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探源1　椭圆的定义、标准方程与几何性质
[命题点分析]　椭圆及其方程、几何性质是高考的重点内容，常常在选择题、填空题或解答题的第一问中出现，着重考查椭圆的定义、标准方程、基本量之间的关系、离心率等，一般需要结合几何图形求解，主要考查数学运算和逻辑推理等数学核心素养．
【案例1】　(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
A　[由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，解得a＝．故选A．]
[考题来源]　本题来源于教材P112例4，两题均考查了由椭圆的标准方程求离心率，试题考查了考生对椭圆离心率计算公式的掌握程度，同时考查了考生的逻辑思维能力、运算求解能力，难度稍高于教材．
【案例2】　(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在C上，cos ∠F1PF2＝＝(　　)
A． B． C． D．
B　[椭圆＋＝1，F1，F2为两个焦点，c＝，
O为原点，P为椭圆上一点，cos ∠F1PF2＝，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨令m＞n，
可得m＋n＝6，4c2＝m2＋n2－2mn cos ∠F1PF2，
即12＝m2＋n2－mn，
可得mn＝，m2＋n2＝21，，
可得|PO|2＝＝(m2＋n2＋2mn cos ∠F1PF2)＝＝＝．
所以|PO|＝．故选B．]
[考题来源]　本考题来源于教材P109练习T3，高考题和教材习题均以椭圆的标准方程为载体，考查了椭圆的定义，高考题还进一步考查了三角形的边角关系，余弦定理，同时考查了考生的逻辑推理与分析问题的能力，以及运算求解的综合能力，难度高于教材．
[试题评价]　这两个考题都考查了椭圆的方程、定义、几何性质等知识点，考查了学生逻辑推理、数学运算等核心素养及数形结合、化归与转化的思想方法．
探源2　双曲线的定义、标准方程与几何性质
[命题点分析]　双曲线的标准方程、几何性质是高考考查的重点内容，但是高考对双曲线几何性质的要求较低，一般是求离心率、渐近线方程等．已知离心率或渐近线求双曲线的方程时要注意双曲线两种标准方程(焦点在x轴上和焦点在y轴上)的区别与联系，主要考查逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养．
【案例3】　(2023·北京卷)已知双曲线C的焦点为(－2，0)和(2，0)，离心率为，则C的方程为________．
－＝1　[根据题意可设所求方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
又解得a＝，c＝2，b2＝2，
∴所求方程为－＝1．]
[考题来源]　本考题来源于教材P124练习T2，与教材命题角度高度一致，都是考查双曲线方程的求解，难度相当，属基础题．
【案例4】　(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A． B． C． D．
D　[根据双曲线的离心率e＝＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．
法一：由得5x2－16x＋12＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝．
所以|AB|＝
＝×＝，故选D．
法二：圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝＝＝2＝2＝，故选D．]
[考题来源]　本考题来源于教材P128习题3.2T12，高考题和教材习题都考查了双曲线的离心率、渐近线等相关概念，同时也考查了考生的逻辑推理能力与运算求解的综合能力，难度相当．
[试题评价]　这两个考题都以双曲线的标准方程为载体，考查了双曲线的标准方程、几何性质、难度不大，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．
探源3　抛物线的定义、标准方程与几何性质
[命题点分析]　抛物线的标准方程与定义是高考考查的重点，本部分内容常与圆、椭圆、双曲线进行综合考查，难度一般不大．
【案例5】　(2023·全国乙卷)已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则点A到C的准线的距离为________．
　[将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－，所以点A到准线的距离为1－＝．]
[考题来源]　本考题来源于教材P138习题3.3T4与教材P133练习T3(2)两题的综合，既与习题3.3T4一样考查了已知抛物线上一点求抛物线的方程，又与教材P133T3(2)一样考查了抛物线上的点到准线的距离；将教材习题完美糅合到高考题中，难度稍高于教材，主要考查了抛物线的定义，标准方程、几何性质等必备知识．
【案例6】　(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　)
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
AC　[由题意，易知直线y＝－(x－1)过点(1，0)．
对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以＝1，即p＝2，所以A选项正确．
对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1对于C，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为，半径r＝＝＝＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，故C选项正确．
对于D，由两点间距离公式可得|OM|＝＝＝，故D选项错误．综上，故选AC．]
[考题来源]　本考题来源于教材P146复习参考题3T10，高考题和教材复习参考题都综合性的考查了抛物线的方程，抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，难度高于教材，考查考生的直观想象能力和运算求解能力，以及数形结合的思想方法．
[试题评价]　抛物线部分的试题考查考生对抛物线与直线的位置关系和度量的理解，以及抛物线的有关概念、几何意义(包括焦点、准线等)的掌握，体现了直观想象、数学运算等核心素养．
探源4　直线与圆锥曲线的位置关系
[命题点分析]　直线与椭圆、抛物线的位置关系是高考的热点，近两年，高考对直线与双曲线的位置关系也进行考查．主要以解答题的形式考查直线与圆锥曲线相交、相切，定点、定值、最值等问题，难度中等或偏大．
【案例7】　(2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．
[解]　(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，c为双曲线C的半焦距，
由题意可得解得
所以双曲线C的方程为－＝1．
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
则x1＝my1－4，x2＝my2－4．
联立得(4m2－1)y2－32my＋48＝0．
因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ＞0．
由根与系数的关系得所以y1＋y2＝y1y2．
因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，
所以A1(－2，0)，A2(2，0)．
直线MA1的方程为＝，直线NA2的方程为＝，
所以＝，得＝，＝＝．
因为＝
＝
＝
＝－3，
所以＝－3，解得x＝－1，
所以点P在定直线x＝－1上．
[考题来源]　本考题来源于教材P127习题3.2T8，来源于教材但难度远高于教材，属于难题．
[试题评价]　本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的方程、性质以及直线与双曲线的位置关系与度量关系，考查双曲线标准方程及其有关概念的联系，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养．
2/5(共25张PPT)
高考命题探源(三)
第三章　圆锥曲线的方程
[命题点分析]　椭圆及其方程、几何性质是高考的重点内容，常常在选择题、填空题或解答题的第一问中出现，着重考查椭圆的定义、标准方程、基本量之间的关系、离心率等，一般需要结合几何图形求解，主要考查数学运算和逻辑推理等数学核心素养．
探源1　椭圆的定义、标准方程与几何性质
【案例1】　(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
√
A　[由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，解得a＝．故选A．]
[考题来源]　本题来源于教材P112例4，两题均考查了由椭圆的标准方程求离心率，试题考查了考生对椭圆离心率计算公式的掌握程度，同时考查了考生的逻辑思维能力、运算求解能力，难度稍高于
教材．
【案例2】　(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在C上，cos ∠F1PF2＝＝(　　)
A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．
√
B　[椭圆＋＝1，F1，F2为两个焦点，c＝，
O为原点，P为椭圆上一点，cos ∠F1PF2＝，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨令m＞n，
可得m＋n＝6，4c2＝m2＋n2－2mn cos ∠F1PF2，即12＝m2＋n2－mn，
可得mn＝，m2＋n2＝21， ，
可得|PO|2＝＝(m2＋n2＋2mn cos ∠F1PF2)＝＝＝．
所以|PO|＝．故选B．]
[考题来源]　本考题来源于教材P109练习T3，高考题和教材习题均以椭圆的标准方程为载体，考查了椭圆的定义，高考题还进一步考查了三角形的边角关系，余弦定理，同时考查了考生的逻辑推理与分析问题的能力，以及运算求解的综合能力，难度高于教材．
[试题评价]　这两个考题都考查了椭圆的方程、定义、几何性质等知识点，考查了学生逻辑推理、数学运算等核心素养及数形结合、化归与转化的思想方法．
探源2　双曲线的定义、标准方程与几何性质
[命题点分析]　双曲线的标准方程、几何性质是高考考查的重点内容，但是高考对双曲线几何性质的要求较低，一般是求离心率、渐近线方程等．已知离心率或渐近线求双曲线的方程时要注意双曲线两种标准方程(焦点在x轴上和焦点在y轴上)的区别与联系，主要考查逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养．
【案例3】　(2023·北京卷)已知双曲线C的焦点为(－2，0)和(2，0)，离心率为，则C的方程为___________．
－＝1　[根据题意可设所求方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
又解得a＝，c＝2，b2＝2，
∴所求方程为－＝1．]
－＝1　
[考题来源]　本考题来源于教材P124练习T2，与教材命题角度高度一致，都是考查双曲线方程的求解，难度相当，属基础题．
【案例4】　(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．
√
D　[根据双曲线的离心率e＝＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．
法一：由得5x2－16x＋12＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝．
所以|AB|＝＝×＝，故选D．
法二：圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝＝＝2
＝2＝，故选D．]
[考题来源]　本考题来源于教材P128习题3.2T12，高考题和教材习题都考查了双曲线的离心率、渐近线等相关概念，同时也考查了考生的逻辑推理能力与运算求解的综合能力，难度相当．
[试题评价]　这两个考题都以双曲线的标准方程为载体，考查了双曲线的标准方程、几何性质、难度不大，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．
探源3　抛物线的定义、标准方程与几何性质
[命题点分析]　抛物线的标准方程与定义是高考考查的重点，本部分内容常与圆、椭圆、双曲线进行综合考查，难度一般不大．
【案例5】　(2023·全国乙卷)已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则点A到C的准线的距离为____．
　[将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－，所以点A到准线的距离为1－＝．]
　
[考题来源]　本考题来源于教材P138习题3.3T4与教材P133练习T3(2)两题的综合，既与习题3.3T4一样考查了已知抛物线上一点求抛物线的方程，又与教材P133T3(2)一样考查了抛物线上的点到准线的距离；将教材习题完美糅合到高考题中，难度稍高于教材，主要考查了抛物线的定义，标准方程、几何性质等必备知识．
【案例6】　(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　)
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
√
√
AC　[由题意，易知直线y＝－(x－1)过点(1，0)．
对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以＝1，即p＝2，所以A选项正确．
对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1联立方程得消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，
解得x1＝，x2＝3．由抛物线的定义得，|MN|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，故B选项错误．
对于C，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为，半径r＝＝＝＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，故C选项正确．
对于D，由两点间距离公式可得|OM|＝＝＝，故D选项错误．综上，故选AC．]
[考题来源]　本考题来源于教材P146复习参考题3T10，高考题和教材复习参考题都综合性的考查了抛物线的方程，抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，难度高于教材，考查考生的直观想象能力和运算求解能力，以及数形结合的思想方法．
[试题评价]　抛物线部分的试题考查考生对抛物线与直线的位置关系和度量的理解，以及抛物线的有关概念、几何意义(包括焦点、准线等)的掌握，体现了直观想象、数学运算等核心素养．
[命题点分析]　直线与椭圆、抛物线的位置关系是高考的热点，近两年，高考对直线与双曲线的位置关系也进行考查．主要以解答题的形式考查直线与圆锥曲线相交、相切，定点、定值、最值等问题，难度中等或偏大．
探源4　直线与圆锥曲线的位置关系
【案例7】　(2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．
[解]　(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，c为双曲线C的半焦距，
由题意可得解得
所以双曲线C的方程为－＝1．
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
则x1＝my1－4，x2＝my2－4．
联立得(4m2－1)y2－32my＋48＝0．
因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ＞0．
由根与系数的关系得所以y1＋y2＝y1y2．
因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，所以A1(－2，0)，A2(2，0)．
直线MA1的方程为＝，直线NA2的方程为＝，
所以＝，得＝，＝＝．
因为＝＝
＝＝－3，
所以＝－3，解得x＝－1，所以点P在定直线x＝－1上．
[考题来源]　本考题来源于教材P127习题3.2T8，来源于教材但难度远高于教材，属于难题．
[试题评价]　本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的方程、性质以及直线与双曲线的位置关系与度量关系，考查双曲线标准方程及其有关概念的联系，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养．
THANKS探源1　椭圆的定义、标准方程与几何性质
[命题点分析]　椭圆及其方程、几何性质是高考的重点内容，常常在选择题、填空题或解答题的第一问中出现，着重考查椭圆的定义、标准方程、基本量之间的关系、离心率等，一般需要结合几何图形求解，主要考查数学运算和逻辑推理等数学核心素养．
【案例1】　(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[考题来源]　本题来源于教材P112例4，两题均考查了由椭圆的标准方程求离心率，试题考查了考生对椭圆离心率计算公式的掌握程度，同时考查了考生的逻辑思维能力、运算求解能力，难度稍高于教材．
【案例2】　(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆＝1的两个焦点，点P在C上，cos ∠F1PF2＝＝(　　)
A． B． C． D．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[考题来源]　本考题来源于教材P109练习T3，高考题和教材习题均以椭圆的标准方程为载体，考查了椭圆的定义，高考题还进一步考查了三角形的边角关系，余弦定理，同时考查了考生的逻辑推理与分析问题的能力，以及运算求解的综合能力，难度高于教材．
[试题评价]　这两个考题都考查了椭圆的方程、定义、几何性质等知识点，考查了学生逻辑推理、数学运算等核心素养及数形结合、化归与转化的思想方法．
探源2　双曲线的定义、标准方程与几何性质
[命题点分析]　双曲线的标准方程、几何性质是高考考查的重点内容，但是高考对双曲线几何性质的要求较低，一般是求离心率、渐近线方程等．已知离心率或渐近线求双曲线的方程时要注意双曲线两种标准方程(焦点在x轴上和焦点在y轴上)的区别与联系，主要考查逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养．
【案例3】　(2023·北京卷)已知双曲线C的焦点为(－2，0)和(2，0)，离心率为，则C的方程为________．
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[考题来源]　本考题来源于教材P124练习T2，与教材命题角度高度一致，都是考查双曲线方程的求解，难度相当，属基础题．
【案例4】　(2023·全国甲卷)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A． B． C． D．
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[考题来源]　本考题来源于教材P128习题3.2T12，高考题和教材习题都考查了双曲线的离心率、渐近线等相关概念，同时也考查了考生的逻辑推理能力与运算求解的综合能力，难度相当．
[试题评价]　这两个考题都以双曲线的标准方程为载体，考查了双曲线的标准方程、几何性质、难度不大，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．
探源3　抛物线的定义、标准方程与几何性质
[命题点分析]　抛物线的标准方程与定义是高考考查的重点，本部分内容常与圆、椭圆、双曲线进行综合考查，难度一般不大．
【案例5】　(2023·全国乙卷)已知点A在抛物线C：y2＝2px上，则点A到C的准线的距离为________．
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[考题来源]　本考题来源于教材P138习题3.3T4与教材P133练习T3(2)两题的综合，既与习题3.3T4一样考查了已知抛物线上一点求抛物线的方程，又与教材P133T3(2)一样考查了抛物线上的点到准线的距离；将教材习题完美糅合到高考题中，难度稍高于教材，主要考查了抛物线的定义，标准方程、几何性质等必备知识．
【案例6】　(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　)
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
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[考题来源]　本考题来源于教材P146复习参考题3T10，高考题和教材复习参考题都综合性的考查了抛物线的方程，抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，难度高于教材，考查考生的直观想象能力和运算求解能力，以及数形结合的思想方法．
[试题评价]　抛物线部分的试题考查考生对抛物线与直线的位置关系和度量的理解，以及抛物线的有关概念、几何意义(包括焦点、准线等)的掌握，体现了直观想象、数学运算等核心素养．
探源4　直线与圆锥曲线的位置关系
[命题点分析]　直线与椭圆、抛物线的位置关系是高考的热点，近两年，高考对直线与双曲线的位置关系也进行考查．主要以解答题的形式考查直线与圆锥曲线相交、相切，定点、定值、最值等问题，难度中等或偏大．
【案例7】　(2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．
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[考题来源]　本考题来源于教材P127习题3.2T8，来源于教材但难度远高于教材，属于难题．
[试题评价]　本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的方程、性质以及直线与双曲线的位置关系与度量关系，考查双曲线标准方程及其有关概念的联系，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养．
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