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(共54张PPT)
1.2　空间向量基本定理
第一章 空间向量与立体几何
[学习目标]　1．了解空间向量基本定理及其意义．(数学抽象)
2．掌握空间向量的正交分解．(直观想象)
3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(逻辑推理、数学运算)
整体感知
(教师用书)
　　在平面内，任意给定两个不共线的向量a，b，根据平面向量基本定理，对于该平面内的任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb．特别地，当a，b为直角坐标平面内的向量时，向量p就与坐标(x，y)建立了一一对应关系，从而将向量运算用坐标表示，简化了向量运算，为研究问题带来了极大的方便．那么，对于空间向量，有没有类似平面向量基本定理的结论呢？如图所示，设a，b，c是空间三个不
共面的向量，p是空间任意一个向量，是否可以用
向量a，b，c来表示向量p？
[讨论交流]　
问题1．类比平面向量基本定理，怎么推广得到空间向量基本定理？
问题2．空间基底的构成条件是什么？单位正交基底的构成条件是什么？
问题3．类比平面向量的分解，如何分解空间向量？
问题4．用向量解决几何问题的一般步骤是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　空间向量基本定理
探究问题1　如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O．对于任意一个空间向量p＝，p能否用i，j，k表示呢？
探究建构
[提示]　如图，设在i，j所确定的平面上的投影向量，则．又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得＝zk，从而＋zk．在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xi＋y j．从而＋zk＝xi＋y j＋zk．
探究问题2　你能证明x，y，z的唯一性吗？
[提示]　假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′ j＋z′k，则x′i＋y′ j＋z′k＝xi＋y j＋zk．
不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′) j＋(z－z′)k．
两边同除以(x′－x)，得i＝ j＋k．
由向量共面的充要条件可知，i，j，k共面，这与已知矛盾．所以有序实数组(x，y，z)是唯一的．
[新知生成]
1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________．
2．基底：把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
xa＋yb＋zc
3．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量________，且长度都为__，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个________的向量，叫做把空间向量进行________．
两两垂直
1
两两垂直
正交分解
【教用·微提醒】　(1)基底中不能有零向量．因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面．
(2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
(3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．
[典例讲评]　1．{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋e2－e3，试判断{}能否作为空间的一个基底．
[解]　假设共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使成立，
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，
即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面．
∴此方程组无解．
即不存在实数x，y使得，
所以不共面．
所以{}能作为空间的一个基底．
反思领悟　基底的判断思路和注意问题
1．基本思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为空间的一个基底．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
2．注意问题
对于三个向量，若其中存在零向量，则这组向量不能作为基底；若其中存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
[学以致用]　1．若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且向量a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3不能构成空间的一个基底，则t＝(　　)
A．－1　　　B．1　　　C．0　　　D．－2
A　[因为a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3不能构成空间的一个基底，
所以存在实数x，y使得c＝xa＋yb，即e1＋te3＝x(e1＋e2)＋y(e2＋e3)，
即e1＋te3＝xe1＋(x＋y)e2＋ye3，因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
则解得故选A．]
√
探究2　用基底表示空间向量
【链接·教材例题】
例1　如图1.2-2，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝ON，AP＝AN，用向量表示．
[分析]　是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底{}，可以用基底{}表示出来．
[解]　＋
＝＋
＝＋－
＝＋
＝＋＋．
[典例讲评]　 2．(源自北师大版教材)如图所示，在平行六面体ABCD -A′B′C′D′中，点M是 A′B′C′D′的对角线的交点，点N是棱BC的中点．如果＝c，试用a，b，c表示．
[解]　因为点M为 A′B′C′D′的对角线的交点，
所以＝－(b＋a)．
又，
所以＝－(b＋a)－c＋a＋＝－c．
[母题探究]　若把本例中“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？
[解]　因为点M为 A′B′C′D′的对角线的交点，
所以＝－c＋a，所以(a－c)．
又＝b，所以，
所以＝(a－c)－c－＝．
反思领悟　用基底表示向量时应注意的两点
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是保证基向量的模及其夹角已知或易求．
[学以致用]　2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，M是棱PC的中点，设＝c．
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若AM交平面BDP于N，用a，b，c表示向量．
[解]　(1)因为M是棱PC的中点，所以＝，
则＋＋＝b＋(c－a－b)＝－a＋b＋c．
(2)若AM交平面BDP于N，则B，D，N，P四点共面，
由向量共面定理可知：存在x，y∈R，使得＋(1－x－y)，
即＝xa＋yb＋(1－x－y)c，又A，N，M三点共线，则有，
又＝a＋＝(a＋b＋c)，
所以解得t＝，故＝(a＋b＋c)．
探究3　空间向量基本定理的初步应用
考向1　证明空间位置关系
【链接·教材例题】
例2　如图1.2-3，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．求证：MN⊥AC1．
[分析]　要证MN⊥AC1，只需证明·＝0．
由已知，{，}可构成空间的一个基底．把和分别用基底表示，然后计算·即可．
[证明]　设＝b，＝c，这三个向量不共面，{a，b，c}构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则
＝＋＝a－b，＝＋＝a＋b＋c，
所以·＝·(a＋b＋c)
＝a·a＋a·b＋a·c－b·a－b·b－b·c
＝×42＋×42×cos 60°＋×4×5×cos 60°－×42×cos 60°－×42－×4×5×cos 60°＝0．所以MN⊥AC1．
[典例讲评]　3．如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底证明：
(1)EG∥AC；(2)平面EFG∥平面AB′C．
[证明]　取基底{}，
(1)因为，所以∥，又EG，AC无公共点，所以EG∥AC．
(2)因为，
，所以∥．
又FG，AB′无公共点，所以FG∥AB′．
又FG 平面AB′C，AB′ 平面AB′C，所以FG∥平面AB′C．
又由(1)知EG∥AC，EG 平面AB′C，AC 平面AB′C，可得EG∥平面AB′C．
又FG∩EG＝G，FG，EG 平面EFG．所以平面EFG∥平面AB′C．
反思领悟　(1)要证两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为0即可．
(2)要证两直线平行，只需证明两直线的方向向量a＝λb即可．
[学以致用]　3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E，F分别为PC，BD的中点，用向量方法证明：
(1)EF∥平面PAD；
(2)EF⊥平面PCD．
[证明]　(1)连接PF(图略)，则＝－＝＋＝＋＝＋，所以向量共面，又EF 平面PAD，DA，PD 平面PAD，所以EF∥平面PAD．
(2)因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，CD 平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，又PA 平面PAD，所以CD⊥PA．
因为PA＝PD＝AD，所以PA⊥PD，所以·＝·＝··＝·＝·＝0，所以EF⊥PD，EF⊥CD，又PD，CD 平面PCD，PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD．
考向2　求空间角
【链接·教材例题】
例3　如图1.2-4，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G分别为C′D′，A′D′，D′D的中点．
(1)求证：EF∥AC；(2)求CE与AG所成角的余弦值．
[分析]　(1)要证明EF∥AC，只需证明共线．设＝j，DD′＝k，则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底，把分别用基向量表示，作相应的运算证明它们共线即可．(2)要求CE与AG所成角的余弦值，只需求所成角的余弦值即可．
(1)[证明]　设＝j，＝k，则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底．所以＝－＝i－ j＝(i－j)，
＝i－j．所以＝．所以EF∥AC．
(2)[解]　因为＝＋＝－ j＋k，＝－i＋k，
所以cos 〈〉＝＝＝．
所以CE与AG所成角的余弦值为．
[典例讲评]　4．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
√
C　[如图所示，设＝b，＝c，则〈a，b〉＝120°，c⊥a，c⊥b，因为＝b＋c，＝
＝＝
＝＝．
又异面直线所成角的范围是，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．]
反思领悟　基向量法求空间角的基本思路
将空间角转化为两条直线的方向向量的夹角(或其补角)，再用基向量表示两方向向量，并借助向量的运算求出角．
[学以致用]　4．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．
(1)设＝c，
{a，b，c}构成空间的一个基底，
用它们表示；
(2)求AC1与MN所成角的大小．
[解]　(1)＝，＝a＋b＋c．
(2)由(1)得·(a＋b＋c)
＝·c
＝
＝0，所以⊥，所以AC1与MN所成角为．
考向3　求距离(长度)问题
[典例讲评]　5．如图所示，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝1，OB＝2，OC＝3，E，F，P分别为AC，BC，EF的中点，以方向上的单位向量为基底，求OP的长度．
[解]　令方向上的单位向量分别为i，j，k，则{i，j，k}是空间向量的一组单位正交基底．
因为＝＋＝＋＝＋＝＋＋＝ i＋ j＋ k，
所以||＝＝＝，即OP的长度为．
反思领悟　求空间距离(长度)问题的步骤
(1)选取空间基向量，将待求线段对应的向量用基向量线性表示．
(2)求该向量的模，利用空间向量的数量积运算求得线段的长度．
[学以致用]
5．在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN．
[解]　∵＝＋＋
＝－＋＋，
∴||2＝
＝－·－·＋·＋＋
＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2．
故||＝a，即MN＝a．
【教用·备选题】　在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD．
(1)证明：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值．
[解]　(1)证明：设＝j，＝k，则{i，j，k}构成空间的一个正交基底．
所以＝－k＋＝i＋ j－k，＝＋＝－i－k，所以·＝·(－i－k)＝－|i|2＋|k|2＝0，所以EF⊥B1C．
(2) ∵＝i＋ j－k，＝＋＝－k－ j，
||2＝＝|i|2＋|j|2＋|k|2＝3，||＝，
||2＝＝|k|2＋|j|2＝4＋＝，||＝，
∴cos 〈，〉＝＝＝＝．
即EF与C1G所成角的余弦值为．
1．若p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
B　[空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，若a，b，c是三个共面的非零向量，则{a，b，c}不能作为空间的一个基底；但若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c不共面，且a，b，c是三个非零向量，所以p是q的必要不充分条件．故选B．]
2
3
题号
1
4
√
2．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若，则x＋y＋z＝(　　)
A． 　　　B． 　　 C．1 　　 D．
D　[因为EC＝2PE，所以＝，所以＋＋＝＋＝＋＝＋＋，又因为，
所以则x＋y＋z＝．故选D．]
2
3
题号
4
1
√
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A． 　　 B． 　　 C． 　　D．
C　[设＝c，以{a，b，c}为基底，则＝a＋b＋c．
又＝2，＝，
所以cos 〈〉＝＝．
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．]
2
4
3
题号
1
4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，＝MC1，点N为B1B的中点，则||等于________．
a　[∵
＝，
∴＝
＝＝a．]
a　
1．知识链：(1)空间向量基本定理．(2)空间向量基本定理的应用．
2．方法链：转化化归、数形结合、类比．
3．警示牌：(1)基向量理解错误，忽视基向量的条件．
(2)利用基向量表示向量时，没有转化目标．
(3)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c满足什么条件？
2．叙述空间向量基本定理的内容．
[提示]　a，b，c不共面．
[提示]　如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
3．如何证明两种位置关系(垂直与平行)
[提示]　(1)要证两直线垂直，由数量积的性质a⊥b a·b＝0可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．
(2)要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可．
课时分层作业(四)
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空间向量基本定理
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS课时分层作业(四)　空间向量基本定理
一、选择题
1．已知点O，A，B，C为空间中不共面的四点，且向量a＝，向量b＝，则不能与a，b共同构成空间向量的一个基底的向量是(　　)
A． D．
C． D．以上都不能
2．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，E为BC延长线上一点，，则＝(　　)
A．
B．
C．
D．
3．在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝1，M是B1C1的中点，则AM＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
4．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，点M，N满足．若则x＋y＋z＝(　　)
A．－1　　　B．1　　　C．－　　　D．
5．(多选)如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等，则下列结论中正确的是(　　)
A．A1M∥D1P
B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1
D．A1M∥平面D1PQB1
二、填空题
6．在斜三棱柱A1B1C1 ABC中，BC的中点为M，＝c，则可用a，b，c表示为________．
7．如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若存在实数x，y，z，使向量则x＋2y＋3z＝________．
8．正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，则异面直线DM与CN所成角的余弦值为________．
三、解答题
9．如图，在棱长为1的正四面体OABC中，M是棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝AN．
(1)用向量表示；
(2)求．
10．(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有(　　)
A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥b
B．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c
C．若{}是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面
D．若{a，b，c}是空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间一个基底
11．(多选)在三棱锥P ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，则下列说法正确的是(　　)
A．EG⊥PG B．EG⊥BC
C．FG∥BC D．FG⊥EF
12．化学中，将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点)．则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为________．
13．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是________，线段EF的长度为________．
14．如图所示，在四棱锥E ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
(1)求证：DE∥平面ACF；
(2)求证：BD⊥AE；
(3)若AB＝CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
15．如图，在三棱锥P ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若，求证：为定值，并求出该定值．
4/41.2　空间向量基本定理
[学习目标]　1．了解空间向量基本定理及其意义．(数学抽象)
2．掌握空间向量的正交分解．(直观想象)
3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(逻辑推理、数学运算)
[讨论交流]　
问题1．类比平面向量基本定理，怎么推广得到空间向量基本定理？
问题2．空间基底的构成条件是什么？单位正交基底的构成条件是什么？
问题3．类比平面向量的分解，如何分解空间向量？
问题4．用向量解决几何问题的一般步骤是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　空间向量基本定理
探究问题1　如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O．对于任意一个空间向量p＝，p能否用i，j，k表示呢？
探究问题2　你能证明x，y，z的唯一性吗？
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[新知生成]
1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝________．
2．基底：把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
3．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量________，且长度都为________，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个________的向量，叫做把空间向量进行________．
[典例讲评]　1．{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋e2－e3，试判断{}能否作为空间的一个基底．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　基底的判断思路和注意问题
1．基本思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为空间的一个基底．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
2．注意问题
对于三个向量，若其中存在零向量，则这组向量不能作为基底；若其中存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
[学以致用]　1．若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且向量a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3不能构成空间的一个基底，则t＝(　　)
A．－1　　　B．1　　　C．0　　　D．－2
探究2　用基底表示空间向量
[典例讲评]　2．(源自北师大版教材)如图所示，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，点M是 A′B′C′D′的对角线的交点，点N是棱BC的中点．如果＝c，试用a，b，c表示．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[母题探究]　若把本例中“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？
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　用基底表示向量时应注意的两点
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是保证基向量的模及其夹角已知或易求．
[学以致用]　2．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，M是棱PC的中点，设＝c．
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若AM交平面BDP于N，用a，b，c表示向量．
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探究3　空间向量基本定理的初步应用
　证明空间位置关系
[典例讲评]　3．如图，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底证明：
(1)EG∥AC；
(2)平面EFG∥平面AB′C．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　(1)要证两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为0即可．
(2)要证两直线平行，只需证明两直线的方向向量a＝λb即可．
[学以致用]　3．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E，F分别为PC，BD的中点，用向量方法证明：
(1)EF∥平面PAD；
(2)EF⊥平面PCD．
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　求空间角
[典例讲评]　4．已知在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　基向量法求空间角的基本思路
将空间角转化为两条直线的方向向量的夹角(或其补角)，再用基向量表示两方向向量，并借助向量的运算求出角．
[学以致用]　4．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．
(1)设＝c，{a，b，c}构成空间的一个基底，用它们表示；
(2)求AC1与MN所成角的大小．
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　求距离(长度)问题
[典例讲评]　5．如图所示，在三棱锥O ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝1，OB＝2，OC＝3，E，F，P分别为AC，BC，EF的中点，以方向上的单位向量为基底，求OP的长度．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　求空间距离(长度)问题的步骤
(1)选取空间基向量，将待求线段对应的向量用基向量线性表示．
(2)求该向量的模，利用空间向量的数量积运算求得线段的长度．
[学以致用]　5．在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN．
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1．若p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若则x＋y＋z＝(　　)
A． B． C．1 D．
3．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A． B． C． D．
4．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，，点N为B1B的中点，则等于________．
1．知识链：(1)空间向量基本定理．(2)空间向量基本定理的应用．
2．方法链：转化化归、数形结合、类比．
3．警示牌：(1)基向量理解错误，忽视基向量的条件．
(2)利用基向量表示向量时，没有转化目标．
(3)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆．
6/81.2　空间向量基本定理
[学习目标]　1．了解空间向量基本定理及其意义．(数学抽象)
2．掌握空间向量的正交分解．(直观想象)
3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(逻辑推理、数学运算)
(教师用书)
在平面内，任意给定两个不共线的向量a，b，根据平面向量基本定理，对于该平面内的任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb．特别地，当a，b为直角坐标平面内的向量时，向量p就与坐标(x，y)建立了一一对应关系，从而将向量运算用坐标表示，简化了向量运算，为研究问题带来了极大的方便．那么，对于空间向量，有没有类似平面向量基本定理的结论呢？如图所示，设a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，是否可以用向量a，b，c来表示向量p？
[讨论交流]　
问题1．类比平面向量基本定理，怎么推广得到空间向量基本定理？
问题2．空间基底的构成条件是什么？单位正交基底的构成条件是什么？
问题3．类比平面向量的分解，如何分解空间向量？
问题4．用向量解决几何问题的一般步骤是什么？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　空间向量基本定理
探究问题1　如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O．对于任意一个空间向量p＝，p能否用i，j，k表示呢？
[提示]　如图，设在i，j所确定的平面上的投影向量，则．又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得＝zk，从而＋zk．在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xi＋yj．从而＋zk＝xi＋yj＋zk．
探究问题2　你能证明x，y，z的唯一性吗？
[提示]　假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk．
不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k．
两边同除以(x′－x)，得i＝ j＋k．
由向量共面的充要条件可知，i，j，k共面，这与已知矛盾．所以有序实数组(x，y，z)是唯一的．
[新知生成]
1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
2．基底：把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
3．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
【教用·微提醒】　(1)基底中不能有零向量．因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面．
(2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
(3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．
[典例讲评]　1．{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋e2－e3，试判断{}能否作为空间的一个基底．
[解]　假设共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使成立，
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，
即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面．
∴此方程组无解．
即不存在实数x，y使得，
所以不共面．
所以{}能作为空间的一个基底．
　基底的判断思路和注意问题
1．基本思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为空间的一个基底．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
2．注意问题
对于三个向量，若其中存在零向量，则这组向量不能作为基底；若其中存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
[学以致用]　1．若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且向量a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3不能构成空间的一个基底，则t＝(　　)
A．－1　　　B．1　　　C．0　　　D．－2
A　[因为a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3不能构成空间的一个基底，
所以存在实数x，y使得c＝xa＋yb，
即e1＋te3＝x(e1＋e2)＋y(e2＋e3)，
即e1＋te3＝xe1＋(x＋y)e2＋ye3，因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
则解得故选A．]
探究2　用基底表示空间向量
【链接·教材例题】
例1　如图1.2-2，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝ON，AP＝AN，用向量表示．
[分析]　是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底{}，可以用基底{}表示出来．
[解]　＋
＝＋
＝＋－
＝＋
＝＋＋．
[典例讲评]　2．(源自北师大版教材)如图所示，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，点M是 A′B′C′D′的对角线的交点，点N是棱BC的中点．如果＝c，试用a，b，c表示．
[解]　 因为点M为 A′B′C′D′的对角线的交点，
所以＝－(b＋a)．
又，
所以
＝－(b＋a)－c＋a＋
＝－c．
[母题探究]　若把本例中“＝a”改为“AC′＝a”，其他条件不变，则结果是什么？
[解]　因为点M为 A′B′C′D′的对角线的交点，
所以＝－c＋a，
所以(a－c)．
又＝b，所以，
所以
＝(a－c)－c－
＝．
　用基底表示向量时应注意的两点
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是保证基向量的模及其夹角已知或易求．
[学以致用]　2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，M是棱PC的中点，设＝c．
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若AM交平面BDP于N，用a，b，c表示向量．
[解]　(1)因为M是棱PC的中点，所以＝，
则＋＋＝b＋(c－a－b)＝－a＋b＋c．
(2)若AM交平面BDP于N，则B，D，N，P四点共面，
由向量共面定理可知：存在x，y∈R，使得＋(1－x－y)，
即＝xa＋yb＋(1－x－y)c，又A，N，M三点共线，则有，
又＝a＋＝(a＋b＋c)，
所以解得t＝，故＝(a＋b＋c)．
探究3　空间向量基本定理的初步应用
　证明空间位置关系
【链接·教材例题】
例2　如图1.2-3，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．求证：MN⊥AC1．
[分析]　要证MN⊥AC1，只需证明·＝0．
由已知，{，}可构成空间的一个基底．把和分别用基底表示，然后计算·即可．
[证明]　设＝b，＝c，这三个向量不共面，{a，b，c}构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则
＝＋＝a－b，
＝＋＝a＋b＋c，
所以
·＝·(a＋b＋c)
＝a·a＋a·b＋a·c－b·a－b·b－b·c
＝×42＋×42×cos 60°＋×4×5×cos 60°－×42×cos 60°－×42－×4×5×cos 60°
＝0．
所以MN⊥AC1．
[典例讲评]　3．如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底证明：
(1)EG∥AC；
(2)平面EFG∥平面AB′C．
[证明]　取基底{}，
(1)因为，所以∥，
又EG，AC无公共点，所以EG∥AC．
(2)因为，
，所以∥．
又FG，AB′无公共点，所以FG∥AB′．
又FG 平面AB′C，AB′ 平面AB′C，
所以FG∥平面AB′C．
又由(1)知EG∥AC，EG 平面AB′C，AC 平面AB′C，可得EG∥平面AB′C．
又FG∩EG＝G，FG，EG 平面EFG．
所以平面EFG∥平面AB′C．
　(1)要证两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为0即可．
(2)要证两直线平行，只需证明两直线的方向向量a＝λb即可．
[学以致用]　3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E，F分别为PC，BD的中点，用向量方法证明：
(1)EF∥平面PAD；
(2)EF⊥平面PCD．
[证明]　(1)连接PF(图略)，则＝－＝＋＝＋＝＋，所以向量共面，又EF 平面PAD，DA，PD 平面PAD，所以EF∥平面PAD．
(2)因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，CD 平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，又PA 平面PAD，所以CD⊥PA．
因为PA＝PD＝AD，所以PA⊥PD，所以·＝·＝··＝·＝·＝0，所以EF⊥PD，EF⊥CD，又PD，CD 平面PCD，PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD．
　求空间角
【链接·教材例题】
例3　如图1.2-4，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G分别为C′D′，A′D′，D′D的中点．
(1)求证：EF∥AC；
(2)求CE与AG所成角的余弦值．
[分析]　(1)要证明EF∥AC，只需证明共线．设＝j，DD′＝k，则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底，把分别用基向量表示，作相应的运算证明它们共线即可．(2)要求CE与AG所成角的余弦值，只需求所成角的余弦值即可．
(1)[证明]　设＝j，＝k，则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底．所以
＝－＝i－j＝(i－j)，
＝i－j．
所以＝．
所以EF∥AC．
(2)[解]　因为
＝＋＝－ j＋k，
＝－i＋k，
所以cos 〈〉＝＝＝．
所以CE与AG所成角的余弦值为．
[典例讲评]　4．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
C　[如图所示，设＝b，＝c，
则〈a，b〉＝120°，c⊥a，c⊥b，因为＝b＋c，＝
＝
＝
＝
＝．
又异面直线所成角的范围是，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．]
　基向量法求空间角的基本思路
将空间角转化为两条直线的方向向量的夹角(或其补角)，再用基向量表示两方向向量，并借助向量的运算求出角．
[学以致用]　4．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．
(1)设＝c，{a，b，c}构成空间的一个基底，用它们表示；
(2)求AC1与MN所成角的大小．
[解]　(1)
＝，
＝a＋b＋c．
(2)由(1)得·(a＋b＋c)
＝·c
＝＝0，
所以⊥，所以AC1与MN所成角为．
　求距离(长度)问题
[典例讲评]　5．如图所示，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝1，OB＝2，OC＝3，E，F，P分别为AC，BC，EF的中点，以方向上的单位向量为基底，求OP的长度．
[解]　令方向上的单位向量分别为i，j，k，则{i，j，k}是空间向量的一组单位正交基底．
因为＝＋＝＋＝＋＝＋＋＝ i＋ j＋ k，
所以||＝＝＝，即OP的长度为．
　求空间距离(长度)问题的步骤
(1)选取空间基向量，将待求线段对应的向量用基向量线性表示．
(2)求该向量的模，利用空间向量的数量积运算求得线段的长度．
[学以致用]
5．在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN．
[解]　∵
＝＋＋
＝－＋＋，
∴||2＝
＝－·－·＋·＋＋
＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2．
故||＝a，即MN＝a．
【教用·备选题】　在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD．
(1)证明：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值．
[解]　(1)证明：设＝j，＝k，则{i，j，k}构成空间的一个正交基底．
所以＝－k＋＝i＋j－k，＝＋＝－i－k，所以·＝·(－i－k)＝－|i|2＋|k|2＝0，
所以EF⊥B1C．
(2)∵＝i＋j－k，
＝＋＝－k－j，
||2＝＝|i|2＋|j|2＋|k|2＝3，||＝，
||2＝＝|k|2＋|j|2＝4＋＝，||＝，
∴cos 〈，〉＝＝＝＝．
即EF与C1G所成角的余弦值为．
1．若p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　[空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，若a，b，c是三个共面的非零向量，则{a，b，c}不能作为空间的一个基底；但若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c不共面，且a，b，c是三个非零向量，所以p是q的必要不充分条件．故选B．]
2．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若，则x＋y＋z＝(　　)
A． B． C．1 D．
D　[因为EC＝2PE，所以＝，所以＋＋＝＋＝＋＝＋＋，又因为，
所以则x＋y＋z＝．故选D．]
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A． B． C． D．
C　[设＝c，以{a，b，c}为基底，则＝a＋b＋c．
又＝2，＝，
所以cos 〈〉＝＝．
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．]
4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，＝MC1，点N为B1B的中点，则||等于________．
a　[∵＝，
∴＝＝＝a．]
1．知识链：(1)空间向量基本定理．(2)空间向量基本定理的应用．
2．方法链：转化化归、数形结合、类比．
3．警示牌：(1)基向量理解错误，忽视基向量的条件．
(2)利用基向量表示向量时，没有转化目标．
(3)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c满足什么条件？
[提示]　a，b，c不共面．
2．叙述空间向量基本定理的内容．
[提示]　如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
3．如何证明两种位置关系(垂直与平行)
[提示]　(1)要证两直线垂直，由数量积的性质a⊥b a·b＝0可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．
(2)要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可．
课时分层作业(四)　空间向量基本定理
一、选择题
1．已知点O，A，B，C为空间中不共面的四点，且向量a＝，向量b＝，则不能与a，b共同构成空间向量的一个基底的向量是(　　)
A． B．
C． D．以上都不能
C　[∵＝－＝(a－b)，∴与a，b共面，∴不能与a，b共同构成空间向量的一个基底．
易知均能与a，b共同构成空间向量的一个基底．故选C．]
2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC延长线上一点，，则D1E＝(　　)
A．
B．
C．
D．
B　[如图，取BC的中点F，连接A1F，则A1D1∥EF，且A1D1＝EF，∴四边形A1D1EF为平行四边形，则A1F∥D1E且A1F＝D1E，
∴，又，
∴．故选B．]
3．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝1，M是B1C1的中点，则AM＝(　　)
A． B． C． D．
C　[如图所示，＝，
故2＝，则AM＝．]
4．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，点M，N满足．若则x＋y＋z＝(　　)A．－1 B．1 C．－ D．
C　[∵＝＝，
∴＝－＝－
＝－＝－＋－，
∵，∴x＝－，y＝，z＝－，∴x＋y＋z＝－．
故选C．]
5．(多选)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等，则下列结论中正确的是(　　)
A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1
ACD　[依题意可知PQ∥BD∥B1D1，所以P，Q，B1，D1四点共面．因为，所以，则A1M∥D1P，结合线面平行的判定定理可知A，C，D正确．而B1Q与D1P不平行，所以B不正确．故选ACD．]
二、填空题
6．在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，BC的中点为M，A1B1＝a，A1C1＝b，A1A＝c，则B1M可用a，b，c表示为________．
c＋(b－a)　 [在△B1BM中，，又BC的中点为M，
则，因为A1B1C1 ABC为斜三棱柱，则，
故＝c＋(b－a)．]
7．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若存在实数x，y，z，使向量＋zAA1，则x＋2y＋3z＝________．
　[＝－，
又，
∴x＝－，z＝1，∴x＋2y＋3z＝－．]
8．正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，则异面直线DM与CN所成角的余弦值为________．
　[如图，画出对应的正四面体，设＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底．设正四面体ABCD的棱长均为1，因为＝－c＋(a＋b)＝(a＋b－2c)，＝a－b＝(a－2b)．
又a·b＝a·c＝b·c＝．
设异面直线DM与CN所成的角为θ，
则cos θ＝
＝
＝
＝＝．]
三、解答题
9．如图，在棱长为1的正四面体OABC中，M是棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝ON，AP＝AN．
(1)用向量表示；
(2)求||．
[解]　(1)＋＋＋．
(2)＋＋＝＋＋，
∴||2＝2＝＝＝，∴||＝．
10．(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有(　　)
A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥b
B．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c
C．若{}是空间的一个基底，且＝＋＋，则A，B，C，D四点共面
D．若{a，b，c}是空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间一个基底
ACD　[对于选项A，由空间向量基本定理可知，若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则向量a与b一定共线，故选项A正确；
对于选项B，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则向量a与c不能确定，可能平行，故选项B错误；
对于选项C，若{}是空间的一个基底，且＝＋＋，则由空间向量基本定理可得A，B，C，D四点共面，故选项C正确；
对于选项D，因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以对于空间中的任意一个向量m，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得m＝xa＋yb＋zc＝(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)，
由空间向量基本定理可知，向量{a＋b，b＋c，c＋a}也可以作为空间一个基底，故选项D正确．故选ACD．]
11．(多选)在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，则下列说法正确的是(　　)
A．EG⊥PG B．EG⊥BC
C．FG∥BC D．FG⊥EF
ABD　[如图，设＝c，则{a，b，c}是空间的一个正交基底，
则a·b＝a·c＝b·c＝0，取AB的中点H，则＝＝×(a＋b)＝a＋b，
＋＋＝c＋b，
＝a＋b－b－c＝a－b－c，＝c－b，
＝a＋b－b＝a，
＝b－＝－c－b，
∴·＝0，A正确；·＝0，B正确；≠(λ∈R)，C不正确；·＝0，D正确．故选ABD．]
12．化学中，将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点)．则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为________．
　[设该立方体的棱长为a，取{}为空间向量的一个基底，其中〈〉＝90°，〈〉＝90°，〈〉＝90°．
∵
，
设BF与B1E所成角为θ，
则cos θ＝＝
＝
＝，即BF与B1E所成角的余弦值为．]
13．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是________，线段EF的长度为________．
　a　[设＝c，则{a，b，c}是空间的一个基底，
∴|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝a·c＝b·c＝a2．
∵＝(a＋b)－c，
∴·＝a2＋a·b－a·c＝a2，
||＝＝a，
∴cos 〈〉＝＝＝，
∴异面直线EF与AB所成的角为．]
14．如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
(1)求证：DE∥平面ACF；
(2)求证：BD⊥AE；
(3)若AB＝CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)证明：设＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底，且|a|＝|b|，a·b＝b·c＝c·a＝0．
依题意得＝＝a＋c．
设(x，y∈R)，则c－b＝x(a＋b)＋y＝＋xb＋yc，
因此解得
又不共线，
所以共面．又直线DE不在平面ACF内，所以DE∥平面ACF．
(2)证明：依题意得＝－a－b＋c＝c－a－b，则·＝(b－a)·(c－a－b)＝－b2＋a2＝0，因此⊥，从而BD⊥AE．
(3)由AB＝CE，设|a|＝|b|＝2，则|c|＝，假设在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．由O，G，E三点共线，设＝(1－λ)＝λa＋λb＋(1－λ)c(0≤λ≤1)．
∵BD⊥AC，BD⊥EC，EC∩AC＝C，∴BD⊥平面ECO，又CG 平面ECO，∴CG⊥BD．
由CG⊥平面BDE，知CG⊥DE，而＝c－b，
所以·＝·(c－b)＝(1－λ)c2－λb2＝2－4λ＝0，解得λ＝，即点G是线段EO的中点时，满足题意，此时＝．
15．如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝，求证：＋＋为定值，并求出该定值．
[解]　连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略)．
由题意，可令{}为空间的一个基底，
＝＝＝＋×
＝＋×＝＋＋＝＋＋．
∵点D，E，F，M共面，
∴存在实数λ，μ使得，
即＝λ＋μ，
∴＝(1－λ－μ)＝(1－λ－μ)，
由空间向量基本定理，知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt，
∴＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值．
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