资源简介

(共28张PPT)
章末重构拓展
第三章　圆锥曲线的方程
巩固层·知识重构
类型1　圆锥曲线的定义及标准方程
1．圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．
2．求圆锥曲线标准方程的常用方法
(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到动点的轨迹方程．
(2)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数．
3．圆锥曲线定义的应用及标准方程的求解体现了逻辑推理、数学运算、直观想象的数学学科素养．
提升层·题型探究
【例1】　(1)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．2　　　 B．4　　　 C．6　　 　 D．8
(2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－y2＝1 D．－＝1
√
√
(1)B　(2)C　[(1)由双曲线的方程得a＝1，c＝
＝2．在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2+
|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos 60°，即()2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4．
(2)双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，
即点(－2，－1)在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，则p＝4，
则抛物线的焦点为(2，0)，∴双曲线的左顶点为(－2，0)，即a＝2．
点(－2，－1)在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±x，
由双曲线的性质，可得b＝1．则双曲线的方程为－y2＝1．
故选C．]
类型2　圆锥曲线的几何性质
1．圆锥曲线的几何性质主要包括范围、对称性、顶点、焦点、离心率、渐近线等，通常考查由方程求性质，或由性质求方程．
2．求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的
方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与焦点三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
3．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．
【例2】　(1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为12，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1　 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
√
(2)已知双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过右焦点F作双曲线在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线C的左、右支的交点分别为点A，B．
①求证：P在直线x＝上；
②求双曲线C的离心率e的取值范围；
③若|AP|＝3|PB|，求离心率e．
(1)D　[由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，
|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12．
所以a＝3．因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2．
所以b2＝a2－c2＝5．所以椭圆C的方程为＋＝1．]
(2)[解]　①证明：由题意知，l：y＝－(x－c)，由y＝x及y＝－(x－c)，联立解得点P的坐标为，所以点P在直线x＝上．
②由消去y并整理得(b4－a4)x2＋2a4cx－a2(a2c2＋b4)＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝．
由于点A，B分别在两支上，
所以x1·x2＝<0，所以b2>a2，即c2>2a2，所以e>．
③由题意知：P分AB所成的比λ＝3，所以＝，
即x1＋3x2＝．又由x1＋x2＝，
解得x1＝，x2＝，
从而·＝，
化简得4a2＝b2，
所以e＝＝＝．
类型3　直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判
别式．
2．借用直线与圆锥曲线的位置关系问题培养直观想象和数学运算的学科素养．
【例3】　已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，C上的动点A到点F与到直线x＝－2的距离之和的最小值为3．
(1)求C的方程；
(2)过点A作直线交C于另一点B，过点A作C的切线l′，点P在l′上．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立．
①点P在l上；
②直线PB与C相切；
③点F在直线AB上．
[解]　(1)设A(x0，y0)，x0≥0，由题意知准线l：x＝－，F，
由抛物线的定义可知点A到点F的距离等于点A到准线l的距离，
所以点A到点F的距离与到直线x＝－2的距离之和为x0＋＋x0＋2＝2x0＋2＋，
由题意知当x0＝0时，距离之和最小，所以2＋＝3，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)证明：由(1)可得F(1，0)．由题意可知直线l′的斜率不为0，
故设A(x1，y1)，直线l′：x－x1＝m(y－y1)，
因为点A在抛物线C上，所以＝4x1，
联立化简得y2－4my＋4my1－4x1＝0，
因为直线l′与抛物线C相切，所以Δ＝16m2－16my1＋16x1＝0，
即Δ＝16m2－16my1＋＝4(2m－y1)2＝0，解得m＝，
所以直线l′：x－x1＝(y－y1)，由＝4x1，
则直线l′方程为y1y＝2(x＋x1)．
若选择①②作为条件，证明③成立：
设B(x2，y2)，y2≠y1≠0，同理可得直线PB：y2y＝2(x＋x2)，
设P(－1，t)，点P在直线l′上，P在PB上，
则ty1＝2(－1＋x1)，ty2＝2(－1＋x2)，所以点A，B在直线ty＝2(x－1)上，
因为F(1，0)，代入AB方程中成立，所以点F在直线AB上，即③成立．
若选择②③作为条件，证明①成立：
设B(x2，y2)，y2≠y1≠0，同理可得直线PB：y2y＝2(x＋x2)，
联立即解得xP＝．
设直线AB：x＝ty＋1，联立得y2－4ty－4＝0，
则Δ＝16t2＋16＞0，y1y2＝－4，所以xP＝＝－1，
所以点P在l上，即①成立．
若选择①③作为条件，证明②成立：
设B(x2，y2)，y2≠y1≠0，若直线PB与C相切，
则直线PB：y2y＝2(x＋x2)，在直线l′：y1y＝2(x＋x1)中，令x＝－1，
得y＝，所以P．
设直线AB：x＝ty＋1，联立得y2－4ty－4＝0，
则Δ＝16t2＋16＞0，y1y2＝－4，则y2＝－，所以B，
所以kPB＝＝＝＝
＝－＝－×＝，
则直线PB：y－＝(x＋1)，又y1y2＝－＝4x2，所以PB：y2y＝2(x＋x2)，所以直线PB与C相切，即②成立．
类型4　圆锥曲线的综合问题
1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系的证明及定点、定值、最值、探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解．
2．本类型题目在考查时通常第一问涉及定义、方程以及几何性质的求解，较为简单；第二问综合性强，计算量大，较为复杂．
3．通过圆锥曲线综合问题的解决，培养学生逻辑推理和数学运算的学科素养．
【例4】　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为B1，B2，且四边形B1F1B2F2的面积为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点M，直线l1：y＝kx＋m(km≠0)与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点N，若＝，求△NF1F2面积的取值
范围．
[解]　(1)由椭圆的离心率为，可设a＝2t，c＝t(t＞0)，则b＝t，四个顶点构成的四边形为菱形，
其面积为S＝·2c·2b＝·2t·2t＝2t2＝2，即t＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1．
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立
消去y，可得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，
则m2＜3＋4k2，x1＋x2＝，x1x2＝，
设PQ的中点为H，则xH＝＝，所以H，
因为＝所以·k＝－1，
所以－＝，即＝－，所以m＝－(3＋4k2)，
又N(0，m)，所以＝＝|m|＝(3＋4k2)＞×3＝，
又m2＜3＋4k2，所以m2＜3，所以，
所以＜，
所以△NF1F2面积的取值范围为．
章末综合测评(三)
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圆锥曲线的方程
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS类型1　圆锥曲线的定义及标准方程
1．圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．
2．求圆锥曲线标准方程的常用方法
(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到动点的轨迹方程．
(2)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数．
3．圆锥曲线定义的应用及标准方程的求解体现了逻辑推理、数学运算、直观想象的数学学科素养．
【例1】　(1)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．2　　　 B．4　　　 C．6　　　 D．8
(2)已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．－y2＝1 D．＝1
[尝试解答]___________________________________________________________
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类型2　圆锥曲线的几何性质
1．圆锥曲线的几何性质主要包括范围、对称性、顶点、焦点、离心率、渐近线等，通常考查由方程求性质，或由性质求方程．
2．求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与焦点三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
3．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．
【例2】　(1)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为12，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1　 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)已知双曲线C的方程为＝1(a>0，b>0)，过右焦点F作双曲线在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线C的左、右支的交点分别为点A，B．
①求证：P在直线x＝上；
②求双曲线C的离心率e的取值范围；
③若|AP|＝3|PB|，求离心率e．
[尝试解答]___________________________________________________________
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类型3　直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式．
2．借用直线与圆锥曲线的位置关系问题培养直观想象和数学运算的学科素养．
【例3】　已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，C上的动点A到点F与到直线x＝－2的距离之和的最小值为3．
(1)求C的方程；
(2)过点A作直线交C于另一点B，过点A作C的切线l′，点P在l′上．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立．
①点P在l上；
②直线PB与C相切；
③点F在直线AB上．
[尝试解答]___________________________________________________________
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类型4　圆锥曲线的综合问题
1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系的证明及定点、定值、最值、探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解．
2．本类型题目在考查时通常第一问涉及定义、方程以及几何性质的求解，较为简单；第二问综合性强，计算量大，较为复杂．
3．通过圆锥曲线综合问题的解决，培养学生逻辑推理和数学运算的学科素养．
【例4】　已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为B1，B2，且四边形B1F1B2F2的面积为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点M，直线l1：y＝kx＋m(km≠0)与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点N，若＝，求△NF1F2面积的取值范围．
[尝试解答]___________________________________________________________
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5/5章末综合测评(三)　圆锥曲线的方程
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的顶点为O，经过点A(x0，2)，且F为抛物线C的焦点，若|AF|＝3|OF|，则p＝(　　)
A．　　　B．1　　　C．　　　D．2
3．双曲线＝1与椭圆＝1的焦点相同，则a＝(　　)
A．1　　　B．－2　　　C．1或－2　　　D．2
4．已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点P在C上，则|PF1|2＋|PF2|2的取值范围是(　　)
A．[1，16] B．[4，10]
C．[8，10] D．[8，16]
5．(2024·天津卷)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
6．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　)
A．3　　　B．2　　　C．2　　　D．4
7．如图，在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C1：＝1(a1＞b1＞0)与双曲线C2：＝1(a2＞0，b2＞0)有相同的焦点F1，F2，C2的渐近线分别交C1于A，C和B，D四点，若多边形ABF2CDF1为正六边形，则C1与C2的离心率之和为(　　)
A．－1 B．2
C．＋1 D．2
8．在矩形ABB′A′中，|A′A|＝8，|AB|＝6，把边AB分成n等份，在B′B的延长线上，以B′B的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和点A′作直线，过B′B延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图所示，建立平面直角坐标系，则点P满足的方程可能是(　　)
A．＝1(x≥4，y≥0) B．＝1(x≥8，y≥0)
C．＝1(x≥4，y≥0) D．＝1(x≥8，y≥0)
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若方程＝1所表示的曲线为C，则下面命题中正确的是(　　)
A．若1C．若C为双曲线，则焦距为4 D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则310．已知曲线C上任意一点到直线x＝－4的距离比它到点F(2，0)的距离大2，则下列结论正确的是(　　)
A．曲线C的方程为y2＝8x　
B．若曲线C上的一点A到点F的距离为4，则点A的纵坐标是4
C．已知曲线C上的两点M，N到点F的距离之和为10，则线段MN的中点横坐标是5
D．已知A(3，2)，P是曲线C上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为5
11．如图，双曲线E：x2－y2＝4的左、右焦点分别为F1，F2，右支上有点M，△F1MF2的面积为4，则(　　)
A．双曲线E的渐近线斜率为±1 B．|MF1|－|MF2|＝2
C．∠F1MF2＝90° D．△F1MF2外接圆半径为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝8y交于A，B两个不同的点，P为AB的中点，F为C的焦点，直线l与y轴交于点Q，则·的取值范围是________．
13．已知焦点在y轴上的椭圆＝1被直线3x－y－2＝0截得的弦的中点横坐标为，则正数a＝________．
14．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，且|DE|＝，则直线l的方程为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P到点F1，F2的距离之和等于4．
(1)试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程；
(2)若曲线C与直线m：y＝x－1相交于A，B两点，求弦AB的长．
16．(15分)已知抛物线C：y2＝－2px(p＞0)，A(－6，y0)是抛物线C上的点，且|AF|＝10．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知直线l交抛物线C于M，N两点，且MN的中点为(－4，2)，求直线l的方程．
17．(15分)已知双曲线E：x2－＝1(b>0)，点P(2，3)在E上．
(1)求E的方程；
(2)过点Q(0，1)的直线l交E于不同的两点A，B(均异于点P)，求直线PA，PB的斜率之和．
18．(17分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线上，且点M的横坐标为4，|MF|＝5．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，求|AB|＋|DE|的最小值．
19．(17分)(2024·全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴．
(1)求C的方程；
(2)过点P(4，0)的直线与C交于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴．
4/5类型1　圆锥曲线的定义及标准方程
1．圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．
2．求圆锥曲线标准方程的常用方法
(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到动点的轨迹方程．
(2)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数．
3．圆锥曲线定义的应用及标准方程的求解体现了逻辑推理、数学运算、直观想象的数学学科素养．
【例1】　(1)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．2　　　 B．4　　　 C．6　　　 D．8
(2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－y2＝1 D．－＝1
(1)B　(2)C　[(1)由双曲线的方程得a＝1，c＝＝2．在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°，即()2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4．
(2)双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，
即点(－2，－1)在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，则p＝4，
则抛物线的焦点为(2，0)，∴双曲线的左顶点为(－2，0)，即a＝2．
点(－2，－1)在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±x，
由双曲线的性质，可得b＝1．则双曲线的方程为－y2＝1．故选C．]
类型2　圆锥曲线的几何性质
1．圆锥曲线的几何性质主要包括范围、对称性、顶点、焦点、离心率、渐近线等，通常考查由方程求性质，或由性质求方程．
2．求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与焦点三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
3．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．
【例2】　(1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为12，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1　 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
(2)已知双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过右焦点F作双曲线在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线C的左、右支的交点分别为点A，B．
①求证：P在直线x＝上；
②求双曲线C的离心率e的取值范围；
③若|AP|＝3|PB|，求离心率e．
(1)D　[由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，
|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12．
所以a＝3．因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2．
所以b2＝a2－c2＝5．所以椭圆C的方程为＋＝1．]
(2)[解]　①证明：由题意知，l：y＝－(x－c)，由y＝x及y＝－(x－c)，联立解得点P的坐标为，所以点P在直线x＝上．
②由消去y并整理得(b4－a4)x2＋2a4cx－a2(a2c2＋b4)＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1·x2＝．
由于点A，B分别在两支上，
所以x1·x2＝<0，所以b2>a2，即c2>2a2，所以e>．
③由题意知：P分AB所成的比λ＝3，
所以＝，
即x1＋3x2＝．
又由x1＋x2＝，
解得x1＝，x2＝，
从而·＝，
化简得4a2＝b2，
所以e＝＝＝．
类型3　直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式．
2．借用直线与圆锥曲线的位置关系问题培养直观想象和数学运算的学科素养．
【例3】　已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，C上的动点A到点F与到直线x＝－2的距离之和的最小值为3．
(1)求C的方程；
(2)过点A作直线交C于另一点B，过点A作C的切线l′，点P在l′上．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立．
①点P在l上；
②直线PB与C相切；
③点F在直线AB上．
[解]　(1)设A(x0，y0)，x0≥0，由题意知准线l：x＝－，F，
由抛物线的定义可知点A到点F的距离等于点A到准线l的距离，
所以点A到点F的距离与到直线x＝－2的距离之和为x0＋＋x0＋2＝2x0＋2＋，
由题意知当x0＝0时，距离之和最小，所以2＋＝3，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)证明：由(1)可得F(1，0)．由题意可知直线l′的斜率不为0，
故设A(x1，y1)，直线l′：x－x1＝m(y－y1)，
因为点A在抛物线C上，所以＝4x1，
联立化简得y2－4my＋4my1－4x1＝0，
因为直线l′与抛物线C相切，所以Δ＝16m2－16my1＋16x1＝0，
即Δ＝16m2－16my1＋＝4(2m－y1)2＝0，解得m＝，
所以直线l′：x－x1＝(y－y1)，由＝4x1，
则直线l′方程为y1y＝2(x＋x1)．
若选择①②作为条件，证明③成立：
设B(x2，y2)，y2≠y1≠0，同理可得直线PB：y2y＝2(x＋x2)，
设P(－1，t)，点P在直线l′上，P在PB上，
则ty1＝2(－1＋x1)，ty2＝2(－1＋x2)，所以点A，B在直线ty＝2(x－1)上，
因为F(1，0)，代入AB方程中成立，所以点F在直线AB上，即③成立．
若选择②③作为条件，证明①成立：
设B(x2，y2)，y2≠y1≠0，同理可得直线PB：y2y＝2(x＋x2)，
联立即解得xP＝．
设直线AB：x＝ty＋1，联立得y2－4ty－4＝0，
则Δ＝16t2＋16＞0，y1y2＝－4，所以xP＝＝－1，
所以点P在l上，即①成立．
若选择①③作为条件，证明②成立：
设B(x2，y2)，y2≠y1≠0，若直线PB与C相切，
则直线PB：y2y＝2(x＋x2)，在直线l′：y1y＝2(x＋x1)中，令x＝－1，
得y＝，所以P．
设直线AB：x＝ty＋1，联立得y2－4ty－4＝0，
则Δ＝16t2＋16＞0，y1y2＝－4，
则y2＝－，所以B，
所以kPB＝＝＝＝＝－＝－×＝，
则直线PB：y－＝(x＋1)，又y1y2＝－＝4x2，所以PB：y2y＝2(x＋x2)，所以直线PB与C相切，即②成立．
类型4　圆锥曲线的综合问题
1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系的证明及定点、定值、最值、探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解．
2．本类型题目在考查时通常第一问涉及定义、方程以及几何性质的求解，较为简单；第二问综合性强，计算量大，较为复杂．
3．通过圆锥曲线综合问题的解决，培养学生逻辑推理和数学运算的学科素养．
【例4】　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为B1，B2，且四边形B1F1B2F2的面积为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点M，直线l1：y＝kx＋m(km≠0)与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点N，若＝，求△NF1F2面积的取值范围．
[解]　(1)由椭圆的离心率为，可设a＝2t，c＝t(t＞0)，则b＝t，四个顶点构成的四边形为菱形，
其面积为S＝·2c·2b＝·2t·2t＝2t2＝2，即t＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1．
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立
消去y，可得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，
则m2＜3＋4k2，x1＋x2＝，x1x2＝，
设PQ的中点为H，则xH＝＝，所以H，
因为＝
所以·k＝－1，
所以－＝，即＝－，所以m＝－(3＋4k2)，
又N(0，m)，所以＝＝|m|＝(3＋4k2)＞×3＝，
又m2＜3＋4k2，所以m2＜3，所以，
所以＜，
所以△NF1F2面积的取值范围为．
章末综合测评(三)　圆锥曲线的方程
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
B　[由题意可设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
因为双曲线的焦距为8，则2c＝8，所以c＝4，
又双曲线的离心率为＝2，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝16－4＝12，
所以双曲线的标准方程为－＝1，故选B．]
2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的顶点为O，经过点A(x0，2)，且F为抛物线C的焦点，若|AF|＝3|OF|，则p＝(　　)
A． B．1 C． D．2
C　[由|AF|＝3＝，所以x0＝p，
则4＝2p2，解得p＝．故选C．]
3．双曲线－＝1与椭圆＋＝1的焦点相同，则a＝(　　)
A．1 B．－2 C．1或－2 D．2
A　[因为双曲线－＝1的焦点在x轴上，
所以椭圆＋＝1的焦点在x轴上，
依题意得解得a＝1．]
4．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在C上，则|PF1|2＋|PF2|2的取值范围是(　　)
A．[1，16] B．[4，10]
C．[8，10] D．[8，16]
C　[已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在C上，
设|PF1|＝t，则t∈[1，3]，则|PF2|＝4－t，
则|PF1|2＋|PF2|2＝t2＋(4－t)2＝2(t－2)2＋8，又t∈[1，3]，
则|PF1|2＋|PF2|2∈[8，10]，故选C．]
5．(2024·天津卷)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
C　[如图，由题可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，设|PF2|＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2，所以sin θ1＝，
因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，则，即tan θ2＝，sin θ2＝＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶，
则由|PF2|＝m得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝m，由·2m·m＝8得m＝2，
则|PF2|＝2＝4＝2c＝，
由双曲线的定义可得：|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以a＝，
所以双曲线的方程为＝1．故选C．]
6．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　)
A．3 B．2 C．2 D．4
C　[设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意得a2＝b2＋4．
由消去x，
得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋b2(16－a2)＝0．
∵椭圆与直线有且仅有一个交点，
∴Δ＝(8b2)2－4(a2＋3b2)·b2(16－a2)＝4a2b2·(a2＋3b2－16)＝0，∴a2＝7，从而长轴长为2．]
7．如图，在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C1：＋＝1(a1＞b1＞0)与双曲线C2：－＝1(a2＞0，b2＞0)有相同的焦点F1，F2，C2的渐近线分别交C1于A，C和B，D四点，若多边形ABF2CDF1为正六边形，则C1与C2的离心率之和为(　　)
A．－1 B．2 C．＋1 D．2
C　[由题意可知，|AB|＝|OF1|＝|AF1|＝c．
∵多边形ABF2CDF1为正六边形，∴∠BOF2＝60°，∴＝tan 60°＝，∴双曲线C2的离心率e2＝＝＝2．
连接AF2(图略)，则|AF2|＝＝，
又∵＝c，∴|AF1|＋|AF2|＝c＋c＝2a1，
∴椭圆C1的离心率e1＝＝＝－1，
∴C1与C2的离心率之和为2＋－1＝＋1，故选C．]
8．在矩形ABB′A′中，|A′A|＝8，|AB|＝6，把边AB分成n等份，在B′B的延长线上，以B′B的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和点A′作直线，过B′B延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图所示，建立平面直角坐标系，则点P满足的方程可能是(　　)
A．＋＝1(x≥4，y≥0)
B．＋＝1(x≥8，y≥0)
C．－＝1(x≥4，y≥0)
D．－＝1(x≥8，y≥0)
C　[设P(x0，y0)，则x0≥4，y0≥0，根据题意，易得直线lA′P：y＝(x＋4)，直线lAP：y＝(x－4)．
由lA′P：y＝(x＋4)，令x＝4，得y＝，因此边AB上各分点坐标为．
由lAP：y＝(x－4)，令y＝6，得x＝＋4，因此B′B延长线上的对应分点坐标为．
结合题意，可知＝，化简得－＝1．
因此点P满足的方程为－＝1(x≥4，y≥0)．
故选C．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面命题中正确的是(　　)
A．若1B．若t<1，则C为双曲线
C．若C为双曲线，则焦距为4
D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3BD　[对于A，若方程＋＝1表示椭圆，
则满足
解得1当t＝3时，此时方程为x2＋y2＝2表示圆，所以A不正确；
对于B，当t<1时，5－t>0，t－1<0，此时表示焦点在x轴上的双曲线，所以B正确；
对于C，当t＝0时，方程－＝1所表示的曲线为双曲线，此时双曲线的焦距为2，所以C不正确；
若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则满足
解得3所以D正确．
故选BD．]
10．已知曲线C上任意一点到直线x＝－4的距离比它到点F(2，0)的距离大2，则下列结论正确的是(　　)
A．曲线C的方程为y2＝8x　
B．若曲线C上的一点A到点F的距离为4，则点A的纵坐标是4
C．已知曲线C上的两点M，N到点F的距离之和为10，则线段MN的中点横坐标是5
D．已知A(3，2)，P是曲线C上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为5
AD　[由题可知，曲线C上任意一点到直线x＝－2的距离与到点F(2，0)的距离相等，
所以曲线C的轨迹是以F为焦点的抛物线，方程为y2＝8x，故A正确；
由抛物线的定义，A到直线x＝－2的距离为4，则A点的横坐标为2，
代入抛物线方程得纵坐标为±4，故B错误；
设M，N的横坐标为x1，x2，
由抛物线定义得：x1＋2＋x2＋2＝10，即x1＋x2＝6，
所以线段MN的中点的横坐标为3，故C错误；
设点P到准线的距离为d，由抛物线的定义，
有|PA|＋|PF|＝|PA|＋d≥3－(－2)＝5，故D正确．故选AD．]
11．如图，双曲线E：x2－y2＝4的左、右焦点分别为F1，F2，右支上有点M，△F1MF2的面积为4，则(　　)
A．双曲线E的渐近线斜率为±1
B．|MF1|－|MF2|＝2
C．∠F1MF2＝90°
D．△F1MF2外接圆半径为2
ACD　[因为双曲线E：x2－y2＝4可化为－＝1，
所以a＝2，b＝2，c＝2＝2c＝4，F1(－2，0)，F2(2，0)，
则双曲线E的渐近线方程为y＝±x，
即斜率为±1，故A正确；
由双曲线的定义可得|MF1|－|MF2|＝2a＝4，故B错误；
不妨设M(x0，y0)(x0，y0＞0)，因为△F1MF2的面积为4，
所以＝＝×4×y0＝4，则y0＝，
又＝4，则x0＝，故M(，)，
所以MF1＝(－2－，－)，MF2＝(2－，－)，
则MF1·MF2＝(－2－)(2－)＋(－)2＝0，
所以MF1⊥MF2，则∠F1MF2＝90°，故C正确；
因为O为F1F2的中点，∠F1MF2＝90°，所以O为△F1MF2外接圆的圆心，
所以△F1MF2外接圆半径为|OF1|＝c＝2，故D正确．故选ACD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝8y交于A，B两个不同的点，P为AB的中点，F为C的焦点，直线l与y轴交于点Q，则的取值范围是________．
(16，＋∞)　[抛物线C：x2＝8y的焦点F(0，2)，
直线l：y＝kx－2与y轴的交点Q(0，－2)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点P，联立整理可得：x2－8kx＋16＝0，
Δ＝64k2－4×16＞0，即k＞1或k＜－1，x1＋x2＝8k，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝8k2－4，即P(4k，4k2－2)，则·＝(0，4)·(4k，4k2)＝16k2＞16．]
13．已知焦点在y轴上的椭圆＋＝1被直线3x－y－2＝0截得的弦的中点横坐标为，则正数a＝________．
　[由题意焦点在y轴上的椭圆＋＝1(a＞)，
把直线方程y＝3x－2代入椭圆方程整理得(a2＋18)x2－24x＋2(4－a2)＝0．
设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系可得，x1＋x2＝，
椭圆＋＝1被直线3x－y－2＝0截得的弦的中点横坐标为，
由中点坐标公式可得×＝，∴a2＝6，可得a＝．]
14．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，且|DE|＝，则直线l的方程为________．
2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0　[设|AB|＝2r(2r≥4)，AB的中点为M，MN⊥y轴于点N，过A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A1，B1，如图：
由抛物线的定义知
2(|MN|＋1)＝|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝|AB|＝2r，故|MN|＝r－1，所以|DE|＝2＝r，
即16r2－50r＋25＝0，解得r＝或r＝(舍去)，故M的横坐标为，
设直线l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将y＝k(x－1)代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
则x1＋x2＝＝3，解得k＝±2，故直线l的方程为2x±y－2＝0．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P到点F1，F2的距离之和等于4．
(1)试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程；
(2)若曲线C与直线m：y＝x－1相交于A，B两点，求弦AB的长．
[解]　(1)因为|PF1|＋|PF2|＝4＞|F1F2|＝2，所以由椭圆的定义可知点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则2a＝4，c＝1，则a＝2，b＝＝，
所以点P的轨迹方程为＋＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y得7x2－8x－8＝0，Δ＞0，
则x1＋x2＝，x1x2＝－．
所以|AB|＝·＝．
16．(15分)已知抛物线C：y2＝－2px(p＞0)，A(－6，y0)是抛物线C上的点，且|AF|＝10．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知直线l交抛物线C于M，N两点，且MN的中点为(－4，2)，求直线l的方程．
[解]　(1)因为点A(－6，y0)在抛物线C上，
所以|AF|＝6＋＝10，
解得p＝8，故抛物线C的方程为y2＝－16x．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则所以＝16(x2－x1)，化简为(y1－y2)(y1＋y2)＝－16(x1－x2)，又因为MN的中点为(－4，2)，所以y1＋y2＝4，
则＝－4，故直线l的斜率为－4，所以直线l的方程为y－2＝－4(x＋4)，
整理得4x＋y＋14＝0．
17．(15分)已知双曲线E：x2－＝1(b>0)，点P(2，3)在E上．
(1)求E的方程；
(2)过点Q(0，1)的直线l交E于不同的两点A，B(均异于点P)，求直线PA，PB的斜率之和．
[解]　(1)因为点P(2，3)在E上，所以4－＝1，得b2＝3．
所以双曲线E的方程为x2－＝1．
(2)过点Q(0，1)的直线l的斜率显然存在，设l的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立l的方程和双曲线E的方程并整理得(3－k2)x2－2kx－4＝0，依题意3－k2≠0，且Δ>0，所以k2<4且k2≠3，又P l，所以k≠1，
因此，可得x1＋x2＝，x1x2＝．
所以kPA＋kPB＝＋
＝＋
＝2k＋(2k－2)
＝2k＋
＝2k＋
＝2k＋3－2k＝3．
所以直线PA，PB的斜率之和为3．
18．(17分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线上，且点M的横坐标为4，|MF|＝5．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，求|AB|＋|DE|的最小值．
[解]　(1)因为点M在抛物线上，且点M的横坐标为4，|MF|＝5，
所以|MF|＝4＋＝5，解得p＝2，则抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)，直线l1的方程为y＝k1(x－1)，联立消去y并整理得＝0，
此时Δ＝2－＋16＞0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－＝，同理得x3＋x4＝，
因为直线l1，l2相互垂直，所以k1k2＝－1，
所以|AB|＋|DE|＝x1＋x2＋x3＋x4＋2p＝＋＋4＝＋＋8≥2＋8＝16，
当且仅当k1＝－k2＝1或k1＝－k2＝－1时，等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为16．
19．(17分)(2024·全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴．
(1)求C的方程；
(2)过点P(4，0)的直线与C交于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴．
[解]　(1)设F(c，0)，由题设有c＝1且，故，故a＝2，故b＝，
故椭圆方程为＝1．
(2)证明：直线AB的斜率必定存在，设AB：y＝k(x－4)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由可得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，
故Δ＝1 024k4－4(3＋4k2)(64k2－12)>0，
故－，
又x1＋x2＝，
而N，故直线BN：y＝，
故yQ＝，
所以y1－yQ＝y1＋
＝
＝
＝k
＝k
＝k＝0，
故y1＝yQ，即AQ⊥y轴．
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