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探究课2　为什么 y＝±x是双曲线－＝1的渐近线
第三章　圆锥曲线的方程
1．双曲线的渐近线的定义
若存在一条直线l，使得双曲线C趋向无穷远处时与直线l越来越近，则称直线l为双曲线C的渐近线．
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的探讨
当x>0，y>0时，由－＝1得y＝b＝x，
当x→＋∞时，→1，故猜测在第一象限内，x→＋∞时，双曲线无限地接近于直线y＝x．
知识提炼
3．在第一象限内，如何证明直线l：y＝x是双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线？
如图所示，过点M作MQ⊥l于点Q，过点M作PM⊥x轴交l于点P，
则|PM|＞|QM|．
设M(xM，yM)，则yM＝，yP＝xM．
所以|PM|＝yP－yM＝(xM－)＝．
当xM→＋∞时，xM＋→0，
即点M到直线l的距离|QM|→0，
故在第一象限内，直线l为双曲线的渐近线．
根据双曲线的对称性，y＝±x是双曲线－＝1的渐近线．
4．共渐近线的双曲线方程的探索
(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程是－＝λ(λ≠0)，当λ>0时，其焦点在x轴上；当λ<0时，其焦点在y轴上．
(2)方程－＝λ(λ≠0)中，令λ＝0得双曲线－＝λ(λ≠0)的渐近线方程是±＝0，即y＝±x．
典例探究
【典例】　(1)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
√
(2)如图，已知F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为___________．
y＝±x
(1)B　(2)y＝±x　[(1)∵双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝2，
∴＝＝＝，∴此双曲线的渐近线的斜率为±，
∴此双曲线的渐近线的倾斜角是或．故选B．
(2)设F2(c，0)(c＞0)，P(c，y0)，
则－＝1，解得y0＝，∴＝．
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，
则|PF1|＝2|PF2|，①
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，②
由①②得|PF2|＝2a．
∵|PF2|＝，∴2a＝，即b2＝2a2．∴＝．
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x．]
1．与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，2)的双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
对点训练
√
D　[设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
把点(－3，2)代入，得－＝λ，
解得λ＝，∴所求的双曲线方程为－＝1．故选D．]
2．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m＞0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为_____．
4　[双曲线C：－y2＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±x，即x± y＝0，又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，即x＋ y＝0，对比两式可得，m＝3．设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2＝4．]
4　
THANKS　为什么y＝±x是双曲线－＝1的渐近线
1．双曲线的渐近线的定义
若存在一条直线l，使得双曲线C趋向无穷远处时与直线l越来越近，则称直线l为双曲线C的渐近线．
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的探讨
当x>0，y>0时，由－＝1得y＝b＝x，
当x→＋∞时，→1，故猜测在第一象限内，x→＋∞时，双曲线无限地接近于直线y＝x．
3．在第一象限内，如何证明直线l：y＝x是双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线？
如图所示，过点M作MQ⊥l于点Q，过点M作PM⊥x轴交l于点P，
则|PM|＞|QM|．
设M(xM，yM)，
则yM＝，yP＝xM．
所以|PM|＝yP－yM＝(xM－)＝．
当xM→＋∞时，xM＋→0，
即点M到直线l的距离|QM|→0，
故在第一象限内，直线l为双曲线的渐近线．
根据双曲线的对称性，y＝±x是双曲线－＝1的渐近线．
4．共渐近线的双曲线方程的探索
(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程是－＝λ(λ≠0)，当λ>0时，其焦点在x轴上；当λ<0时，其焦点在y轴上．
(2)方程－＝λ(λ≠0)中，令λ＝0得双曲线－＝λ(λ≠0)的渐近线方程是±＝0，即y＝±x．
【典例】　(1)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)如图，已知F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为________．
(1)B　(2)y＝±x　[(1)∵双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝2，
∴＝＝＝，∴此双曲线的渐近线的斜率为±，
∴此双曲线的渐近线的倾斜角是或．故选B．
(2)设F2(c，0)(c＞0)，P(c，y0)，
则－＝1，解得y0＝，∴＝．
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，
则|PF1|＝2|PF2|，①
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，②
由①②得|PF2|＝2a．
∵|PF2|＝，∴2a＝，即b2＝2a2．∴＝．
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x．]
1．与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，2)的双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
D　[设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
把点(－3，2)代入，得－＝λ，
解得λ＝，∴所求的双曲线方程为－＝1．
故选D．]
2．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m＞0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________．
4　[双曲线C：－y2＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，即x＋y＝0，对比两式可得，m＝3．设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2＝4．]
2/3　为什么y＝±x是双曲线＝1的渐近线
1．双曲线的渐近线的定义
若存在一条直线l，使得双曲线C趋向无穷远处时与直线l越来越近，则称直线l为双曲线C的渐近线．
2．双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线的探讨
当x>0，y>0时，由＝1得y＝，
当x→＋∞时，→1，故猜测在第一象限内，x→＋∞时，双曲线无限地接近于直线y＝x．
3．在第一象限内，如何证明直线l：y＝x是双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线？
如图所示，过点M作MQ⊥l于点Q，过点M作PM⊥x轴交l于点P，则|PM|＞|QM|．设M(xM，yM)，则yM＝xM．
所以|PM|＝yP－yM＝＝．
当xM→＋∞时，xM＋→0，
即点M到直线l的距离|QM|→0，
故在第一象限内，直线l为双曲线的渐近线．
根据双曲线的对称性，y＝±x是双曲线＝1的渐近线．
4．共渐近线的双曲线方程的探索
(1)与双曲线＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程是＝λ(λ≠0)，当λ>0时，其焦点在x轴上；当λ<0时，其焦点在y轴上．
(2)方程＝λ(λ≠0)中，令λ＝0得双曲线＝λ(λ≠0)的渐近线方程是±＝0，即y＝．
【典例】　(1)双曲线＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)如图，已知F1，F2为双曲线＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为________．
[尝试解答]___________________________________________________________
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1．与双曲线＝1有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
2．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m＞0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________．
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