资源简介

微专题2　对称问题
类型1　几类常见的对称问题
　中心对称问题
1．点关于点对称
点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P′(x′，y′)可利用中点坐标公式求得，
由得
2．直线关于点对称
直线Ax＋By＋C＝0关于点P(x0，y0)的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即为所求的直线方程．
【例1】　(1)直线2x＋3y－6＝0关于点(1，1)对称的直线方程为(　　)
A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y－4＝0
(2)点(1，－2)关于点(2，3)的对称点为________．
(1)D　(2)(3，8)　[(1)在所求直线上取点(x，y)，则关于点(1，1)对称的点的坐标为(2－x，2－y)，
代入直线2x＋3y－6＝0，可得2(2－x)＋3(2－y)－6＝0，整理得2x＋3y－4＝0．
故选D．
(2)设对称点为(x0，y0)，由中点坐标公式得
解得即对称点为(3，8)．]
　轴对称问题
1．点关于直线对称
设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在已知直线上且直线PP′与已知直线垂直．
即解此方程组可得x′，y′，即得点P′的坐标．
2．直线关于直线对称
(1)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程．
(2)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解．
【例2】　已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程．
[解]　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即
解得
所以点P′的坐标为(－2，7)．
(2)解方程组
得
则点在所求直线上．
在直线y＝x－2上任取一点M(2，0)，
设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，
则
解得
点M′也在所求直线上，
由两点式得直线方程为
＝，
化简得7x＋y＋22＝0即为所求直线方程．
类型2　光的反射问题
根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解．
【例3】　已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A．2　　B．6　　C．3　　D．2
A　[如图所示，分别作出点P关于直线AB的对称点P′，点P关于y轴的对称点P″，
则点P′，Q，M，P″在同一条直线上，线段P′P″即为所求，
易知：P″(－2，0)，直线AB方程为x＋y＝4，
设点P′(a，b)，
则
解得a＝4，b＝2．∴点P′(4，2)．
∴光线所经过的路程是|P′P″|＝＝2，故选A．]
类型3　利用对称解决有关最值问题
由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．
【例4】　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q，使其满足以下条件．
(1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大；
(2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小．
[解]　(1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，则kBB′·kl＝－1，即×1＝－1，
所以a＋b－4＝0，①
因为BB′的中点在直线l上，
所以－－1＝0，即a－b－6＝0．②
由①②得a＝5，b＝－1，
所以点B′的坐标为(5，－1)．
于是AB′所在直线的方程为＝，即2x＋y－9＝0．
易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大．
所以联立
解得x＝，y＝，
即l与AB′的交点坐标为．
故点P的坐标为．
(2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1，2)，所以AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0．
易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小．
所以联立
解得
即AC′与l的交点坐标为．
故点Q的坐标为．
微专题强化练(二)　对称问题
一、选择题
1．已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)
A．4 B． C． D．
D　[由解得即P(4，1)．
所以|OP|＝＝．故选D．]
2．直线x－2y－1＝0关于直线y－x＝0对称的直线方程是(　　)
A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．x＋2y＋1＝0
A　[在直线x－2y－1＝0上任取一点P(a，b)，设点P关于直线y－x＝0的对称点为Q(x，y)，则解得即P(y，x)，
因为点P(y，x)在直线x－2y－1＝0上，所以y－2x－1＝0，即2x－y＋1＝0，
所以所求直线方程为2x－y＋1＝0．故选A．]
3．(多选)一光线过点(2，4)，经倾斜角为135°的且过(0，1)的直线l反射后过点(5，0)，则反射后的光线还经过下列哪些点(　　)
A． B．
C． D．
ABC　[由题意，直线l的方程为y－1＝－1(x－0)，即x＋y－1＝0．
设点A(2，4)关于直线l的对称点为B(m，n)，
则有
解得可得B(－3，－1)．
根据光线经直线l反射后过点M(5，0)，反射光线所在直线BM的斜率为＝，故反射光线的方程为y－0＝(x－5)，即x－8y－5＝0．
所以当x＝1时，y＝－，故反射光线所在的直线经过点，故A正确；
当x＝2时，y＝－，故反射光线所在的直线经过点，故B正确；
当x＝3时，y＝－，故反射光线所在的直线经过点，故C正确；
当x＝4时，y＝－，故反射光线所在的直线经过点，故D错误．
故选ABC．]
4．光线通过点A(2，3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(2，2)，则反射光线所在直线方程为(　　)
A．6x－5y－2＝0 B．6x＋5y－22＝0
C．5x－6y＋2＝0 D．5x＋6y－22＝0
C　[设点A(2，3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则
解得x0＝－4，y0＝－3，故A′(－4，－3)．由于反射光线所在直线经过点A′(－4，－3)和B(2，2)，所以反射光线所在直线的方程为y－2＝(x－2)，
即5x－6y＋2＝0．
故选C．]
5．已知(m，n)为直线x＋y－1＝0上的一点，则＋的最小值为(　　)
A． B．2 C．4 D．3
A　[设P(m，n)为直线x＋y－1＝0上的一点，则＋为点P(m，n)到原点O和到点A(－2，0)的距离之和，
即|PO|＋|PA|．
设O(0，0)关于直线x＋y－1＝0对称的点为B(a，b)，
则
得即B(1，1)．
易得|PO|＝|PB|，当A，P，B三点共线时，|PO|＋|PA|取到最小值，且最小值为|PO|＋|PA|＝|AB|＝．
故选A．]
二、填空题
6．点A关于直线x＋y＋＝0的对称点为________．
　[设点A关于直线x＋y＋＝0的对称点为B(m，n)，
则
解得
可得对称点B的坐标为．]
7．一条光线从点P(6，0)射出，经直线y轴反射后过点Q(2，8)，则反射光线所在的直线方程为________．
y＝x＋6　[因为一条光线从点P(6，0)射出，经直线y轴反射后过点Q(2，8)，
又P(6，0)关于y轴的对称点为(－6，0)，故反射光线的斜率为＝1．
故反射光线所在的直线方程为y＝x＋6．]
8．诗人李颀的诗《古从军行》中隐含着一个有趣的数学问题－－“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(－1，0)，若将军从山脚下的点A(1，0)处出发，河岸线所在直线方程为x＋2y＝4，则“将军饮马”的最短总路程为________．
4　[如图，设点A(1，0)关于直线x＋2y＝4对称的点为A′(a，b)，
则
解得
则“将军饮马”的最短总路程为
|A′B|＝＝4．]
三、解答题
9．已知光线经过已知直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N(1，0)后被x轴反射．
(1)求与l1距离为的直线方程；
(2)求反射光线所在的直线方程．
[解]　(1)由题可设所求直线方程为3x－y＋m＝0，
根据平行直线间的距离公式得
＝，解得m＝－3或17，
所以与l1距离为的直线方程为3x－y－3＝0或3x－y＋17＝0．
(2)由
可得
即M(－2，1)，又N(1，0)，
所以kMN＝＝－，所以反射光线所在的直线l3的斜率为，
故反射光线所在的直线l3的方程为y＝(x－1)，即x－3y－1＝0．
9/9(共18张PPT)
微专题2　对称问题
第二章　直线和圆的方程
类型1　几类常见的对称问题
考向1　中心对称问题
1．点关于点对称
点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P′(x′，y′)可利用中点坐标公式求得，
由得
类型1　几类常见的对称问题
2．直线关于点对称
直线Ax＋By＋C＝0关于点P(x0，y0)的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即为所求的直线方程．
【例1】　(1)直线2x＋3y－6＝0关于点(1，1)对称的直线方程为(　　)
A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y－4＝0
(2)点(1，－2)关于点(2，3)的对称点为________．
√
(3，8)
(1)D　(2)(3，8)　[(1)在所求直线上取点(x，y)，则关于点(1，1)对称的点的坐标为(2－x，2－y)，
代入直线2x＋3y－6＝0，可得2(2－x)＋3(2－y)－6＝0，整理得2x＋3y－4＝0．
故选D．
(2)设对称点为(x0，y0)，由中点坐标公式得
解得即对称点为(3，8)．]
考向2　轴对称问题
1．点关于直线对称
设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在已知直线上且直线PP′与已知直线垂直．
即解此方程组可得x′，y′，即得点P′的坐标．
2．直线关于直线对称
(1)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程．
(2)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解．
【例2】　已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程．
[解]　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即解得
所以点P′的坐标为(－2，7)．
(2)解方程组得
则点在所求直线上．
在直线y＝x－2上任取一点M(2，0)，
设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，
则解得
点M′也在所求直线上，
由两点式得直线方程为
＝，
化简得7x＋y＋22＝0即为所求直线方程．
根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解．
类型2　光的反射问题
【例3】　已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A．2　　B．6　　C．3　　D．2
√
A　[如图所示，分别作出点P关于直线AB的对称点P′，点P关于y轴的对称点P″，则点P′，Q，M，P″在同一条直线上，线段P′P″即为所求，易知：P″(－2，0)，直线AB方程为x＋y＝4，
设点P′(a，b)，
则
解得a＝4，b＝2．∴点P′(4，2)．
∴光线所经过的路程是|P′P″|＝＝2，故选A．]
由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．
类型3　利用对称解决有关最值问题
【例4】　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q，使其满足以下条件．
(1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大；
(2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小．
[解]　(1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，则kBB′·kl＝－1，即×1＝－1，
所以a＋b－4＝0，①
因为BB′的中点在直线l上，
所以－－1＝0，即a－b－6＝0．②
由①②得a＝5，b＝－1，
所以点B′的坐标为(5，－1)．
于是AB′所在直线的方程为＝，即2x＋y－9＝0．
易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大．
所以联立
解得x＝，y＝，
即l与AB′的交点坐标为．
故点P的坐标为．
(2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1，2)，所以AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0．
易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小．
所以联立解得
即AC′与l的交点坐标为．
故点Q的坐标为．
微专题强化练(二)
点击页面进入…
对称问题
（WORD版）
巩固课堂所学 · 激发学习思维
夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
S
THANKS微专题强化练(二)　对称问题
一、选择题
1．已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)
A．4　　　B．　　　C．　　　D．
2．直线x－2y－1＝0关于直线y－x＝0对称的直线方程是(　　)
A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．x＋2y＋1＝0
3．(多选)一光线过点(2，4)，经倾斜角为135°的且过(0，1)的直线l反射后过点(5，0)，则反射后的光线还经过下列哪些点(　　)
A． B．
C． D．
4．光线通过点A(2，3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(2，2)，则反射光线所在直线方程为(　　)
A．6x－5y－2＝0 B．6x＋5y－22＝0
C．5x－6y＋2＝0 D．5x＋6y－22＝0
5．已知(m，n)为直线x＋y－1＝0上的一点，则的最小值为(　　)
A．　　　B．2　　　C．4　　　D．3
二、填空题
6．点A关于直线x＋y＋＝0的对称点为________．
7．一条光线从点P(6，0)射出，经直线y轴反射后过点Q(2，8)，则反射光线所在的直线方程为________．
8．诗人李颀的诗《古从军行》中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(－1，0)，若将军从山脚下的点A(1，0)处出发，河岸线所在直线方程为x＋2y＝4，则“将军饮马”的最短总路程为________．
三、解答题
9．已知光线经过已知直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N(1，0)后被x轴反射．
(1)求与l1距离为的直线方程；
(2)求反射光线所在的直线方程．
2/2微专题2　对称问题
类型1　几类常见的对称问题
　中心对称问题
1．点关于点对称
点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P′(x′，y′)可利用中点坐标公式求得，
由得
2．直线关于点对称
直线Ax＋By＋C＝0关于点P(x0，y0)的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即为所求的直线方程．
【例1】　(1)直线2x＋3y－6＝0关于点(1，1)对称的直线方程为(　　)
A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y－4＝0
(2)点(1，－2)关于点(2，3)的对称点为________．
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　轴对称问题
1．点关于直线对称
设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在已知直线上且直线PP′与已知直线垂直．
即解此方程组可得x′，y′，即得点P′的坐标．
2．直线关于直线对称
(1)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程．
(2)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解．
【例2】　已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程．
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
类型2　光的反射问题
根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解．
【例3】　已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A．2　 　B．6　 　C．3　 　D．2
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
类型3　利用对称解决有关最值问题
由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．
【例4】　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q，使其满足以下条件．
(1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大；
(2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小．
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
3/3

展开更多......

收起↑