1)求证：是平面ABCD的一个法向量；
(2)求平行四边形ABCD的面积．
4/4(共44张PPT)
第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示
第一章 空间向量与立体几何
1.4　空间向量的应用
1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
[学习目标]　1．能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．(数学抽象)
2．会求一个平面的法向量．(数学运算、逻辑推理)
整体感知
(教师用书)
立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，为了用空间向量解决几何问题，首先必须把点、直线、平面用向量表示出来．
那么，如何利用向量刻画直线与平面的方向与位置？
[讨论交流]　
问题1．空间点的位置向量、直线的方向向量、平面的法向量是如何定义的？
问题2．空间一条直线的方向向量唯一吗？它们有什么共同特征？
问题3．空间直线和平面的向量表示式分别是什么？其依据是什么？
问题4．求一个平面的法向量的一般步骤是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　空间中点的向量和直线的向量表示
探究问题1　在空间中，如何确定一条直线？
探究建构
[提示]　两点可以确定一条直线；直线上的一点及这条直线的方向也可以确定一条直线．
[新知生成]
1．点的位置向量
在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量．
2．空间直线的向量表示式
设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点，
(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝______．
(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＋ta，即＝_________．
(3)性质：空间任意直线都可以由直线上一点及直线的________唯一确定．
t
方向向量
【教用·微提醒】　(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
[典例讲评]　1．(源自湘教版教材)如图所示，已知长方体ABCD-A′B′C′D′的棱长AB＝2，AD＝4，AA′＝3．以点D为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：
(1)AA′；(2)BD′．
[解]　由已知可得，长方体顶点A，B，A′，D′的坐标分别为A(4，0，0)，B(4，2，0)，A′(4，0，3)，D′(0，0，3)．
(1)因为向量＝(0，0，3)，所以直线AA′的一个方向向量为(0，0，3)．(答案不唯一)
(2)因为向量＝(－4，－2，3)，所以直线BD′的一个方向向量为(－4，－2，3)．(答案不唯一)
反思领悟　求直线的方向向量的两种方法
(1)在直线l上确定两点A，B，则就是直线l的方向向量．
(2)在与直线l平行的直线m上确定两点A1，B1，则就是直线l的方向向量．
[学以致用]　1．已知点A(1，2，－1)，B(2，0，1)是直线l上的两点．
(1)求直线l的一个方向向量；
(2)判断点M(3，3，1)是否在直线l上．
[解]　(1)直线l的一个方向向量为＝(1，－2，2)．(答案不唯一)
(2)＝(2，1，2)．设，即(2，1，2)＝λ(1，－2，2)，所以这样的λ不存在，即向量不共线．
故点M不在直线l上．
探究2　空间中平面的向量表示
探究问题2　向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是什么？
[提示]　存在有序实数对(x，y)，使得．
[提示]　存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb．
探究问题3　如何用向量表示点P在平面ABC内的充要条件？
[新知生成]
1．如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得_______________．
＝xa＋yb
2．如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝________________．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．空间中任意平面由空间一点及两个______向量唯一确定．
不共线
3．如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的______．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P·＝0}．
法向量
【教用·微提醒】　(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无数多个，它们相互平行．
【链接·教材例题】
例1　如图1.4-7，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求平面BCC1B1的法向量；
(2)求平面MCA1的法向量．
[分析]　(1)平面BCC1B1与y轴垂直，其法向量可以直接写出；(2)平面MCA1可以看成由，，中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量．
[解]　(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1＝(0，1，0)是平面BCC1B1的一个法向量．
(2)因为AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点，所以M，C，A1的坐标分别为(3，2，0)，(0，4，0)，(3，0，2)．
因此＝(－3，2，0)，＝(0，－2，2)．
设n2＝(x，y，z)是平面MCA1的法向量，则n2⊥，n2⊥．
所以所以
取z＝3，则x＝2，y＝3．于是n2＝(2，3，3)是平面MCA1的一个法向量．
[典例讲评]　2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
[解]　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，P(0，0，1)，D(0，，0)，
E，C(1，，0)，
于是＝＝(1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
所以
令y＝－1，则x＝z＝．
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．(答案不唯一)
[母题探究]　本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．
[解]　以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，，0)，所以＝(1，，－1)即为直线PC的一个方向向量．
因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
所以令y＝1，则z＝．
所以平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，)．(答案不唯一)
发现规律　如何确定平面的法向量？
[提示]　按如下步骤求平面的法向量：
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量．
(3)列方程组：由列出方程组．
(4)解方程组：
(5)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)．
(6)得结论：得到平面的一个法向量．
[学以致用]　2．已知点A(1，2，3)，B(1，1，0)，C(0，1，1)，则下列向量是平面ABC的一个法向量的是(　　)
A．(－1，3，－1)　　　　 B．(－1，－3，－1)
C．(1，3，1) D．(－1，3，1)
√
A　[由题意知：＝(0，－1，－3)，＝(－1，－1，－2)，
对于A，∵(－1，3，－1)·(0，－1，－3)＝0－3＋3＝0，(－1，3，－1)·(－1，－1，－2)＝1－3＋2＝0，∴(－1，3，－1)与均垂直，∴(－1，3，－1)是平面ABC的一个法向量，A正确；
对于B，∵(－1，－3，－1)·(－1，－1，－2)＝1＋3＋2＝6，
∴(－1，－3，－1)与不垂直，
∴(－1，－3，－1)不是平面ABC的一个法向量，B错误；
对于C，∵(1，3，1)·(0，－1，－3)＝0－3－3＝－6，∴(1，3，1)与不垂直，
∴(1，3，1)不是平面ABC的一个法向量，C错误；
对于D，∵(－1，3，1)·(0，－1，－3)＝0－3－3＝－6，∴(－1，3，1)与不垂直，∴(－1，3，1)不是平面ABC的一个法向量，D错误．故选A．]
3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2．以A为原点，建立空间直角坐标系．
(1)求平面BCC1B1的法向量；
(2)求平面A1BC的法向量．
[解]　(1)由已知得B(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，0，2)，A1(0，0，2)，
故＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)．
设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则n＝(1，1，0)，
所以平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，1，0)．(答案不唯一)
(2)设平面A1BC的法向量为m＝(a，b，c)．
因为＝(1，0，－2)，＝(－1，1，0)，
则令a＝1，则m＝，
所以平面A1BC的一个法向量为m＝．(答案不唯一)
【教用·备选题】　已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，并求出平面SAB、平面SDC的一个法向量．
[解]　由已知得SA，AB，AD两两垂直，
∴以A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)．
∵SA＝AB＝BC＝1，AD＝，
∴S(0，0，1)，A(0，0，0)，C(1，1，0)，D，
∴＝＝(1，1，－1)，＝．
易知平面SAB的一个法向量为＝．
设平面SDC的法向量为m＝(x，y，z)，
则取z＝1，则x＝2，y＝－1，
∴平面SDC的一个法向量为m＝(2，－1，1)．(答案不唯一)
1．若A(0，1，2)，B(2，5，8)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(3，2，1) B．(1，3，2)
C．(2，1，3) D．(1，2，3)
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
D　[＝(2，5，8)－(0，1，2)＝(2，4，6)，
因为(2，4，6)＝2(1，2，3)．故选D．]
2
3
题号
1
4
√
2．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α法向量的是(　　)
A．(0，－3，1) B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
D　[∵(－2，3，－1)＝－(2，－3，1)，∴向量(－2，3，－1)与平面α的一个法向量平行，它也是平面的一个法向量．故选D．]
3．设直线l的方向向量为m＝(2，－1，z)，平面α的一个法向量为n＝(4，－2，－2)，若直线l∥平面α，则实数z的值为(　　)
A．－5 B．5 C．－1 D．1
2
3
题号
4
1
√
B　[若直线l∥平面α，则m·n＝0，故8＋2－2z＝0，解得z＝5．故选B．]
4．已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是平面α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是______________．
2
4
3
题号
1
x＋2y－3z＝0　[由题意得e⊥，则e＝(x，y，z)·(1，2，－3)＝0，故x＋2y－3z＝0．]
x＋2y－3z＝0　
1．知识链：(1)空间中点和直线的向量表示．
(2)空间中平面的向量表示．
(3)平面法向量的求法．
2．方法链：待定系数法、赋值法．
3．警示牌：直线的方向向量和平面的法向量都不能是零向量且不唯一，这无数个方向向量或法向量都分别是共线向量．用代数法求平面的法向量时，设定的某个分坐标一定不能是0．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求直线l的方向向量？直线的方向向量唯一吗？
[提示]　在直线l或与直线l平行的直线上取两点A，B，则就是直线l的方向向量．直线的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．
2．平面的法向量有无数个，它们是什么关系？
[提示]　共线．
3．如何求一个平面的法向量？
[提示]　(1)设法向量n＝(x，y，z)；
(2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
(3)建立方程组
(4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．
课时分层作业(七)
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空间中点、直线和平面的向量表示
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS(共53张PPT)
第3课时　空间中直线、平面的垂直
第一章 空间向量与立体几何
1.4　空间向量的应用
1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
[学习目标]　1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．(数学抽象)
2．能用向量方法判断或证明线线、线面、面面间的垂直关系．(逻辑推理、数学运算)
整体感知
(教师用书)
我们知道，一个平面可用空间一点与该平面的法向量来确定．观察图片，图中旗杆所在的直线和地面垂直，那么如何用向量来表示二者的关系呢？
[讨论交流]　
问题1．空间直线、平面垂直的向量表示是什么？
问题2．用向量解决空间线面垂直问题的一般步骤是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　直线与直线垂直
探究问题1　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？
探究建构
[提示]　垂直．
[新知生成]
两直线垂直的判定方法
设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 _________
____________．
u1⊥u2
u1·u2＝0
【教用·微提醒】　(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直．
(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0．
[典例讲评]　1．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1．求证：AB1⊥MN．
[证明]　法一：设＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，(a＋b)，
∴＝(a＋c)·cos 60°＋0－0＋0＋＝0．∴⊥，∴AB1⊥MN．
法二：设AB的中点为O，作OO1∥AA1．
以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得A，B，
C，
∵M为BC的中点，∴M．
∴＝(1，0，1)，
∴＝0．∴⊥，∴AB1⊥MN．
反思领悟　向量法证明线线垂直的思路方法
用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b＝0即可，具体方法有以下两种：
(1)坐标法：用坐标表示出两条直线的方向向量，计算出两向量的数量积为0．
(2)基向量法：将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，计算出两向量的数量积为0．
[学以致用]　1．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PB与底面所成的角是30°，∠BAD＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝a，AB＝2a．若AE⊥PB于点E，求证：DE⊥PB．
[证明]　以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示．
因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB与底面ABCD所成的角，所以∠PBA＝30°，所以PA＝a．
所以A(0，0，0)，B(2a，0，0)，D(0，a，0)，P．
所以＝(0，a，0)，＝．
因为＝(0，a，0)＝0，
所以PB⊥AD．
又PB⊥AE，且AD∩AE＝A，所以PB⊥平面ADE．
因为DE 平面ADE，所以DE⊥PB．
探究2　直线与平面垂直
探究问题2　如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直平面α时，u，n之间有什么关系？
[提示]　平行(共线)．
[新知生成]
直线和平面垂直的判定方法
设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α ________
λ∈R，使得________．
【教用·微提醒】　证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可．
u∥n
u＝λn
【链接·教材例题】
例4　如图1.4-14，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1．
[分析]　根据条件，可以{，}为基底，并用基向量表示和平面BDD1B1，再通过向量运算证明是平面BDD1B1的法向量即可．
证明　设＝b，＝c，则{a，b，c}为空间的一个基底，且
＝a＋b－c，＝b－a，＝c．
因为AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，所以
a2＝b2＝c2＝1，a·b＝b·c＝c·a＝．
在平面BDD1B1上，取，为基向量，则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ，μ)，使得＋μ．
所以，＝λ＋μ·
＝λ(a＋b－c)·(b－a)＋μ(a＋b－c)·c＝0．
所以A1C是平面BDD1B1的法向量．所以A1C⊥平面BDD1B1．
[典例讲评]　2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．
[证明]　法一：设＝b，则
＝＝＝
＝(－a＋b＋c)．
因为＝a＋b，所以(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝＝0．
所以⊥，即EF⊥AB1．同理，EF⊥B1C．又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C 平面B1AC，所以EF⊥平面B1AC．
法二：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)．
所以＝(－1，－1，1)，＝(0，2，2)，＝(－2，2，0)．
所以＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，
＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝2－2＋0＝0，
所以⊥，⊥，所以EF⊥AB1，EF⊥AC．
又AB1∩AC＝A，AB1，AC 平面B1AC，
所以EF⊥平面B1AC．
法三：由法二得＝(0，2，2)，
＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1)．
设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)，则·n＝0，n＝0，
即
取x＝1，则y＝1，z＝－1，
所以n＝(1，1，－1)，所以＝－n，
所以∥n，所以EF⊥平面B1AC．
[母题探究]　若本例条件不变，求证：A1C⊥平面AD1B1．
[证明]　＝(0，2，2)，＝(2，2，0)，A1(2，0，2)，C(0，2，0)，所以＝(－2，2，－2)．
设平面AD1B1的法向量为m＝(x，y，z)，
则·m＝0，即
取x＝1，则y＝－1，z＝1，所以m＝(1，－1，1)．
所以＝－2m，所以∥m，所以A1C⊥平面AD1B1．
反思领悟　证明线面垂直的方法
(1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．
(2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．
(3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．
[学以致用]　2．如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
求证：AB1⊥平面A1BD．
[证明]　法一：如图所示，取BC的中点O，连接AO．
因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC．又BB1⊥平面ABC，
取B1C1的中点O1，则OO1∥BB1．以O为原点，以
的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1，A，B1(1，2，0)，
所以＝＝＝(－2，1，0)．
因为＝1×(－1)＋2×2＋＝1×(－2)＋2×1＋×0＝0，所以⊥⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD．
又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD．
法二：建系同法一．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，
即令x＝1，
得平面A1BD的一个法向量为n＝．
又＝，所以n＝，即∥n，所以AB1⊥平面A1BD．
探究3　平面与平面垂直
探究问题3　设n1，n2分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？
[提示]　垂直．
[新知生成]
平面和平面垂直的判定方法
设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β ______ _________．
n1⊥n2
n1·n2＝0
【教用·微提醒】　利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：
一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
【链接·教材例题】
例5　证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
已知：如图1.4-15，l⊥α，l β，求证：α⊥β．
证明　取直线l的方向向量u，平面β的法向量n．
因为l⊥α，所以u是平面α的法向量．
因为l β，而n是平面β的法向量，所以u⊥n．所以α⊥β．
[典例讲评]　3．(源自湘教版教材)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点．
求证：平面BEF⊥平面ABC．
[证明]　如图所示，以点B为原点，分别以的方向为y轴、z轴的正方向，并取相同的单位长度，建立空间直角坐标系．
设A(0，0，a)，则B(0，0，0)，C，D(0，a，0)，E，F．
于是＝(0，0，－a)，＝＝＝．
法一：(利用平面的法向量)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ABC的法向量，
则
取x1＝1，得y1＝－1，z1＝0，则n1＝(1，－1，0)是平面ABC的一个法向量．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面BEF的法向量，
则
取x2＝1，得y2＝1，z2＝－，则n2＝(1，1，－)是平面BEF的一个法向量．
因为n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－)＝0，
所以平面BEF⊥平面ABC．
法二：(利用线面垂直)∵＝，
∴＝0，
∴EF⊥AB，EF⊥BC，
又AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，又EF 平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC．
反思领悟　证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理将问题转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．
[学以致用]　3．如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．求证：平面EFG⊥平面PBC．
[证明]　法一：如图，以正三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
令PA＝PB＝PC＝3，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，F(0，1，0)，
G(1，1，0)，
于是＝(3，0，0)，＝(1，0，0)，
故，又G不在直线PA上，所以PA∥FG．
而PA⊥平面PBC，所以FG⊥平面PBC．
又FG 平面EFG，所以平面EFG⊥平面PBC．
法二：同法一，建立空间直角坐标系，令PA＝PB＝PC＝3，
则P(0，0，0)，A(3，0，0)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，
G(1，1，0)．
所以＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，
则有n⊥，n⊥．
所以令y＝1，得z＝－1，x＝0，
即n＝(0，1，－1)．
显然＝(3，0，0)是平面PBC的一个法向量．
又n＝0，所以n⊥，
即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，所以平面EFG⊥平面PBC．
【教用·备选题】　如图(1)所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD．
[解]　设AS＝AB＝1，建立如图(2)所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，E．
法一：如图(2)，连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为．易知＝(0，0，1)，＝，∴＝，∴OE∥AS．
又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD．
又OE 平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD．
法二：设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)．
易知＝(－1，1，0)，＝，
由得
令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0)．
∵AS⊥底面ABCD，
∴平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0，0，1)．
∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD．
1．设l1的方向向量为a＝(1，2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2，3，m)．若l1⊥l2，则m＝(　　)
A．1　　 　B．2　　 　C．　　 　D．3
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
B　[∵l1⊥l2，∴a·b＝1×(－2)＋2×3－2m＝0，解得m＝2．]
2
3
题号
1
4
√
2．已知平面α的法向量为n＝(2，－2，4)，＝(－1，1，－2)，则直线AB与平面α的位置关系为(　　)
A．AB⊥α B．AB α
C．AB与α相交但不垂直 D．AB∥α
A　[∵平面α的法向量为n＝(2，－2，4)，＝(－1，1，－2)，
∴＝－n，∴n∥，∴⊥α，即直线AB与平面α垂直．故选A．]
3．(多选)已知直线l的方向向量为μ，两个不重合的平面α，β的法向量分别为n1，n2，则(　　)
A．若μ∥n1，则l⊥α B．若μ·n1＝0，则l∥α
C．若n1∥n2，则α∥β D．若n1·n2＝0，则α⊥β
2
3
题号
4
1
√
ACD　[根据题意，依次分析选项：对于A，若μ∥n1，则l⊥α，A正确；
对于B，若μ·n1＝0，则μ⊥n1，则l∥α或l α，B错误；
对于C，若n1∥n2，且平面α，β不重合，则有α∥β，C正确；
对于D，若n1·n2＝0，则α⊥β，D正确．故选ACD．]
√
√
4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为_____．
2
4
3
题号
1
5　[∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量u与平面β的法向量v互相垂直，
∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5．]
5　
1．知识链：(1)利用向量证明直线和直线垂直．
(2)利用向量证明直线和平面垂直．
(3)利用向量证明平面和平面垂直．
2．方法链：转化法、向量法．
3．警示牌：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两直线垂直的向量表达式是什么？
[提示]　设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0．
2．直线和平面垂直的向量表达式是什么？
[提示]　设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn．
3．平面和平面垂直的向量表达式是什么？
[提示]　设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0．
4．证明线面垂直有哪些方法？
[提示]　(1)基底法：把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示，然后再证明它们垂直．
(2)坐标法，利用线线垂直：建立空间直角坐标系，把直线的方向向量和平面内两条不共线向量用坐标表示，再证明它们垂直．
(3)坐标法，利用平面的法向量：建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量的坐标，然后证明它们平行．
课时分层作业(九)
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空间中直线、平面的垂直
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS第3课时　空间中直线、平面的垂直
[学习目标]　1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．(数学抽象)
2．能用向量方法判断或证明线线、线面、面面间的垂直关系．(逻辑推理、数学运算)
(教师用书)
我们知道，一个平面可用空间一点与该平面的法向量来确定．观察图片，图中旗杆所在的直线和地面垂直，那么如何用向量来表示二者的关系呢？
[讨论交流]　
问题1．空间直线、平面垂直的向量表示是什么？
问题2．用向量解决空间线面垂直问题的一般步骤是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　直线与直线垂直
探究问题1　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？
[提示]　垂直．
[新知生成]
两直线垂直的判定方法
设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0．
【教用·微提醒】　(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直．
(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0．
[典例讲评]　1．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1．求证：AB1⊥MN．
[证明]　法一：设＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，(a＋b)，
∴＝(a＋c)·cos 60°＋0－0＋0＋＝0．∴⊥，∴AB1⊥MN．
法二：设AB的中点为O，作OO1∥AA1．
以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得
A，B，C，
∵M为BC的中点，∴M．
∴＝(1，0，1)，
∴＝0．
∴⊥，∴AB1⊥MN．
　向量法证明线线垂直的思路方法
用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b＝0即可，具体方法有以下两种：
(1)坐标法：用坐标表示出两条直线的方向向量，计算出两向量的数量积为0．
(2)基向量法：将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，计算出两向量的数量积为0．
[学以致用]　1．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PB与底面所成的角是30°，∠BAD＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝a，AB＝2a．若AE⊥PB于点E，求证：DE⊥PB．
[证明]　以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示．
因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB与底面ABCD所成的角，所以∠PBA＝30°，所以PA＝a．
所以A(0，0，0)，B(2a，0，0)，D(0，a，0)，P．
所以＝(0，a，0)，＝．
因为＝(0，a，0)＝0，所以PB⊥AD．
又PB⊥AE，且AD∩AE＝A，所以PB⊥平面ADE．
因为DE 平面ADE，所以DE⊥PB．
探究2　直线与平面垂直
探究问题2　如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直平面α时，u，n之间有什么关系？
[提示]　平行(共线)．
[新知生成]
直线和平面垂直的判定方法
设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn．
【教用·微提醒】　证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可．
【链接·教材例题】
例4　如图1.4-14，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1．
[分析]　根据条件，可以{，}为基底，并用基向量表示和平面BDD1B1，再通过向量运算证明是平面BDD1B1的法向量即可．
证明　设＝b，＝c，则{a，b，c}为空间的一个基底，且
＝a＋b－c，＝b－a，＝c．
因为AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，所以
a2＝b2＝c2＝1，a·b＝b·c＝c·a＝．
在平面BDD1B1上，取，为基向量，则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ，μ)，使得＋μ．
所以，＝λ＋μ·
＝λ(a＋b－c)·(b－a)＋μ(a＋b－c)·c＝0．
所以A1C是平面BDD1B1的法向量．
所以A1C⊥平面BDD1B1．
[典例讲评]　2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．
[证明]　法一：设＝b，则
＝＝
＝＝(－a＋b＋c)．
因为＝a＋b，
所以(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝＝0．
所以⊥，即EF⊥AB1．同理，EF⊥B1C．又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C 平面B1AC，所以EF⊥平面B1AC．
法二：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)．
所以＝(－1，－1，1)，＝(0，2，2)，＝(－2，2，0)．
所以＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，
＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝2－2＋0＝0，
所以⊥⊥，
所以EF⊥AB1，EF⊥AC．
又AB1∩AC＝A，AB1，AC 平面B1AC，
所以EF⊥平面B1AC．
法三：由法二得＝(0，2，2)，
＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1)．
设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)，则·n＝0，
即
取x＝1，则y＝1，z＝－1，
所以n＝(1，1，－1)，所以＝－n，
所以∥n，所以EF⊥平面B1AC．
[母题探究]　若本例条件不变，求证：A1C⊥平面AD1B1．
[证明]　＝(0，2，2)，＝(2，2，0)，A1(2，0，2)，C(0，2，0)，
所以＝(－2，2，－2)．
设平面AD1B1的法向量为m＝(x，y，z)，
则·m＝0，
即
取x＝1，则y＝－1，z＝1，所以m＝(1，－1，1)．
所以＝－2m，所以∥m，所以A1C⊥平面AD1B1．
　证明线面垂直的方法
(1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．
(2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．
(3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．
[学以致用]　2．如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
求证：AB1⊥平面A1BD．
[证明]　 法一：如图所示，取BC的中点O，连接AO．因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC．又BB1⊥平面ABC，
取B1C1的中点O1，则OO1∥BB1．以O为原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1，A，B1(1，2，0)，
所以＝＝＝(－2，1，0)．
因为＝1×(－1)＋2×2＋＝1×(－2)＋2×1＋×0＝0，
所以⊥⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD．
又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD．
法二：建系同法一．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，
即令x＝1，
得平面A1BD的一个法向量为n＝．
又＝，所以n＝，即∥n，所以AB1⊥平面A1BD．
探究3　平面与平面垂直
探究问题3　设n1，n2分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？
[提示]　垂直．
[新知生成]
平面和平面垂直的判定方法
设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0．
【教用·微提醒】　利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：
一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
【链接·教材例题】
例5　证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
已知：如图1.4-15，l⊥α，l β，
求证：α⊥β．
证明　取直线l的方向向量u，平面β的法向量n．
因为l⊥α，所以u是平面α的法向量．
因为l β，而n是平面β的法向量，所以u⊥n．
所以α⊥β．
[典例讲评]　3．(源自湘教版教材)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点．
求证：平面BEF⊥平面ABC．
[证明]　如图所示，以点B为原点，分别以的方向为y轴、z轴的正方向，并取相同的单位长度，建立空间直角坐标系．
设A(0，0，a)，则B(0，0，0)，C，D(0，a，0)，E，F．
于是＝(0，0，－a)，＝＝＝．
法一：(利用平面的法向量)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ABC的法向量，
则
取x1＝1，得y1＝－1，z1＝0，则n1＝(1，－1，0)是平面ABC的一个法向量．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面BEF的法向量，
则
取x2＝1，得y2＝1，z2＝－，则n2＝(1，1，－)是平面BEF的一个法向量．
因为n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－)＝0，
所以平面BEF⊥平面ABC．
法二：(利用线面垂直)∵＝，
∴＝0，
∴EF⊥AB，EF⊥BC，
又AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，又EF 平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC．
　证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理将问题转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．
[学以致用]　3．如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．求证：平面EFG⊥平面PBC．
[证明]　法一：如图，以正三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
令PA＝PB＝PC＝3，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，
于是＝(3，0，0)，＝(1，0，0)，
故，又G不在直线PA上，所以PA∥FG．
而PA⊥平面PBC，所以FG⊥平面PBC．
又FG 平面EFG，所以平面EFG⊥平面PBC．
法二：同法一，建立空间直角坐标系，令PA＝PB＝PC＝3，
则P(0，0，0)，A(3，0，0)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)．
所以＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，
则有n⊥，n⊥．
所以令y＝1，得z＝－1，x＝0，
即n＝(0，1，－1)．
显然＝(3，0，0)是平面PBC的一个法向量．
又n＝0，所以n⊥，
即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，所以平面EFG⊥平面PBC．
【教用·备选题】　如图(1)所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD．
[解]　设AS＝AB＝1，建立如图(2)所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，E．
法一：如图(2)，连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为．
易知＝(0，0，1)，＝，∴＝，∴OE∥AS．
又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD．
又OE 平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD．
法二：设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)．
易知＝(－1，1，0)，＝，
由
得
令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0)．
∵AS⊥底面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0，0，1)．
∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD．
1．设l1的方向向量为a＝(1，2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2，3，m)．若l1⊥l2，则m＝(　　)
A．1　　 　B．2　　 　C．　　 　D．3
B　[∵l1⊥l2，∴a·b＝1×(－2)＋2×3－2m＝0，解得m＝2．]
2．已知平面α的法向量为n＝(2，－2，4)，＝(－1，1，－2)，则直线AB与平面α的位置关系为(　　)
A．AB⊥α
B．AB α
C．AB与α相交但不垂直
D．AB∥α
A　[∵平面α的法向量为n＝(2，－2，4)，＝(－1，1，－2)，
∴＝－n，∴n∥，∴⊥α，即直线AB与平面α垂直．故选A．]
3．(多选)已知直线l的方向向量为μ，两个不重合的平面α，β的法向量分别为n1，n2，则(　　)
A．若μ∥n1，则l⊥α
B．若μ·n1＝0，则l∥α
C．若n1∥n2，则α∥β
D．若n1·n2＝0，则α⊥β
ACD　[根据题意，依次分析选项：对于A，若μ∥n1，则l⊥α，A正确；
对于B，若μ·n1＝0，则μ⊥n1，则l∥α或l α，B错误；
对于C，若n1∥n2，且平面α，β不重合，则有α∥β，C正确；
对于D，若n1·n2＝0，则α⊥β，D正确．故选ACD．]
4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________．
5　[∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量u与平面β的法向量v互相垂直，
∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5．]
1．知识链：(1)利用向量证明直线和直线垂直．
(2)利用向量证明直线和平面垂直．
(3)利用向量证明平面和平面垂直．
2．方法链：转化法、向量法．
3．警示牌：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两直线垂直的向量表达式是什么？
[提示]　设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0．
2．直线和平面垂直的向量表达式是什么？
[提示]　设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn．
3．平面和平面垂直的向量表达式是什么？
[提示]　设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0．
4．证明线面垂直有哪些方法？
[提示]　(1)基底法：把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示，然后再证明它们垂直．
(2)坐标法，利用线线垂直：建立空间直角坐标系，把直线的方向向量和平面内两条不共线向量用坐标表示，再证明它们垂直．
(3)坐标法，利用平面的法向量：建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量的坐标，然后证明它们平行．
课时分层作业(九)　空间中直线、平面的垂直
一、选择题
1．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，点E是棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F(0，y，z)满足方程(　　)
A．y－z＝0
B．2y－z－1＝0
C．2y－z－2＝0
D．z－1＝0
D　[因为E(1，0，0)，B1(2，0，2)，C(2，2，0)，
所以＝(－1，0，－2)，＝(－2，y－2，z)，因为CF⊥B1E，
所以＝0，
即2－2z＝0，即z＝1．]
2．已知向量a＝(4，4，5)，b＝(－7，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1⊥l2，则下列几组解中可能正确的是(　　)
A．x＝1，y＝3 B．x＝4，y＝3
C．x＝2，y＝4 D．x＝0，y＝2
C　[由题意a·b＝－28＋4x＋5y＝0，即4x＋5y＝28，代入各选项中的值计算，只有C满足2×4＋4×5＝28．故选C．]
3．已知直线l经过点A(1，1，2)，B(0，1，0)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　)
A．l∥α
B．l⊥α
C．l α
D．l与α相交，但不垂直
B　[根据题意，A(1，1，2)，B(0，1，0)，则＝(－1，0，－2)，
而平面α的一个法向量为n＝(－2，0，－4)，则有n＝2，即n∥，必有l⊥α．故选B．]
4．(多选)已知平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝(－1，0，－2 )，直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，直线m的方向向量为b＝(0，1，－2)，则(　　)
A．l⊥α
B．α⊥β
C．l与m为相交直线或异面直线
D．a在b上的投影向量的坐标为
BC　[根据题意，依次分析选项：对于A，直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的一个法向量为n1＝，由于a·n1＝1＋2×＝0，则直线l∥α或l α，A错误；
对于B，平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝(－1，0，－2 )，由于n1·n2＝－1＋1＝0，则α⊥β，B正确；
对于C，直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，直线m的方向向量为b＝(0，1，－2)，
a与b不平行，则l与m不平行，两直线为相交直线或异面直线，C正确；
对于D，a在b上的投影向量为＝b＝－b＝，D错误．故选BC．]
5．(多选)给出下列命题，其中是真命题的是(　　)
A．若直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量为b＝，则l与m垂直
B．若直线l的方向向量为a＝(0，1，－1)，平面α的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，则l⊥α
C．若平面α，β的一个法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α⊥β
D．若平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1
AD　[对于A，a·b＝1×2－1×1＋2×＝0，
则a⊥b，所以直线l与m垂直，故A是真命题；
对于B，a·n＝0，则a⊥n，
所以l∥α或l α，故B是假命题；
对于C，n1·n2＝6，所以α⊥β不成立，故C是假命题；
对于D，易得＝(－1，1，1)，＝(－1，1，0)，
因为向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，
所以即
得u＋t＝1，故D是真命题．]
二、填空题
6．△ABC的三个顶点分别是A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD长为________．
5　[∵A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，∴＝(4，－5，0)，＝(0，4，－3)，∵点D在直线AC上，∴设＝(0，4λ，－3λ)，
由此可得＝(0，4λ，－3λ)－(4，－5，0)＝(－4，4λ＋5，－3λ)，
又∵⊥，∴＝－4×0＋(4λ＋5)×4＋(－3λ)×(－3)＝0，解得λ＝－．
因此＝(－4，4λ＋5，－3λ)＝，
可得＝＝5．]
7．已知空间直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的法向量n＝(2，3，3)．若l⊥α，则a＋b＝________．
2　[∵m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)是直线l的方向向量，
n＝(2，3，3)是平面α的法向量，l⊥α，
∴m∥n，
∴＝＝，
解得a＋b＝2．]
8．已知A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P的坐标是(x，0，y)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是________．
(－1，0，2)　[根据题意，可得＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1)，＝(x，－1，y)．
∵PA⊥平面ABC，∴⊥⊥，可得
解得x＝－1，y＝2，可得P的坐标是(－1，0，2)．]
三、解答题
9．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．求证：EF⊥平面PAB．
[证明]　以D为坐标原点，DC，DA，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
且以DA的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．
设E(a，0，0)，其中a＞0，则C(2a，0，0)，A(0，1，0)，B(2a，1，0)，P(0，0，1)，F＝＝(2a，1，－1)，＝(2a，0，0)．所以＝0，
所以EF⊥PB，EF⊥AB．又PB，AB 平面PAB，PB∩AB＝B，所以EF⊥平面PAB．
10．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的比值为(　　)
A．1∶2 B．1∶1 C．3∶1 D．2∶1
B　[以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方形ABCD的边长为1，PA＝a，则B(1，0，0)，E，P(0，0，a)．
设点F的坐标为(0，y，0)，
则＝(－1，y，0)，＝．
因为BF⊥PE，
所以＝0，
解得y＝，即点F的坐标为，
所以F为AD的中点，所以AF∶FD＝1∶1．]
11．(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM(　　)
A．和AC垂直
B．和AA1垂直
C．和MN垂直
D．与AC，MN都不垂直
AC　[以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)．
设正方体的棱长为2a(a＞0)，则M(0，0，a)，A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a)，A1(2a，0，2a)．
∴＝(－a，－a，a)，＝(0，a，a)，＝(－2a，2a，0)，＝(0，0，2a)．
∴＝2a2≠0，∴OM⊥MN，OM⊥AC，OM和AA1显然不垂直．]
12．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是(　　)
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在DQ与平面A1BD垂直
D　[以A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，
所以＝(1，0，1)，＝(－1，2，0)，．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则取z＝－2，
则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2，1，－2)．
假设DQ⊥平面A1BD，且＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，则．
因为也是平面A1BD的一个法向量，
所以n与共线，
所以成立，但此方程关于λ无解，所以不存在DQ与平面A1BD垂直．]
13．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB＝2，E是PB的中点，cos 〈〉＝．
(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点E的坐标是________；
(2)在底面ABCD内求一点F，使EF⊥平面PCB，则点F的坐标是________．
(1)(1，1，1)　(2)(1，0，0)　[(1)由已知，平面ABCD是边长为2的正方形，设DP＝t(t＞0)，则D(0，0，0)，P(0，0，t)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，
则E＝(0，0，t)，＝．
故cos 〈〉＝＝＝．
由已知，得＝，
解得t＝2(负值舍去)，
故E(1，1，1)．
(2)设F(m，n，0)，则＝(m－1，n－1，－1)．
又＝(－2，0，0)，＝(0，2，－2)，
则
解得
故F(1，0，0)．]
14．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，D为BC的中点．
(1)证明：A1B∥平面ADC1；
(2)证明：平面ADC1⊥平面BB1C1C．
[证明]　 (1)∵在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，∴以A1为原点，A1C1，A1B1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝AC＝AA1＝2，
则A1(0，0，0)，B(0，2，2)，A(0，0，2)，C(2，0，2)，D(1，1，2)，＝(0，2，2)，＝(1，1，0)，＝(2，0，－2)．
设平面ADC1的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1，
得n＝(1，－1，1)，∵n·＝0－2＋2＝0，且A1B 平面ADC1，
∴A1B∥平面ADC1．
(2)∵＝(1，－1，0)，＝(1，－1，－2)，设平面BB1C1C的法向量为m＝(a，b，c)，
则取a＝1，得m＝(1，1，0)，
又平面ADC1的法向量n＝(1，－1，1)，n·m＝1－1＋0＝0，
∴平面ADC1⊥平面BB1C1C．
15．(多选)在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
(1)过点P0(x0，y0，z0)，且以u＝(a，b，c)(abc≠0)为方向向量的空间直线l的方程为＝＝．
(2)过点P(x0，y0，z0)，且以v＝(m，n，t)(mnt≠0)为法向量的平面α的方程为m(x－x0)＋n(y－y0)＋t(z－z0)＝0．
现已知平面α：x＋2y＋3z＝6，l1：l2：x＝y＝2－z，l3：＝＝，则(　　)
A．l1∥α B．l2∥α
C．l3∥α D．l1⊥α
CD　[根据题意，平面α：x＋2y＋3z＝6，即(x－1)＋2(y－1)＋3(z－1)＝0，则平面α的一个法向量为(1，2，3)，设m＝(1，2，3)，直线l1：
变形可得：2x＝y＋1＝(z＋2)，即＝＝，则直线l1的一个方向向量为，设n1＝，由于m＝2n1，则l1⊥α，A错误，D正确；直线l2：x＝y＝2－z，即＝＝，直线l2的一个方向向量为(1，1，－1)，设n2＝(1，1，－1)，由于m·n2＝1＋2－3＝0，则m⊥n2，对于
l2：x＝y＝2－z，当x＝0时，有y＝0，z＝2，直线l2过点(0，0，2)，平面α：x＋2y＋3z＝6，也过点(0，0，2)，则l2 α，B错误；
l3：＝＝，则直线l3的一个方向向量为(5，－4，1)，设n3＝(5，－4，1)，
由于m·n3＝5－8＋3＝0，则m⊥n3，
同时，l3：＝＝，过点(1，0，0)，平面α：x＋2y＋3z＝6不过点(1，0，0)，则有l3∥α，C正确．故选CD．]
1/5第2课时　空间中直线、平面的平行
[学习目标]　1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．(数学抽象)
2．能用向量方法判断或证明线线、线面、面面间的平行关系．(逻辑推理、数学运算)
(教师用书)
牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝，在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道均有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？
[讨论交流]　问题1．空间直线、平面平行的向量条件是什么？
问题2．对比平面的两种向量表示式，能写出线面平行的两种向量条件吗？
问题3．用向量解决空间线面平行问题的一般步骤是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　直线与直线平行
探究问题1　由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？
[提示]　平行．
[新知生成]
两直线平行的判定方法
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2．
【教用·微提醒】　利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．
[典例讲评]　1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2．求证：MN∥AP．
[证明]　法一：由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直，如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，N，M，所以＝(－1，0，1)，＝，所以＝，又M AP，故MN∥AP．
法二：由题意可得，＝＋＝＋×＝＋＋＝＋＝＝，又M AP，所以MN∥AP．
　向量法证明线线平行的两种思路
[学以致用]　1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1．求证：EF∥AC1．
[证明]　如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则A(a，0，0)，C1(0，b，c)，E，F，
所以＝，＝(－a，b，c)，
所以＝，
因为FE与AC1不共线，所以EF∥AC1．
探究2　直线与平面平行
探究问题2　观察下图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？
[提示]　垂直．
[新知生成]
直线和平面平行的判定方法
设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α u⊥n u·n＝0．
【教用·微提醒】　(1)证明线面平行的关键是看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直．
(2)特别强调直线在平面外．
【链接·教材例题】
例3　如图1.4-12，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2．线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1
[分析]　根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量，，以及平面ACD1的法向量n等都可以用坐标表示．如果点P存在，那么就有n·＝0，由此通过向量的坐标运算可得结果．
[解]　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-12所示的空间直角坐标系．因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)，所以
＝(－3，4，0)，＝(－3，0，2)．
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则n＝0，n·＝0，即
所以
取z＝6，则x＝4，y＝3．所以，n＝(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量．
由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得＝(0，4，0)，＝(－3，0，2)．设点P满足＝λ(0≤λ≤1)，则＝(－3λ，0，－2λ)，所以＝＋＝(－3λ，4，－2λ)．
令n·＝0，得－12λ＋12－12λ＝0，解得λ＝，此时A1P 平面ACD1，这样的点P存在．所以，当＝，即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1．
[典例讲评]　2．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB．
[证明]　如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a．
连接AC，交BD于点G，
连接EG，
依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E，B(a，a，0)．
法一：设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
又＝＝，
则有
即
即
令z＝1，则
所以n＝(1，－1，1)，
又＝(a，0，－a)，
所以n＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0．
所以n⊥．
又PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB．
法二：因为四边形ABCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，
所以＝．
又＝(a，0，－a)，
所以，则PA∥EG．
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB．
法三：假设存在实数λ，μ使得，
即(a，0，－a)＝λ＋μ，
则有
解得
所以，
又PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB．
　利用空间向量证明线面平行的三种方法
(1)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
(3)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示．
[学以致用]　2．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1．
[证明]　如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为a(a＞0)，侧棱长为b(b＞0)，则A(0，0，0)，B，B1，
C1(0，a，b)，D，所以＝＝，＝．
设平面DBC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
所以
不妨令y＝2b，则n＝(0，2b，－a)．
由于·n＝ab－ab＝0，因此⊥n．
又AB1 平面DBC1，所以AB1∥平面DBC1．
探究3　平面与平面平行
探究问题3　如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？
[提示]　平行．
[新知生成]
平面和平面平行的判定方法
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2．
【教用·微提醒】　证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．
【链接·教材例题】
例2　证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
已知：如图1.4-11，a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α．
求证：α∥β．
[分析]　设平面α的法向量为n，直线a，b的方向向量分别为u，v，则由已知条件可得n·u＝n·v＝0，由此可以证明n与平面β内的任意一个向量垂直，即n也是β的法向量．
证明　如图1.4-11，取平面α的法向量n，直线a，b的方向向量u，v．
因为a∥α，b∥α，所以n·u＝0，n·v＝0．
因为a β，b β，a∩b＝P，
所以对任意点Q∈β，存在x，y∈R，使得＝xu＋yv．
从而n＝n·(xu＋yv)＝xn·u＋yn·v＝0．
所以，向量n也是平面β的法向量．故α∥β．
[典例讲评]　3．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC．
[证明]　由题意知AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
所以＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－2)，设n1＝(x1，y1，z1)是平面GEF的法向量，
则n1⊥，n1⊥，即
得令z1＝1，则x1＝1，y1＝0，所以n1＝(1，0，1)为平面GEF的一个法向量．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量，由n2⊥，n2⊥，
得即
即
令z2＝1，得x2＝1，y2＝0，
所以n2＝(1，0，1)为平面PBC的一个法向量．
因为n1＝n2，所以平面EFG∥平面PBC．
　证明面面平行问题的方法
(1)转化为相应的线线平行或线面平行．
(2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．
[学以致用]　3．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点，
求证：平面BMN∥平面PCD．
[证明]　连接BD，PM，因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以BM⊥AD，
又PA＝PD，M为AD的中点，所以PM⊥AD，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥平面ABCD，
所以以M为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设PA＝PD＝2a，CD＝b，
则B(2a，0，0)，C(b，2a，0)，D(0，2a，0)，P(0，0，2a)，M(0，0，0)，N(0，－a，a)，
所以＝(0，－a，a)，＝(2a，0，0)，
＝(b，2a，－2a)，＝(0，2a，－2a)，
设n1＝(x1，y1，z1)是平面BMN的法向量，
n2＝(x2，y2，z2)是平面PCD的法向量，
则由n1＝0，
得令y1＝1，则x1＝0，z1＝1，
所以n1＝(0，1，1)是平面BMN的一个法向量．
同理，由n2＝0，
得
令y2＝1，可得x2＝0，z2＝1，
所以n2＝(0，1，1)是平面PCD的一个法向量．
因为n1＝n2，所以平面BMN∥平面PCD．
【教用·备选题】　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO
[解]　如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，
则O，P，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
设Q(0，1，z)，则＝，＝(－1，－1，1)，
则＝2，所以∥，
所以OP∥BD1．
又＝＝(－1，0，z)，
当z＝时，，即AP∥BQ．
又AP∩OP＝P，BQ∩BD1＝B，AP，OP 平面PAO，BQ，BD1 平面D1BQ，
则有平面PAO∥平面D1BQ．
所以当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．
1．若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是(　　)
A．m＝(3，－1，0)，n＝(－1，0，2)
B．m＝(－2，1，4)，n＝(2，0，1)
C．m＝(2，9，7)，n＝(－2，0，－1)
D．m＝(1，－2，3)，n＝(0，3，1)
B　[根据题意，直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，要使l∥α，则m·n＝0，
由此分析选项，对于A，m·n＝－3≠0，不符合题意；
对于B，m·n＝－4＋4＝0，符合题意；对于C，m·n＝－11≠0，不符合题意；
对于D，m·n＝－3≠0，不符合题意．
故选B．]
2．已知向量a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)，且向量a，b分别为直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　)
A．m＝8，n＝28 B．m＝4，n＝28
C．m＝8，n＝ D．m＝4，n＝
C　[因为l1∥l2，且a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)分别为l1，l2的方向向量，所以＝＝，解得m＝8，n＝．故选C．]
3．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为，则m＝________．
－8　[∵l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为，
∴向量(2，m，1)与平面α的法向量垂直，
则(2，m，1)＝2＋m＋2＝0，解得m＝－8．]
4．已知平面α与平面ABC是不重合的两个平面，若平面α的一个法向量为m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，则平面α与平面ABC的位置关系是________．
平行　[根据题意，平面α的一个法向量为m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，则有m＝2×2－4＝0，则m⊥，同理m＝2－6＋4＝0，
则m⊥，故m也是平面ABC的法向量，必有平面α∥平面ABC．]
1．知识链：(1)利用向量证明直线和直线平行．
(2)利用向量证明直线和平面平行．
(3)利用向量证明平面和平面平行．
2．方法链：坐标法、转化化归．
3．警示牌：利用向量证明直线和平面平行，不要忽略直线不在平面内的条件．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两直线平行的向量表达式是什么？
[提示]　设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R，使得μ1＝λμ2．
2．直线和平面平行的向量表达式是什么？
[提示]　设μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，且l α，则l∥α μ⊥n μ·n＝0．
3．平面和平面平行的向量表达式是什么？
[提示]　设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2．
4．证明线面平行有哪些方法？
[提示]　(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；
(2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面且直线不在平面内；
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
课时分层作业(八)　空间中直线、平面的平行
一、选择题
1．已知直线l的方向向量为a＝(1，2，－2)，平面α的一个法向量为n＝(2，4，m)，若l∥α，则m等于(　　)
A．5 B．2 C． D．－4
A　[根据题意，因为l∥α，且直线l的方向向量为a＝(1，2，－2)，平面α的法向量为n＝(2，4，m)，所以a⊥n，所以a·n＝0，则有1×2＋2×4＋(－2)×m＝0，解得m＝5．故选A．]
2．(多选)设a，b分别是不重合直线l1，l2的方向向量，则根据下列条件能判断l1∥l2的是(　　)
A．a＝，b＝(－2，－4，0)
B．a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)
C．a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)
D．a＝(－2，－1，1)，b＝(4，－2，－8)
AB　[对于A，易知a＝－b，所以l1∥l2，A正确；对于B，a＝－2b，所以l1∥l2，B正确；对于选项C、D，由于a与b不共线，所以不能判断l1∥l2．故选AB．]
3．已知平面α的一个法向量为(1，2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　)
A．2 B．－4 C．4 D．－2
C　[因为α∥β，所以＝＝，所以k＝4．]
4．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
B　[如图，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．因为A1M＝AN＝a，
所以M，
所以．
又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)，
所以＝(0，a，0)，
所以＝0，所以⊥．
因为是平面BB1C1C的一个法向量，且MN 平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C．]
5．如图所示，已知正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为(　　)
A．(1，1，1) B．
C． D．
C　[∵M在EF上，∴不妨设ME＝x，
则M，
∵A(，，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，B(0，，0)，
∴＝(，0，－1)，＝(0，，－1)，＝．
设平面BDE的法向量为n＝(a，b，c)，
易求其中一个法向量为n＝(1，1，)，
∴有n＝0，即x－＋x－＋＝0，
∴x＝，∴x＝1．
∴M，故选C．]
二、填空题
6．已知直线l的方向向量为(1，m，2)，平面α的一个法向量为(3，－1，1)，且l∥α，则m＝________．
5　[根据题意，设直线l的方向向量为a＝(1，m，2)，
平面α的一个法向量为b＝(3，－1，1)，
若l∥α，必有a⊥b，则有a·b＝3－m＋2＝0，解得m＝5．]
7．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝均与平面α平行，则向量a＝________．
　[由题意知
即
解得∴a＝．]
8．已知a＝(0，1，m)，b＝(0，n，－3)分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则mn＝________．
－3　[根据题意，若α∥β，则有a∥b，设a＝kb，即(0，1，m)＝k(0，n，－3)，
则有变形可得：mn＝－3．]
三、解答题
9．已知正方体OABC O1A1B1C1的棱长为1，如图以O为原点，{}为单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz．D，E分别是OO1，AB的中点．
(1)求直线DE的一个方向向量；
(2)证明：DE∥平面O1BC．
[解]　(1)根据题意，D，E，
因此＝，
故直线DE的一个方向向量为m＝(2，1，－1)(答案不唯一)．
(2)证明：连接OC1(图略)，BC⊥平面O1OCC1，OC1 平面O1OCC1，则BC⊥OC1，
又因为OC1⊥O1C，O1C∩BC＝C，O1C，BC 平面O1BC，故OC1⊥平面O1BC，
因此取平面O1BC的法向量为＝(0，1，1)，由于m·＝0，则m⊥，而DE 平面O1BC，因此DE∥平面O1BC．
10．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且，若B1F∥平面A1BE，则λ＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
C　[如图所示，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则B(1，0，0)，E，D1(0，1，1)，C1(1，1，1)，A1(0，0，1)，所以＝(－1，0，1)，．
设n＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则由
得令z＝2，得平面A1BE的一个法向量为n＝(2，1，2)．
由＝(1，0，0)，，可得F(λ，1，1)(0≤λ≤1)．
又B1(1，0，1)，所以＝(λ－1，1，0)．
由B1F∥平面A1BE，得·n＝0，
即2(λ－1)＋1＝0，解得λ＝．]
11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是(　　)
A．异面
B．平行
C．垂直不相交
D．垂直且相交
B　[设正方体的棱长为1，以D点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则＝(1，0，1)，＝(－1，1，0)，设＝(a，b，c)，则
取＝(1，1，－1)．∵＝(0，0，1)－(1，1，0)＝(－1，－1，1)＝－，∴∥，∴PQ∥BD1．]
12．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________．
　[如图，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝a(a＞0)，AP＝b(0＜b≤1)，则A(0，0，0)，
D(0，1，0)，P(0，0，b)，B1(a，0，1)，E．
于是AB1＝(a，0，1)，＝＝(0，－1，b)．
设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)，则得取x＝2，得y＝－a，z＝－2a，
∴n＝(2，－a，－2a)是平面B1AE的一个法向量．∵DP∥平面B1AE，∴n＝a－2ab＝0，解得b＝，即AP＝．]
13．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段D1B上的动点，M，N分别为棱BC，AB的中点，若DP∥平面B1MN，则＝________．
　[如图所示，以D为原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．
设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，可得D(0，0，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，M(1，2，0)，N(2，1，0)，则＝(2，2，－2)，＝(－1，0，－2)，＝(0，－1，－2)．
设＝λ，可得＝(2λ，2λ，－2λ)，可得P(2λ，2λ，2－2λ)，则＝(2λ，2λ，2－2λ)．
设平面B1MN的法向量为n＝(x，y，z)，
则有
不妨令x＝－2，则n＝(－2，－2，1)．
因为DP∥平面B1MN，所以·n＝(2λ，2λ，2－2λ)·(－2，－2，1)＝－4λ－4λ＋2－2λ＝0，
解得λ＝，即．]
14．如图所示，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点．求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面QMN∥平面PAD．
[证明]　(1)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝b，AD＝d，则A(0，0，0)，B(b，0，0)，D(0，d，0)，P(0，0，d)，C(b，d，0)．因为M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，所以M，N，Q，所以＝．
因为平面PAD的一个法向量为m＝(1，0，0)，所以m＝0，即⊥m，因为MN 平面PAD，所以MN∥平面PAD．
(2)由(1)知，＝(0，－d，0)，所以m＝0，所以⊥m，又由(1)知⊥m，所以m也是平面QMN的一个法向量，所以平面QMN∥平面PAD．
15．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA＝AB＝BC＝AD．
问：侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．
[解]　因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD．
又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD．又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)．
设侧棱PA的中点是E，
则E＝．
设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则
因为＝(－1，1，0)，＝(0，2，－1)，所以
取x＝1，则y＝1，z＝2，
所以平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，2)．
所以n＝(1，1，2)＝0，所以n⊥．
因为BE 平面PCD，
所以BE∥平面PCD．
综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD．
21/21课时分层作业(八)　空间中直线、平面的平行
一、选择题
1．已知直线l的方向向量为a＝(1，2，－2)，平面α的一个法向量为n＝(2，4，m)，若l∥α，则m等于(　　)
A．5　　　B．2　　　C．　　　D．－4
2．(多选)设a，b分别是不重合直线l1，l2的方向向量，则根据下列条件能判断l1∥l2的是(　　)
A．a＝，b＝(－2，－4，0)
B．a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)
C．a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)
D．a＝(－2，－1，1)，b＝(4，－2，－8)
3．已知平面α的一个法向量为(1，2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　)
A．2　　　B．－4　　　C．4　　　D．－2
4．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
5．如图所示，已知正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为(　　)
A．(1，1，1) B．
C． D．
二、填空题
6．已知直线l的方向向量为(1，m，2)，平面α的一个法向量为(3，－1，1)，且l∥α，则m＝________．
7．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝均与平面α平行，则向量a＝________．
8．已知a＝(0，1，m)，b＝(0，n，－3)分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则mn＝________．
三、解答题
9．已知正方体OABC O1A1B1C1的棱长为1，如图以O为原点，{}为单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz．D，E分别是OO1，AB的中点．
(1)求直线DE的一个方向向量；
(2)证明：DE∥平面O1BC．
10．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且，若B1F∥平面A1BE，则λ＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
11．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是(　　)
A．异面 B．平行
C．垂直不相交 D．垂直且相交
12．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________．
13．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P为线段D1B上的动点，M，N分别为棱BC，AB的中点，若DP∥平面B1MN，则＝________．
14．如图所示，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点．求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面QMN∥平面PAD．
15．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA＝AB＝BC＝AD．
问：侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．
4/4第3课时　空间中直线、平面的垂直
[学习目标]　1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．(数学抽象)
2．能用向量方法判断或证明线线、线面、面面间的垂直关系．(逻辑推理、数学运算)
[讨论交流]　
问题1．空间直线、平面垂直的向量表示是什么？
问题2．用向量解决空间线面垂直问题的一般步骤是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　直线与直线垂直
探究问题1　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？
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[新知生成]
两直线垂直的判定方法
设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 ________ ________．
[典例讲评]　1．如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长都为1，M是BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1．
求证：AB1⊥MN．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　向量法证明线线垂直的思路方法
用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b＝0即可，具体方法有以下两种：
(1)坐标法：用坐标表示出两条直线的方向向量，计算出两向量的数量积为0．
(2)基向量法：将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，计算出两向量的数量积为0．
[学以致用]　1．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，PB与底面所成的角是30°，∠BAD＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝a，AB＝2a．若AE⊥PB于点E，求证：DE⊥PB．
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探究2　直线与平面垂直
探究问题2　如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直平面α时，u，n之间有什么关系？
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[新知生成]
直线和平面垂直的判定方法
设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α ________ λ∈R，使得________．
[典例讲评]　2．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[母题探究]　若本例条件不变，求证：A1C⊥平面AD1B1．
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　证明线面垂直的方法
(1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．
(2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．
(3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．
[学以致用]　2．如图所示，正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
求证：AB1⊥平面A1BD．
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探究3　平面与平面垂直
探究问题3　设n1，n2分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？
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[新知生成]
平面和平面垂直的判定方法
设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β ________ ________．
[典例讲评]　3．(源自湘教版教材)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点．
求证：平面BEF⊥平面ABC．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理将问题转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．
[学以致用]　3．如图，在正三棱锥P ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．求证：平面EFG⊥平面PBC．
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1．设l1的方向向量为a＝(1，2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2，3，m)．若l1⊥l2，则m＝(　　)
A．1　　 　B．2　　 　C．　　 　D．3
2．已知平面α的法向量为n＝(2，－2，4)，＝(－1，1，－2)，则直线AB与平面α的位置关系为(　　)
A．AB⊥α
B．AB α
C．AB与α相交但不垂直
D．AB∥α
3．(多选)已知直线l的方向向量为μ，两个不重合的平面α，β的法向量分别为n1，n2，则(　　)
A．若μ∥n1，则l⊥α
B．若μ·n1＝0，则l∥α
C．若n1∥n2，则α∥β
D．若n1·n2＝0，则α⊥β
4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________．
1．知识链：(1)利用向量证明直线和直线垂直．
(2)利用向量证明直线和平面垂直．
(3)利用向量证明平面和平面垂直．
2．方法链：转化法、向量法．
3．警示牌：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆．
7/71.4　空间向量的应用
1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示
[学习目标]　1．能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．(数学抽象)
2．会求一个平面的法向量．(数学运算、逻辑推理)
(教师用书)
立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，为了用空间向量解决几何问题，首先必须把点、直线、平面用向量表示出来．
那么，如何利用向量刻画直线与平面的方向与位置？
[讨论交流]　
问题1．空间点的位置向量、直线的方向向量、平面的法向量是如何定义的？
问题2．空间一条直线的方向向量唯一吗？它们有什么共同特征？
问题3．空间直线和平面的向量表示式分别是什么？其依据是什么？
问题4．求一个平面的法向量的一般步骤是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　空间中点的向量和直线的向量表示
探究问题1　在空间中，如何确定一条直线？
[提示]　两点可以确定一条直线；直线上的一点及这条直线的方向也可以确定一条直线．
[新知生成]
1．点的位置向量
在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量．
2．空间直线的向量表示式
设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点，
(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝．
(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＋ta，即＝．
(3)性质：空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
【教用·微提醒】　(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
[典例讲评]　1．(源自湘教版教材)如图所示，已知长方体ABCD A′B′C′D′的棱长AB＝2，AD＝4，AA′＝3．以点D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：
(1)AA′；(2)BD′．
[解]　 由已知可得，长方体顶点A，B，A′，D′的坐标分别为A(4，0，0)，B(4，2，0)，A′(4，0，3)，D′(0，0，3)．
(1)因为向量＝(0，0，3)，所以直线AA′的一个方向向量为(0，0，3)．(答案不唯一)
(2)因为向量＝(－4，－2，3)，所以直线BD′的一个方向向量为(－4，－2，3)．(答案不唯一)
　求直线的方向向量的两种方法
(1)在直线l上确定两点A，B，则就是直线l的方向向量．
(2)在与直线l平行的直线m上确定两点A1，B1，则就是直线l的方向向量．
[学以致用]　1．已知点A(1，2，－1)，B(2，0，1)是直线l上的两点．
(1)求直线l的一个方向向量；
(2)判断点M(3，3，1)是否在直线l上．
[解]　(1)直线l的一个方向向量为＝(1，－2，2)．(答案不唯一)
(2)＝(2，1，2)．设，即(2，1，2)＝λ(1，－2，2)，所以这样的λ不存在，即向量不共线．
故点M不在直线l上．
探究2　空间中平面的向量表示
探究问题2　向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是什么？
[提示]　存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb．
探究问题3　如何用向量表示点P在平面ABC内的充要条件？
[提示]　存在有序实数对(x，y)，使得．
[新知生成]
1．如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb．
2．如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
3．如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P·＝0}．
【教用·微提醒】　(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无数多个，它们相互平行．
【链接·教材例题】
例1　如图1.4-7，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求平面BCC1B1的法向量；
(2)求平面MCA1的法向量．
[分析]　(1)平面BCC1B1与y轴垂直，其法向量可以直接写出；(2)平面MCA1可以看成由，，中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量．
[解]　(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1＝(0，1，0)是平面BCC1B1的一个法向量．
(2)因为AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点，所以M，C，A1的坐标分别为(3，2，0)，(0，4，0)，(3，0，2)．
因此＝(－3，2，0)，＝(0，－2，2)．
设n2＝(x，y，z)是平面MCA1的法向量，则
n2⊥，n2⊥．
所以所以
取z＝3，则x＝2，y＝3．于是n2＝(2，3，3)是平面MCA1的一个法向量．
[典例讲评]　2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
[解]　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，D(0，，0)，E，C(1，，0)，于是＝＝(1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
所以
令y＝－1，则x＝z＝．
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．(答案不唯一)
[母题探究]　本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．
[解]　以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，，0)，所以＝(1，，－1)即为直线PC的一个方向向量．
因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
所以令y＝1，则z＝．
所以平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，)．(答案不唯一)
　如何确定平面的法向量？
[提示]　按如下步骤求平面的法向量：
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量．
(3)列方程组：由列出方程组．
(4)解方程组：
(5)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)．
(6)得结论：得到平面的一个法向量．
[学以致用]　2．已知点A(1，2，3)，B(1，1，0)，C(0，1，1)，则下列向量是平面ABC的一个法向量的是(　　)
A．(－1，3，－1)　　　　 B．(－1，－3，－1)
C．(1，3，1) D．(－1，3，1)
A　[由题意知：＝(0，－1，－3)，＝(－1，－1，－2)，
对于A，∵(－1，3，－1)·(0，－1，－3)＝0－3＋3＝0，(－1，3，－1)·(－1，－1，－2)＝1－3＋2＝0，∴(－1，3，－1)与均垂直，∴(－1，3，－1)是平面ABC的一个法向量，A正确；
对于B，∵(－1，－3，－1)·(－1，－1，－2)＝1＋3＋2＝6，∴(－1，－3，－1)与不垂直，
∴(－1，－3，－1)不是平面ABC的一个法向量，B错误；
对于C，∵(1，3，1)·(0，－1，－3)＝0－3－3＝－6，∴(1，3，1)与不垂直，
∴(1，3，1)不是平面ABC的一个法向量，C错误；
对于D，∵(－1，3，1)·(0，－1，－3)＝0－3－3＝－6，∴(－1，3，1)与不垂直，∴(－1，3，1)不是平面ABC的一个法向量，D错误．故选A．]
3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2．以A为原点，建立空间直角坐标系．
(1)求平面BCC1B1的法向量；
(2)求平面A1BC的法向量．
[解]　(1)由已知得B(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，0，2)，A1(0，0，2)，
故＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)．
设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则n＝(1，1，0)，
所以平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，1，0)．(答案不唯一)
(2)设平面A1BC的法向量为m＝(a，b，c)．
因为＝(1，0，－2)，＝(－1，1，0)，
则令a＝1，则m＝，
所以平面A1BC的一个法向量为m＝．(答案不唯一)
【教用·备选题】　已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，并求出平面SAB、平面SDC的一个法向量．
[解]　由已知得SA，AB，AD两两垂直，
∴以A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)．
∵SA＝AB＝BC＝1，AD＝，
∴S(0，0，1)，A(0，0，0)，C(1，1，0)，D，∴＝＝(1，1，－1)，＝．
易知平面SAB的一个法向量为＝．
设平面SDC的法向量为m＝(x，y，z)，
则取z＝1，则x＝2，y＝－1，
∴平面SDC的一个法向量为m＝(2，－1，1)．(答案不唯一)
1．若A(0，1，2)，B(2，5，8)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(3，2，1) B．(1，3，2)
C．(2，1，3) D．(1，2，3)
D　[＝(2，5，8)－(0，1，2)＝(2，4，6)，
因为(2，4，6)＝2(1，2，3)．故选D．]
2．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α法向量的是(　　)
A．(0，－3，1) B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
D　[∵(－2，3，－1)＝－(2，－3，1)，∴向量(－2，3，－1)与平面α的一个法向量平行，它也是平面的一个法向量．故选D．]
3．设直线l的方向向量为m＝(2，－1，z)，平面α的一个法向量为n＝(4，－2，－2)，若直线l∥平面α，则实数z的值为(　　)
A．－5 B．5 C．－1 D．1
B　[若直线l∥平面α，则m·n＝0，故8＋2－2z＝0，解得z＝5．故选B．]
4．已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是平面α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________．
x＋2y－3z＝0　[由题意得e⊥，则e＝(x，y，z)·(1，2，－3)＝0，故x＋2y－3z＝0．]
1．知识链：(1)空间中点和直线的向量表示．
(2)空间中平面的向量表示．
(3)平面法向量的求法．
2．方法链：待定系数法、赋值法．
3．警示牌：直线的方向向量和平面的法向量都不能是零向量且不唯一，这无数个方向向量或法向量都分别是共线向量．用代数法求平面的法向量时，设定的某个分坐标一定不能是0．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求直线l的方向向量？直线的方向向量唯一吗？
[提示]　在直线l或与直线l平行的直线上取两点A，B，则就是直线l的方向向量．直线的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．
2．平面的法向量有无数个，它们是什么关系？
[提示]　共线．
3．如何求一个平面的法向量？
[提示]　(1)设法向量n＝(x，y，z)；
(2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
(3)建立方程组
(4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．
课时分层作业(七)　空间中点、直线和平面的向量表示
一、选择题
1．设空间四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则(　　)
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P不一定在直线AB上
D．以上都不对
A　[由m＋n＝1得m＝1－n，结合题意知＝(1－n)＋n＝
由此可知，A，P，B三点共线．故选A．]
2．若点A(－1，0，2)，B(1，4，10)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(1，2，4) B．(1，4，2)
C．(0，2，－1) D．(0，4，12)
A　[由＝(2，4，8)，l的方向向量与平行，只有选项A满足题意．故选A．]
3．已知A(3，2，0)，B(0，4，0)，C(3，0，2)，则平面ABC的一个法向量是(　　)
A．(1，1，1) B．(2，2，3)
C．(2，3，3) D．
C　[由题可知＝(－3，2，0)，＝(0，－2，2)，设n＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，则n⊥，n⊥．
所以可得
取z＝3，则x＝2，y＝3．于是n＝(2，3，3)是平面ABC的一个法向量．
故选C．]
4．已知直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，a，3)和B(－1，2，b)两点，则a＋b＝(　　)
A．0 B．1 C． D．3
D　[∵A(0，a，3)和B(－1，2，b)在直线l上，＝(－1，2－a，b－3)，且直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，∴设＝λm，则(－1，2－a，b－3)＝λ(2，－1，3)，解得λ＝－，a＝b＝，∴a＋b＝3．故选D．]
5．(多选)已知平面α内有一点M(1，－1，1)，平面α的一个法向量为n＝(4，－1，0)，则下列点中不在平面α内的是(　　)
A．A(2，3，2) B．B(－2，0，1)
C．C(－4，4，0) D．D(3，－3，4)
BCD　[对于A，＝(－1，－4，－1)，n＝4×(－1)＋(－1)×(－4)＋0＝0，所以n⊥，又因为M∈平面α，所以A∈平面α；对于B，＝(3，－1，0)，n＝4×3＋(－1)×(－1)＋0＝13，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以B 平面α；对于C，＝(5，－5，1)，n＝4×5＋(－1)×(－5)＋0＝25，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以C 平面α；对于D，＝(－2，2，－3)，n＝4×(－2)＋(－1)×2＋0＝－10，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以D 平面α．故选BCD．]
二、填空题
6．已知直线l的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝________，y＝________．
－20　12　[∵直线的方向向量平行，∴＝＝，∴x＝－20，y＝12．]
7．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中：
(1)直线AB的方向向量有________个；
(2)平面AA1B1B的法向量有________个．
(1)8　(2)8　[(1)直线AB的方向向量有：，共8个．
(2)平面AA1B1B的法向量有：，共8个．]
8．已知A(1，2，3)，B(－2，2，1)在直线l上，写出直线l的一个方向向量：u＝________．(用坐标表示)
(－3，0，－2)(答案不唯一)　[因为A(1，2，3)，B(－2，2，1)在直线l上，
则直线l的一个方向向量u＝＝(－3，0，－2)．(答案不唯一)]
三、解答题
9．已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，－2)．
(1)写出直线BC的一个方向向量；
(2)设平面α经过点A，且是平面α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
[解]　(1)∵B(2，0，0)，C(0，2，－2)，
∴＝(－2，2，－2)，即(－2，2，－2)为直线BC的一个方向向量．(答案不唯一)
(2)由题意得＝(x－2，y－2，z－2)，
∵⊥平面α，AM α，
∴⊥，则＝0，
∴(－2，2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0，
∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0，
化简得x－y＋z－2＝0．
10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的一个法向量的是(　　)
A．(1，－2，4) B．(－4，1，－2)
C．(2，－2，1) D．(1，2，－2)
B　[设AB＝2，由题图知A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(1，0，2)，＝(0，2，1)，＝(－1，0，2)．
设平面AEF的法向量n＝(x，y，z)，
则取y＝1，得n＝(－4，1，－2)．故选B．]
11．已知空间三点坐标分别为A(1，1，1)，B(0，3，0)，C(－2，－1，4)，点P(－3，x，3)在平面ABC内，则实数x的值为(　　)
A．1 B．－2 C．0 D．－1
A　[＝(1，－2，1)，＝(－2，－4，4)，＝(－3，x－3，3)，设平面ABC的法向量为n＝(a，b，c)，则
即
①＋②得－4b＋3c＝0，
令c＝4，则b＝3，a＝2，∴n＝(2，3，4)．
∵n⊥，∴n＝0，
即－3×2＋3(x－3)＋3×4＝0，
∴x＝1．]
12．在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m＝(A，B，C)的平面方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0．若平面α的方程为x＋2y＋z－1＝0，则平面α的一个法向量为________．
(1，2，1)(答案不唯一)　[根据题意，平面α的方程为x＋2y＋z－1＝0，即1(x－0)＋2(y－0)＋1(z－1)＝0，
则平面α的一个法向量为(1，2，1)．]
13．已知直线l的方向向量为e＝(－1，1，2)，平面α的一个法向量为n＝(λ∈R)，若l⊥α，则实数λ的值为________．
－　[因为l⊥α，所以e与n平行，
则存在实数m使得e＝mn，即(－1，1，2)＝m，
可得所以]
14．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点E在棱AB上移动．
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)求平面ACD1的法向量．
[解]　(1)证明：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，设E(1，t，0)，0≤t≤3，
所以＝(1，t，－1)·(1，0，1)＝1－1＝0，所以D1E⊥A1D．
(2)A(1，0，0)，C(0，3，0)，＝(－1，3，0)，＝(0，－3，1)，
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则取y＝1，则n＝(3，1，3)．
所以平面ACD1的一个法向量为n＝(3，1，3)．(答案不唯一)
15．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．
(1)求证：是平面ABCD的一个法向量；
(2)求平行四边形ABCD的面积．
[解]　(1)证明：＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝0，
＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝0，
所以AP⊥AB，AP⊥AD．
又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD．
所以是平面ABCD的一个法向量．
(2)因为＝＝，
＝＝2，
＝(2，－1，－4)·(4，2，0)＝6，
所以cos 〈〉＝＝，
故sin 〈〉＝，
S ABCD＝＝8．
5/15第2课时　空间中直线、平面的平行
[学习目标]　1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．(数学抽象)
2．能用向量方法判断或证明线线、线面、面面间的平行关系．(逻辑推理、数学运算)
[讨论交流]　
问题1．空间直线、平面平行的向量条件是什么？
问题2．对比平面的两种向量表示式，能写出线面平行的两种向量条件吗？
问题3．用向量解决空间线面平行问题的一般步骤是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　直线与直线平行
探究问题1　由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？
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[新知生成]
两直线平行的判定方法
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 ________ λ∈R，使得________．
[典例讲评]　1．如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2．求证：MN∥AP．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　向量法证明线线平行的两种思路
[学以致用]　1．在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1．求证：EF∥AC1．
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探究2　直线与平面平行
探究问题2　观察右图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？
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[新知生成]
直线和平面平行的判定方法
设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α ________ ________．
[典例讲评]　2．在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　利用空间向量证明线面平行的三种方法
(1)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
(3)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示．
[学以致用]　2．如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1．
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探究3　平面与平面平行
探究问题3　如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？
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[新知生成]
平面和平面平行的判定方法
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β ________ λ∈R，使得________．
[典例讲评]　3．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　证明面面平行问题的方法
(1)转化为相应的线线平行或线面平行．
(2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．
[学以致用]　3．如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点，
求证：平面BMN∥平面PCD．
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1．若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是(　　)
A．m＝(3，－1，0)，n＝(－1，0，2)
B．m＝(－2，1，4)，n＝(2，0，1)
C．m＝(2，9，7)，n＝(－2，0，－1)
D．m＝(1，－2，3)，n＝(0，3，1)
2．已知向量a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)，且向量a，b分别为直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　)
A．m＝8，n＝28 B．m＝4，n＝28
C．m＝8，n＝ D．m＝4，n＝
3．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为，则m＝________．
4．已知平面α与平面ABC是不重合的两个平面，若平面α的一个法向量为m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，则平面α与平面ABC的位置关系是________．
1．知识链：(1)利用向量证明直线和直线平行．
(2)利用向量证明直线和平面平行．
(3)利用向量证明平面和平面平行．
2．方法链：坐标法、转化化归．
3．警示牌：利用向量证明直线和平面平行，不要忽略直线不在平面内的条件．
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