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第15讲
万有引力定律及其应用
一、开普勒三定律的理解和应用
1.开普勒第一定律(轨道定律)
（1）内容 ：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，
太阳处在椭圆的一个焦点上。
（2）对开普勒第一定律的理解
①开普勒第一定律说明了行星的运动轨道是椭圆，不同行星椭圆轨道则是不同的。太阳处于这些椭圆的一个焦点上，而不是位于椭圆的中心。不同的行星位于不同的椭圆轨道上，而不是位于同一椭圆轨道；而且不同行星的椭圆轨道一般不在同一平面内。
②由第一定律出发，行星运动时，轨道上出现了近日点和远日点。
一、开普勒三定律的理解和应用
2.开普勒第二定律(面积定律)
（1）内容 ： 对任意一个行星来说，它与太阳的
连线在相等的时间内扫过相等的面积．
（2）对开普勒第二定律的理解
①如图所示，行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上．
如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由开普勒第二定律，在 同一轨道上，,即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率就越大，反之，速率越小。
②行星在近日点a速率最大，远日点b速率最小。行星从近日点到远日点的过程中做减速运动，从远日点到近日点的过程中做加速运动。
一、开普勒三定律的理解和应用
3.开普勒第三定律(周期定律)
（1）内容 ： 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转
周期的二次方的比值都相等．若用a代表椭圆轨道的半长轴，
T代表公转周期，即(其中，比值k是一个与行星无关的常量)
（2）对开普勒第三定律的理解
开普勒三定律不仅适用于行星，也适用于其他天体。例如对于木星的所有卫星来说，它们的一定相同，但常量k的值跟太阳系各行星绕太阳运动的k值不同．开普勒恒量k的值只跟(行星运动时所围绕的)中心天体的质量有关．不同的中心天体k值不同。但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。
一、开普勒三定律的理解和应用
例1 (多选)如图1所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中(　　)
CD
结论：同一椭圆轨道，物体靠近中心天体的
AD
例2 (多选)如图2所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有(　　)
例1、例2可知：若行星运动轨道为椭圆轨道，只能用开普勒定律解决；若行星运动轨道为圆轨道，则用圆周运动规律解题(即=Fn)；
二、万有引力定律的理解
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。
2．表达式：，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪许利用扭秤实验测出。
3．适用条件
（1）公式适用于质点间的相互作用。当r>>物体本身
（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
（3）当r趋于零时任何物体都不能再视为质点，公式不成立，
二、万有引力定律的理解
4．对万有引力定律的理解：
普适性:万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一
相互性:两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上
宏观性:一般物体间的万有引力非常小，只有质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计
万有引力表达式只适用于质点间的作用。天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力。
考点二　万有引力定律的理解和应用
D
例3 (2023·新课标卷，17)2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5 800 kg的物资进入距离地面约400 km(小于地球同步卫星与地面的距离)的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资(　　)
A.质量比静止在地面上时小
B.所受合力比静止在地面上时小
C.所受地球引力比静止在地面上时大
D.做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
角度　　万有引力定律的理解及简单计算
A
例4 有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从球体中挖去半径为0.5R的小球体，如图3所示，引力常量为G，则剩余部分对m的万有引力为(　　)
角度　　“挖补法”求解万有引力
（1）未挖出小球前大球对球外小球的万有引力大小为
（2）将所挖出的其中一个小球填在原位置，则填入左侧原位置小球对球外小球的万有引力为
（3）大球中剩余部分对球外小球的万有引力大 小为
例4 有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从球体中挖去半径为0.5R的小球体，如图3所示，引力常量为G，则剩余部分对m的万有引力为(　　)
提示 (1)形状的要求:大球内挖掉小球。挖掉其他形状物体的情况不可用此法。
(2)三心的位置关系:大球球心、小球球心、第三个球的球心(或质点),若三心共线,则
三力共线,可转化为代数运算;若三心不共线,则三力不共线,遵循矢量运算法则。
三、万有引力与重力的关系
1.关系推导
重力是因地面附近的物体受到地球的万有引力
而产生的;如图所示,F引产生两个效果:
一是提供物体随地球自转所需的向心力;
二是产生物体的重力。
由于F向=mω2r,向心力随纬度的增大而减小,
所以物体的重力随纬度的增大而增大,
即重力加速度从赤道到两极逐渐增大。
考虑地球自转：
注意 (1)F向很小,在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等,即G =mg，
GM=gR2又叫黄金代换式。（忽略地球自转）
(2)在地球同一纬度处,因为物体所受万有引力随物体离地面高度的增加而减小,所以
重力加速度随物体离地面高度的增加而减小,即g'=G 。
三、万有引力与重力的关系
例5一头质量为m的北极熊在失去家园后，被运送到了位于赤道上的北极熊馆加以照料，它在北极和馆内的重力差为ΔF。已知地球自转周期为T。根据以上信息，可求出地球的半径为(　　)
四、星体上空及星体内部重力加速度的求解
推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。
证明：
一个匀质球层可以等效为由许多厚度极小的匀质球壳组成，任取一个球壳，设球壳内有一个质量为m的质点，某时刻质点在P位置（任意位置）处，以质点所在位置P为顶点，作两个底面面积足够小的对顶圆锥，这时，两个圆锥底面不仅可以视为平面，还可以视为质点。
四、星体上空及星体内部重力加速度的求解
推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。
证明：
设空腔内质点m到两圆锥底面中心的距离分别为r 、r ，两圆锥底面的半径分别为R 、R ，球壳的厚度为△h，球壳的密度为ρ.根据万有引力定律，两圆锥底面对质点的引力可以表示为
四、星体上空及星体内部重力加速度的求解
证明：
根据相似三角形对应边成比例，有
则两个万有引力之比为因为两引力方向相反，所以引力的合力为零.
以此类推，球壳上其他任意两对应部分对质点的合引力为零，整个球壳对质点的合力为零，故由多个球壳组成的球层对质点的合力也为零，即∑F＝0.
四、星体上空及星体内部重力加速度的求解
推论1:在匀质球壳空腔内的任意位置处,质点受到的万有引力的合力为0，即∑F=0。
推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即
推论2理解：质点(m)受到的万有引力可视为厚度为（R-r）的球层和半径为r的匀质球的万有引力的合力，结合在匀质球壳空腔内的任意位置处,质点受到的万有引力的合力为0，即∑F=0。
所以质点(m)受到的万有引力可认为由半径为r的匀质球的万有引力提供。
四、星体上空及星体内部重力加速度的求解
(3)在地球内部距离地心r处的重力加速度为g″,由万有引力推论2可得mg″= r,即
g″= r。
C
例6 近几年来，我国生产的“蛟龙号”下潜突破7 000 m大关，我国的北斗导航系统也进入紧密的组网阶段。已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为(　　)
天体质量和密度的计算方法
考点三　天体质量和密度的计算
C
例7 我国是第三个对火星探测并将探测器着陆火星的国家，探测器在环绕火星表面飞行时周期是T。火星表面气体非常稀薄可近似认为真空，在火星表面附近以初速度v0水平抛出一个物体，测得抛出点距火星表面高度为h，落到火星表面时物体的水平位移为x，已知引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
角度　　重力加速度法
D
例8 (2023·辽宁卷，7)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图5所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为(　　)
角度　　环绕法
图5
ACD
训练1(多选)(2024·山东临沂模拟)中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星。某同学想根据平时收集的部分火星资料计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的公式正确的是(引力常量G已知，忽略火星自转的影响)( 　　)
火星的小档案
直径d＝6 794 km
质量M＝6.421 9×1023 kg
表面重力加速度g0＝3.7 m/s2近火卫星周期T＝3.4 h
训练2 某卫星绕地球运动的椭圆轨道如图所示,F1和F2为椭圆的焦点。卫星由A经B到C的过程中,卫星的速度逐渐增大,且路程AB与路程BC相等。已知卫星由A运动到B、由B运动到C的过程中,卫星与地心的连线扫过的面积分别为S1和S2。下列说法正确的是(　　)
A.地球位于焦点F1处
B.S1一定大于S2
C.卫星由A运动到C,加速度减小
D.卫星由A运动到C,引力势能增加
B
训练3 (2023湖北武汉模拟)“嫦娥五号”探测器登月飞行的轨道示意图如图所示,探测器通过推进器制动从圆形轨道Ⅰ上的P点进入椭圆过渡轨道Ⅱ,然后在轨道Ⅱ的近月点Q再次制动进入近月圆形轨道Ⅲ。已知轨道Ⅰ的半径是轨道Ⅲ的半径的两倍,不考虑其他天体引力的影响。下列说法正确的是(　　)
A.探测器登月飞行的过程中机械能增大
B.探测器在轨道Ⅰ与轨道Ⅲ上的运行速率的比值为1∶2
C.探测器在轨道Ⅱ上经过P点的速率与经过Q点的速率的比值为1∶2
D.探测器在轨道Ⅱ与轨道Ⅲ上的运行周期的比值为3∶2
C
训练4.有质量的物体周围存在着引力场。万有引力和库仑力有类似的规律,因此我们可以用定义静电场的电场强度的方法来定义引力场的场强。由此可得,质量为m的质点在质量为m0的物体处(二者间距为r)的引力场场强的表达式为(引力常量用G表示)(　　)
B
训练5.2022年8月10日,我国在太原卫星发射中心用长征六号运载火箭成功将“吉林一号”组网星中的16颗卫星发射升空,卫星顺利进入预定的环绕地球运动轨道,发射任务取得圆满成功。这16颗卫星的轨道平面各异,高度不同,通过测量发现,它们的轨道半径的三次方与运动周期的二次方成正比,且比例系数为p。已知引力常量为G,由此可知地球的质量为(　　)
C
训练6.(2023天津宝坻二模)航天员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球,测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R,引力常量为G。忽略月球自转的影响,则下列说法正确的是(　　)
D

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