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2026届理工附中高二数学国庆测试卷(3)
一、选择题
1、正方体中，直线与直线所成的角、直线与平面所成的角分别为（ ）
A． B． C． D．
2、如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（ ）
A． B． C． D．
3、如图，在底面为正方形的四棱锥中，底面，，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，为正方体，下面结论错误的是（　　）
A．平面 B．
C．平面 D．异面直线与所成的角为
5.如图，在菱形ABCD中，，沿对角线AC折起，使平面平面ACD，则二面角的平面角的余弦值为( ).
A. B. C. D.2
6.已知P为正方形ABCD所在平面外一点，平面ABCD，若，则平面PAB与平面PCD所成角的大小为( )
A. B. C. D.
7.在正方体中，动点P在上(含端点)，则BP与所成角的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知四棱锥的底面为矩形，平面，，，直线PD与平面PAC所成角的正弦值为，则四棱锥的体积为( )
A.4 B. C. D.8
9．在底面为等边三角形的三棱柱中，已知平面ABC，，，D是棱的中点，M是四边形内的动点，若平面ABD，则线段长度的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
10.如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为CD，的中点，则下列结论错误的是( )
A.点F到点E的距离为 B.点F到直线的距离为
C.点F到平面的距离为 D.平面到平面的距离为
二、填空题
11.设，，若，则___________.
12．如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则 .
13、如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，点是棱上一点，，若且满足平面，则______．
14.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，且平面，，点F为PC的中点，则二面角的正切值为__________.
15．在四棱锥中，面，四边形为直角梯形，，，，则平面与平面夹角的余弦值为 ，异面直线与的距离为 ．
16.《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，其中四边形ABCD为矩形，，若，和都是正三角形，且，则异面直线AE与CF所成角的大小为__________.
解答题
17．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．
(1)求的长；
(2)求与夹角的余弦值．
18．如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点在线段上且，点是线段上的动点.
(1)当点在什么位置时，直线平面？请说明理由；
(2)当直线平面时，求平面与平面夹角的余弦值.
19.如图1，在平面图形ABCDE中，，，，，沿BD将折起，使点C到F的位置，且，，如图2.
(1)求证：平面平面AEG.
(2)线段FG上是否存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为 若存在，求出GM的长；若不存在，请说明理由.
2026届理工附中高二数学国庆测试卷(3)
一、选择题
1、正方体中，直线与直线所成的角、直线与平面所成的角分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2、如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
3、在底面为正方形的四棱锥中，底面，，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
4．如图，为正方体，下面结论错误的是（　　）
A．平面
B．
C．平面
D．异面直线与所成的角为
答案：D
5.如图，在菱形ABCD中，，沿对角线AC折起，使平面平面ACD，则二面角的平面角的余弦值为( ).
A. B. C. D.2
5.答案：A
解析：取AC的中点O，以OC，OD，OB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建系，则平面ABC的法向量，平面ACD的法向量，所以.
6.已知P为正方形ABCD所在平面外一点，平面ABCD，若，则平面PAB与平面PCD所成角的大小为( )
A. B. C. D.
6.答案：B
解析：方法一：分析知PA，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，.取PD的中点为E，连接AE，则，.又是平面PAB的一个法向量，是平面PCD的一个法向量，，平面PAB与平面PCD所成角的大小为.
方法二：平面，平面，，又四边形ABCD为正方形，，，，平面，平面PAD，又平面，平面，平面平面PAD，平面平面，为平面PAB与平面PCD所成的角.，，.
7.在正方体中，动点P在上(含端点)，则BP与所成角的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.答案：D
解析：以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，点P的坐标为，
则，.
设，的夹角为，
则，
所以当时，取最大值，此时.
当时，取最小值，此时.
8.已知四棱锥的底面为矩形，平面，，，直线PD与平面PAC所成角的正弦值为，则四棱锥的体积为( )
A.4 B. C. D.8
8.答案：B
解析：因为平面，平面ABCD，所以，，又，所以以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系.设，则，，，所以，.设平面PAC的一个法向量为，则取，得.又，与平面PAC所成角的正弦值为，所以，解得或(舍去)，则，所以.
9．在底面为等边三角形的三棱柱中，已知平面ABC，，，D是棱的中点，M是四边形内的动点，若平面ABD，则线段长度的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
答案：D
10.如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为CD，的中点，则下列结论错误的是( )
A.点F到点E的距离为
B.点F到直线的距离为
C.点F到平面的距离为
D.平面到平面的距离为
10.答案：D
解析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，所以，，，.设平面的一个法向量为，则取，得.点F到点E的距离为，故A正确；点F到直线的距离为，故B正确；点F到平面的距离为，故C正确；由正方体的性质可知平面平面，所以平面到平面的距离即点F到平面的距离，为，故D错误.
二、填空题
11.设，，若，则___________.
11.答案：9
解析：由，得，
解得，，，.
12．如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则 .
12．
【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长.
【详解】由条件知，，，
又二面角的平面角为，则，
所以
，所以.
故答案为：
13、如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，点是棱上一点，，若且满足平面，则______．
【答案】
14.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，且平面，，点F为PC的中点，则二面角的正切值为__________.
14.答案：
解析：如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设，则，所以，，，，所以，，.显然为平面BDF的一个法向量.设平面BCF的一个法向量为，则令，可得，所以，，所以，故二面角的正切值为.
15．在四棱锥中，面，四边形为直角梯形，，，，则平面与平面夹角的余弦值为 ，异面直线与的距离为 ．
15．
【分析】第一空，建系利用空间向量求解即可；第二空，与的距离即为到平面的距离，即点C到面的距离，用等体积求解即可．
【详解】第一空，
∵⊥面，，面，
∴，．
又∵，∴，
∴，，两两垂直．
∴以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，
，，，，
设，分别为平面与平面的法向量，则
，即，令，取，
，即，令，取，
则，
设平面与平面的夹角为θ，
则，
∴平面与平面夹角的余弦值为．
第二空，
如图，取中点M，连接，，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵面，面，
∴面，
∴与的距离为到面的距离，
即点C到面的距离．
设点C到面的距离为h，
，，
由，
得，
解得，
∴异面直线与的距离为．
故答案为：，.
16.《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，其中四边形ABCD为矩形，，若，和都是正三角形，且，则异面直线AE与CF所成角的大小为__________.
16.答案：
解析：方法一(建系法)如图，以矩形ABCD的中心O为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.设，则，，，，，，所以，，所以，所以，所以异面直线AE与CF所成的角为.
方法二：如图，在平面ABFE中，过点F作交AB于点G，连接CG，则或其补角为异面直线AE与CF所成的角.设，则，.因为，，所以四边形AEFG为平行四边形，所以，，.又，所以，又，所以，所以，即异面直线AE与CF所成的角为.
解答题
17．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．

(1)求的长；
(2)求与夹角的余弦值．
17．(1)
(2)
【分析】（1）表达出，平方后，结合数量积运算法则计算出，求出的长为；
（2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案.
【详解】（1）由题意知：，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即的长为，
（2）∵，
∴，
∴，
，
∴，
即与夹角的余弦值为．
18．如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点在线段上且，点是线段上的动点.

(1)当点在什么位置时，直线平面？请说明理由；
(2)当直线平面时，求平面与平面夹角的余弦值.
18．(1)点是线段上靠近点的三等分点时，直线平面,理由见解析.
(2)
【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明；
（2）利用空间向量的坐标运算，求平明与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）当点是线段上靠近点的三等分点时，直线平面,理由如下，
过点作交于点，过点作交于点，连接.
因为平面，所以平面.
因为,平面，所以平面,
又，平面,
则平面平面，因为平面,所以平面.
所以当点是线段上靠近点的三等分点时，直线平面.
（2）
以的中点为原点建立如图所示空间直角坐标系,
则,设，
由即得，，
，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，即.
而平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角，
所以.
又因为观察可知，平面与平面夹角为锐角，所以.
19.如图1，在平面图形ABCDE中，，，，，沿BD将折起，使点C到F的位置，且，，如图2.
(1)求证：平面平面AEG.
(2)线段FG上是否存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为 若存在，求出GM的长；若不存在，请说明理由.
19.解析：(1)因为，所以，
又，所以.
因为，，
所以四边形ABDE为等腰梯形，
又，所以，
所以，所以，即，
因为，，平面AEG，所以平面AEG，
又平面GEBF，所以平面平面AEG.
(2)由(1)知EA，EB，EG两两互相垂直.
以E为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，四边形GEBF是矩形，所以，
即，，.
假设线段FG上存在点M满足题意，
令，则，，.
设平面MAB的一个法向量为，
则令，则.
由题知平面AEG的一个法向量为.
设平面MAB与平面AEG所成角为，
则，，
所以，所以，即.
综上，线段FG上存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为，且.

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