资源简介

微专题3　与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题主要涉及斜率、截距、距离、弦长、面积等，常见的有以下几种类型：
(1)借助几何性质求最值
①形如μ＝的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题．
②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题．
③形如u＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解，其中利用基本不等式求最值是比较常用的方法．
求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形结合起来，用平面几何的性质求解；求解过程中可增强运用图形的意识，提升数形结合的能力，体现了直观想象的学科素养．
类型1　与距离有关的最值问题
【例1】　(1)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)
A．1＋　 B．4　 C．1＋3　 D．7
(2)已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－4)2＋(y－2)2＝1，过动点M(a，b)分别作圆C1，圆C2的切线MA，MB(A，B分别为切点)，若|MA|＝的最小值为(　　)
A．　 　B．　 　C．　 　D．
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
类型2　与面积有关的最值问题
【例2】　(1)已知A(0，－2)，B(2，0)，点P为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0上任意一点，则△PAB面积的最大值为(　　)
A．5 B．5－2
C． D．5＋2
(2)过直线4x＋3y＋10＝0上一点P作圆C：x2＋y2－2x＝0的切线，切点为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为(　　)
A． B． C． D．2
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
类型3　利用数学式的几何意义求解最值问题
【例3】　(多选)已知实数x，y满足曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0，则下列选项正确的是(　　)
A．x2＋y2的最大值是4＋2
B．的最大值是2＋
C．
D．x2＋y2＋4y＋5的最大值与最小值之和为18
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2/2微专题强化练(三)　与圆有关的最值问题
一、选择题
1．已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9，则直线l被圆C所截得的弦长的最小值是(　　)
A．　　　B．　　　C．2　　　D．2
2．点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上运动，则|4x－3y＋4|的取值范围是(　　)
A．[0，1]　　　B．[0，9]　　　C．[1，8]　　　D．[1，9]
3．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y＋4＝0，则x2＋y2的最大值为(　　)
A．　　　B．＋1　　　C．5　　　D．6＋2
4．实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则的取值范围是(　　)
A． B．(－∞，0]∪
C． D．(－∞，－1]∪
5．如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)，(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是(　　)
A．2　　　B．1　　　C．2－　　　D．2－
二、填空题
6．直线l：λx－y－λ＋1＝0和圆x2＋y2－4y＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
7．若点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上运动，则x－2y的取值范围为________．
8．已知圆C1：x2＋y2＋4y＋3＝0，圆C2：x2＋y2－6x＋2y＋6＝0，M，N分别为圆C1和圆C2上的动点，P为直线l：y＝x＋1上的动点，则|MP|＋|NP|的最小值为________．
三、解答题
9．已知直线l：(2λ＋1)x＋(λ＋1)y－7λ－4＝0(λ∈R)和以点C为圆心的圆(x－4)2＋y2＝4．
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时，求λ的值以及最短弦长；
(3)设l恒过定点A，点P满足，记以点P，O(坐标原点)，A，C为顶点的四边形为Γ，求四边形Γ面积的最大值，并求取得最大值时点P的坐标．
2/2(共14张PPT)
微专题3　与圆有关的最值问题
第二章　直线和圆的方程
与圆有关的最值问题主要涉及斜率、截距、距离、弦长、面积等，常见的有以下几种类型：
(1)借助几何性质求最值
①形如μ＝的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题．
②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题．
③形如u＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解，其中利用基本不等式求最值是比较常用的方法．
求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形结合起来，用平面几何的性质求解；求解过程中可增强运用图形的意识，提升数形结合的能力，体现了直观想象的学科素养．
【例1】　(1)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)
A．1＋　　B．4　 　 C．1＋3　　 D．7
(2)已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－4)2＋(y－2)2＝1，过动点M(a，b)分别作圆C1，圆C2的切线MA，MB(A，B分别为切点)，若|MA|＝的最小值为(　　)
A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．
类型1　与距离有关的最值问题
√
√
(1)C　(2)A　[(1)将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C．
(2)∵过动点M(a，b)分别作圆C1，圆C2的切线MA，MB(A，B分别为切点)，
若|MA|＝|MB|，∴|MC1|2－1＝|MC2|2－1，即a2＋b2－1＝(a－4)2＋(b－2)2－1，
即2a＋b－5＝0，即动点M(a，b)在直线2x＋y－5＝0上，的几何意义为点M到定点(3，－2)的距离，
则点(3，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离为＝，
故的最小值为．
故选A．]
【例2】　(1)已知A(0，－2)，B(2，0)，点P为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0上任意一点，则△PAB面积的最大值为(　　)
A．5　　 B．5－2　　C． 　 　D．5＋2
(2)过直线4x＋3y＋10＝0上一点P作圆C：x2＋y2－2x＝0的切线，切点为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为(　　)
A．　　B．　　　 C．　　D．2
类型2　与面积有关的最值问题
√
√
(1)D　(2)C　[(1)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心C(1，4)，半径r＝2，直线AB的方程为y＝x－2，
于是点C到直线AB：x－y－2＝0的距离d＝＝，而点P在圆C上，
因此点P到直线AB距离的最大值为＋2，
又|AB|＝＝2，
所以△PAB面积的最大值为S＝×2×＝5＋2．
故选D．
(2)如图，由切线性质可知，PA⊥AC，PB⊥BC，
△PAC≌△PBC，
所以S四边形PACB＝··，圆的标准方程
为(x－1)2＋y2＝1，圆心为C(1，0)，半径为r＝1，
则点C到直线的距离d＝＝＝＝，要使S四边形PACB＝min＝d，故(S四边形PACB)min＝·2··1＝．故选C．]
【例3】　(多选)已知实数x，y满足曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0，则下列选项正确的是(　　)
A．x2＋y2的最大值是4＋2
B．的最大值是2＋
C．－
D．x2＋y2＋4y＋5的最大值与最小值之和为18
类型3　利用数学式的几何意义求解最值问题
√
√
√
ABD　[曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0可化为(x－1)2＋y2＝3，它表示圆心(1，0)，半径为的圆．对选项A：x2＋y2表示圆C上的点到定点O(0，0)的距离的平方，
故它的最大值为[＋]2＝(＋1)2＝4＋2，A正确；
对选项B：表示圆上的点与点P(－1，－1)的连线的斜率k，
则圆心(1，0)到直线y＋1＝k(x＋1)的距离d＝≤，
可得2－≤k≤2＋，B正确；
对选项C：|x－y＋3|表示圆上任意一点到直线x－y＋3＝0的距离的倍，圆心到直线的距离d＝＝2，
所以其最小值为(2－)＝4－，故C错误；
对于选项D：x2＋y2＋4y＋5＝x2＋(y＋2)2＋1，它表示圆上的点到点P(0，－2)的距离的平方再加1，所以x2＋y2＋4y＋5的最值，就是圆上的点与P(0，－2)距离的平方的最值再加1，结合图象(图略)易知，最大值为2＋1＝(＋)2＋1＝9＋2，最小值为2＋1＝(－)2＋1＝9－2．所以x2＋y2＋4y＋5的最大值与最小值之和为18，故D正确．
故选ABD．]
微专题强化练(三)
点击页面进入…
与圆有关的最值问题
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS微专题3　与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题主要涉及斜率、截距、距离、弦长、面积等，常见的有以下几种类型：
(1)借助几何性质求最值
①形如μ＝的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题．
②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题．
③形如u＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解，其中利用基本不等式求最值是比较常用的方法．
求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形结合起来，用平面几何的性质求解；求解过程中可增强运用图形的意识，提升数形结合的能力，体现了直观想象的学科素养．
类型1　与距离有关的最值问题
【例1】　(1)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)
A．1＋　　B．4　 　C．1＋3　　D．7
(2)已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－4)2＋(y－2)2＝1，过动点M(a，b)分别作圆C1，圆C2的切线MA，MB(A，B分别为切点)，若|MA|＝的最小值为(　　)
A． B． C． D．
(1)C　(2)A　[(1)将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C．
(2)∵过动点M(a，b)分别作圆C1，圆C2的切线MA，MB(A，B分别为切点)，
若|MA|＝|MB|，∴|MC1|2－1＝|MC2|2－1，即a2＋b2－1＝(a－4)2＋(b－2)2－1，
即2a＋b－5＝0，即动点M(a，b)在直线2x＋y－5＝0上，的几何意义为点M到定点(3，－2)的距离，
则点(3，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离为＝，
故的最小值为．
故选A．]
类型2　与面积有关的最值问题
【例2】　(1)已知A(0，－2)，B(2，0)，点P为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0上任意一点，则△PAB面积的最大值为(　　)
A．5　　 B．5－2　　C． 　　D．5＋2
(2)过直线4x＋3y＋10＝0上一点P作圆C：x2＋y2－2x＝0的切线，切点为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为(　　)
A．　　B．　　　C．　　D．2
(1)D　(2)C　[(1)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心C(1，4)，半径r＝2，直线AB的方程为y＝x－2，
于是点C到直线AB：x－y－2＝0的距离d＝＝，而点P在圆C上，
因此点P到直线AB距离的最大值为＋2，
又|AB|＝＝2，
所以△PAB面积的最大值为S＝×2×＝5＋2．
故选D．
(2)如图，由切线性质可知，PA⊥AC，PB⊥BC，△PAC≌△PBC，
所以S四边形PACB＝··，圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为C(1，0)，半径为r＝1，则点C到直线的距离d＝＝＝＝，要使S四边形PACB＝min＝d，故(S四边形PACB)min＝·2··1＝．故选C．]
类型3　利用数学式的几何意义求解最值问题
【例3】　(多选)已知实数x，y满足曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0，则下列选项正确的是(　　)
A．x2＋y2的最大值是4＋2
B．的最大值是2＋
C．－
D．x2＋y2＋4y＋5的最大值与最小值之和为18
ABD　[曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0可化为(x－1)2＋y2＝3，它表示圆心(1，0)，半径为的圆．对选项A：x2＋y2表示圆C上的点到定点O(0，0)的距离的平方，
故它的最大值为[＋]2＝(＋1)2＝4＋2，A正确；
对选项B：表示圆上的点与点P(－1，－1)的连线的斜率k，
则圆心(1，0)到直线y＋1＝k(x＋1)的距离d＝≤，
可得2－≤k≤2＋，B正确；
对选项C：|x－y＋3|表示圆上任意一点到直线x－y＋3＝0的距离的倍，圆心到直线的距离d＝＝2，
所以其最小值为(2－)＝4－，故C错误；
对于选项D：x2＋y2＋4y＋5＝x2＋(y＋2)2＋1，它表示圆上的点到点P(0，－2)的距离的平方再加1，所以x2＋y2＋4y＋5的最值，就是圆上的点与P(0，－2)距离的平方的最值再加1，结合图象(图略)易知，最大值为2＋1＝(＋)2＋1＝9＋2，最小值为2＋1＝(－)2＋1＝9－2．所以x2＋y2＋4y＋5的最大值与最小值之和为18，故D正确．
故选ABD．]
微专题强化练(三)　与圆有关的最值问题
一、选择题
1．已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9，则直线l被圆C所截得的弦长的最小值是(　　)
A． B．
C．2 D．2
C　[∵直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0可化为m(x－y＋1)＋(3x－2y)＝0，
令可得
∴直线l过定点P(2，3)，
又圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心C为(3，4)，半径r＝3，
∴直线l被圆C所截得的弦长的最小值是2＝2＝2．故选C．]
2．点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上运动，则|4x－3y＋4|的取值范围是(　　)
A．[0，1] B．[0，9]
C．[1，8] D．[1，9]
B　[令|4x－3y＋4|＝z，则z≥0，可得该直线方程为：
l1：4x－3y＋4－z＝0或l2：－4x＋3y－4－z＝0，
设(0，0)到直线l1和l2的距离为d1和d2，
得d1＝≤1或d2＝≤1，解得－1≤z≤9或－9≤z≤1，
又因为z≥0，所以z∈[0，9]．故选B．]
3．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y＋4＝0，则x2＋y2的最大值为(　　)
A． B．＋1
C．5 D．6＋2
D　[根据题意，方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝1，表示以(2，1)为圆心，半径为1的圆，设t＝，其几何意义为圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上任意一点，与点(0，0)之间的距离，
故t≤＋1＝＋1，变形可得t2≤(＋1)2＝6＋2，故选D．]
4．实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则的取值范围是(　　)
A． B．(－∞，0]∪
C． D．(－∞，－1]∪
C　[由x2＋y2＋2x＝0，可得(x＋1)2＋y2＝1，
又＝＝－1，令＝t，化简得tx－y＋1－t＝0，
则tx－y＋1－t＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1有交点，
即圆心(－1，0)到直线的距离小于等于半径，
即≤1，解得0≤t≤，故－1≤－1≤，即的取值范围是．故选C．]
5．如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)，(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是(　　)
A．2 B．1 C．2－ D．2－
C　[如图所示，当AD与⊙C相切时，线段BE最短，此时△ABE的面积最小，则连接CD．
∵A(2，0)，C(－1，0)，⊙C半径为1，∴AO＝2，AC＝2＋1＝3，CD＝1，
在Rt△ACD 中，AD＝＝＝2，∵CD⊥AD，∴∠D＝90°，
∴∠D＝∠AOE，
在△AOE 与△ADC 中，
∴△AOE∽△ADC，＝，
即＝，解得EO＝，
∵点B(0，2)，∴OB＝2，∴BE＝OB－OE＝2－，
∴△ABE面积的最小值为×BE×AO＝×2＝2－．故选C．]
二、填空题
6．直线l：λx－y－λ＋1＝0和圆x2＋y2－4y＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
2　[l：λ(x－1)－y＋1＝0，令x＝1，则y＝1，所以直线l过定点(1，1)，
当x＝1，y＝1得12＋12－4×1＝－2＜0，则(1，1)在圆内，则直线l与圆必有两交点，
因为圆心(0，2)到直线l的距离d≤＝，
所以|AB|＝2≥2．]
7．若点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上运动，则x－2y的取值范围为________．
[－]　[令c＝x－2y，则x－2y－c＝0与圆x2＋y2＝1有公共点，
可得≤1，即－≤c≤，所以x－2y的取值范围为[－，]．]
8．已知圆C1：x2＋y2＋4y＋3＝0，圆C2：x2＋y2－6x＋2y＋6＝0，M，N分别为圆C1和圆C2上的动点，P为直线l：y＝x＋1上的动点，则|MP|＋|NP|的最小值为________．
2－3　[由题意圆心坐标C1(0，－2)，半径为1，圆心坐标C2(3，－1)，半径为2，圆C1(0，－2)关于y＝x＋1对称的点的坐标为圆C3，且C3(－3，1)，半径为1，由对称性知问题转化为P到D，N的距离之和的最小值，
由图象知当C3，C2，P三点共线时，|MP|＋|NP|的距离最小，此时最小值为|C2C3|－1－2＝－3＝2－3．]
三、解答题
9．已知直线l：(2λ＋1)x＋(λ＋1)y－7λ－4＝0(λ∈R)和以点C为圆心的圆(x－4)2＋y2＝4．
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时，求λ的值以及最短弦长；
(3)设l恒过定点A，点P满足＝，记以点P，O(坐标原点)，A，C为顶点的四边形为Γ，求四边形Γ面积的最大值，并求取得最大值时点P的坐标．
[解]　(1)证明：将直线l的方程化为λ(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，
由可得故直线l恒过定点A(3，1)．
(2)当AC⊥l时，圆心C(4，0)到直线l的距离达到最大值，
此时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时kAC＝＝－1，
所以直线l的斜率为－＝1，解得λ＝－＝＝，
此时，直线l被圆C截得的弦长最小，且其最小值为2＝2．
(3)由(1)可知，点A(3，1)，设点P(x，y)，
则＝＝，整理可得(x＋3)2＋(y＋1)2＝20，由(x＋3)2＋(y＋1)2＝20，可得(y＋1)2≤20，解得－1－2≤y≤2－1，又因为点C(4，0)，由图可知，
当点P的坐标为(－3，－2－1)时，点P到x轴的距离最大，
此时，△OPC的面积最大，此时，四边形Γ的面积取最大值，
即四边形Γ的面积S＝S△POC＋S△OAC＝··≤×4×(2＋1＋1)＝4＋4，故当点P的坐标为(－3，－2－1) 时，四边形Γ的面积取最大值，且最大值为4＋4．
7/8

展开更多......

收起↑