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微专题强化练(六)　破解圆锥曲线的离心率问题
一、选择题
1．已知圆锥曲线＝1(0＜θ＜π)的离心率为，则θ＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
2．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为(　　)
A．　　　B．2　　　C．　　　D．
3．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上且位于第一象限，满足·＝0，∠AF1F2的平分线与AF2相交于点B，若，则椭圆的离心率为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
4．若过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交y轴于点(0，3c)(c为双曲线的半焦距)，则此双曲线的离心率是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
5．如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
二、填空题
6．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1(－c，0)，坐标原点为O，若在双曲线右支上存在一点P满足|PF1|＝＝c，则双曲线C的离心率为________．
7．已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．
8．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点P(3c，0)作直线l交椭圆C于M，N两点，若＝4，则椭圆C的离心率为________．
三、解答题
9．如图，已知在梯形ABCD中，|AB|＝2所成的比为λ，双曲线经过C，D，E三点，且以A，B为焦点．当时，求双曲线离心率e的取值范围．
1/2微专题6　破解圆锥曲线的离心率问题
离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，求离心率的方法主要有：
(1)通过已知条件列出方程组，解出a，c的值．
(2)由a，b的关系求离心率e＝(椭圆)或e＝(双曲线)．
(3)由已知条件得关于a，c的齐次式，再转化为关于e的一元二次方程．
(4)通过特殊值或特殊位置求离心率．
(5)在焦点三角形内求离心率．
类型1　定义法
【例1】　(1)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若∠AFO＝2∠AOF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为(　　)
A．　 　B．　 　C．2　 　D．或2
(2)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与圆C2：x2＋y2＝，过椭圆C1的顶点作圆C2的两条切线，若两切线互相垂直，则椭圆C1的离心率是(　　)
A． B． C． D．
(1)B　(2)B　[(1)在Rt△AFO中，因为∠AFO＝2∠AOF，
所以∠AOF＝30°，则tan 30°＝＝，
所以e＝＝＝＝，故选B．
(2)由题意顶点显然不在短轴端点，因为两切线互相垂直，即∠APB＝90°，
所以∠APO＝45°，所以sin ∠APO＝＝＝，
所以b＝a，所以c＝＝a，所以e＝＝．故选B．]
类型2　几何法
【例2】　已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C的一个交点P，设△PF1F2的面积为S，若(|PF1|＋|PF2|)2＝12S，则双曲线C的离心率为(　　)
A．2 B． C． D．2
C　[设|F1F2|＝2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，则|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2＝4c2，
又根据双曲线的定义得：||F1P|－|F2P||＝2a，
∴|F1P|2＋|F2P|2－2|F1P|×|F2P|＝4a2，
∴|F1P|×|F2P|＝2(c2－a2)，
又△PF1F2的面积等于S，即S＝＝c2－a2，
又(|PF1|＋|PF2|)2＝(|PF1|－|PF2|)2＋4|PF1|·|PF2|＝4a2＋8(c2－a2)＝8c2－4a2，
所以若(|PF1|＋|PF2|)2＝12S，
则8c2－4a2＝12(c2－a2)，整理得，c2＝2a2，
则双曲线的离心率e＝＝，故选C．]
类型3　齐次式法
【例3】　已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，MF2与y轴交于点P，以MN为直径的圆经过点P，则C的离心率为(　　)
A． B．2 C． D．
C　[由已知，易知：M，N，P，
所以·＝·＝c2－＝0，
化简得：3b4－4a2c2＝3(c2－a2)2－4a2c2＝3c4－10a2c2＋3a4＝0，
即3e4－10e2＋3＝0，(3e2－1)(e2－3)＝0，
因为e＞1，故e＝，故选C．]
类型4　求离心率的取值范围
【例4】　已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，则离心率e的取值范围为(　　)
A．[，＋∞) B．[，＋∞)
C．(1，] D．(1，]
D　[依题意得，点(a，0)到渐近线bx＋ay＝0的距离不大于a，
∴≤a，
即≤a，
∴≤，
解得e2≤5．
又e＞1，∴1＜e≤．]
微专题强化练(六)　破解圆锥曲线的离心率问题
一、选择题
1．已知圆锥曲线＋＝1(0＜θ＜π)的离心率为，则θ＝(　　)
A． B． C． D．
D　[∵0＜θ＜π，∴－1＜cos θ＜1，又＋＝1(0＜θ＜π)是圆锥曲线，
且离心率为，则圆锥曲线为双曲线，可得cos θ＜0时，曲线方程化为－＝1，
其中a＝，b＝，c＝＝，
则e＝＝＝，可得cos θ＝－，则θ＝．故选D．]
2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为(　　)
A． B．2 C． D．
B　[双曲线渐近线被圆所截得的弦长为2，圆的半径为2，设圆心到渐近线的距离为d，
由垂径定理可得d＝＝，不妨设渐近线方程为kx－y＝0(其中k2＝)，
又圆(x－2)2＋y2＝4的圆心坐标为(2，0)，由点到直线的距离公式有d＝．
则＝，解得k2＝3，又k2＝，
∴双曲线的离心率为e＝＝＝＝＝2．故选B．]
3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上且位于第一象限，满足AF1·AF2＝0，∠AF1F2的平分线与AF2相交于点B，若＝AF2，则椭圆的离心率为(　　)
A． B． C． D．
D　[设|AF1|＝n，|AF2|＝8m，由＝＝3m，|BF2|＝5m，
因为AF1·AF2＝0，所以∠F1AF2＝，
在Rt△AF1F2中，由勾股定理，得(8m)2＋n2＝(2c)2，①
由椭圆的定义得8m＋n＝2a，②
因为F1B平分∠AF1F2，所以＝，即＝＝，③
联立①②③并化简得7c2＋30ac－25a2＝0，
则7e2＋30e－25＝0，得e＝．故选D．]
4．若过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交y轴于点(0，3c)(c为双曲线的半焦距)，则此双曲线的离心率是(　　)
A． B． C． D．
C　[不妨设双曲线的一个焦点为F(c，0)，渐近线方程为y＝x，
则过点F(c，0)且与直线y＝x垂直的直线方程为y＝－(x－c)，
令x＝0，得y＝，则＝3c，∴＝，
∴双曲线的离心率是＝＝＝．故选C．]
5．如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为(　　)
A． B． C． D．
C　[如图所示，BF＝1，BO＝，sin ∠BOF＝，则cos ∠DOM＝＝＝，
∴OD＝，即a＝，而2b＝2，即b＝1，所以c＝＝＝，
所以离心率e＝＝，故选C．]
二、填空题
6．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1(－c，0)，坐标原点为O，若在双曲线右支上存在一点P满足|PF1|＝＝c，则双曲线C的离心率为________．
＝|F1O|＝|F2O|＝c，所以∠PF1O＝∠OPF1，∠PF2O＝∠OPF2，
此时∠OPF1＋∠OPF2＝∠F1PF2＝，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即3c2＋(c－2a)2＝4c2，整理得2c2－4ac＋4a2＝0，①
又e＝且e＞1，②
联立①②，解得e＝＋1．]
7．已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且PF1·PF2＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．
　[设P(x，y)，
则PF1·PF2＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，
将y2＝b2－x2代入上式，
解得x2＝＝．
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝∈．]
8．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点P(3c，0)作直线l交椭圆C于M，N两点，若＝4|F2N|，则椭圆C的离心率为________．
　＝2|MN|，|PF1|＝2|PF2|，
所以F2N∥F1M，且|F2N|＝，
延长MF1交椭圆于点Q，
则由对称性可设|F1Q|＝|F2N|＝t，|F1M|＝2t，|F2M|＝4t，|F2Q|＝2a－t，
因为|F1M|＋|F2M|＝2a，所以t＝，
则|QM|＝a，|F2M|＝＝，
得|QM|2＋|F2M|2＝|F2Q|2，所以∠QMF2＝90°，
在△F1MF2中，由|F1M|2＋|F2M|2＝|F2F1|2，
得＋＝(2c)2，化简得5a2＝9c2，
所以a＝3c，所以离心率e＝＝．]
三、解答题
9．如图，已知在梯形ABCD中，|AB|＝2所成的比为λ，双曲线经过C，D，E三点，且以A，B为焦点．当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．
[解]　由题意可知CD⊥y轴．
∵双曲线经过C，D，且以A，B为焦点，由双曲线的对称性知C，D关于y轴对称．
依题意，记A(－c，0)，C，E(x0，y0)，其中c＝为双曲线的半焦距，h是梯形的高．
由定比分点坐标公式得x0＝，y0＝．
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则离心率e＝．
∵点C，E在双曲线上，
∴将点C的坐标代入双曲线方程得－＝1，①
将点E的坐标代入双曲线方程得
－＝1．②
再将e＝代入①得－＝1，∴＝－1，③
将e＝代入②，得－＝1．④
将③式代入④式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，
∴λ＝1－．
由题设≤λ≤，
得≤1－≤，
解得≤e≤．
∴双曲线离心率的取值范围是[，]．
6/7(共12张PPT)
微专题6　破解圆锥曲线的离心率问题
第三章　圆锥曲线的方程
　　离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，求离心率的方法主要有：
(1)通过已知条件列出方程组，解出a，c的值．
(2)由a，b的关系求离心率e＝(椭圆)或e＝(双曲线)．
(3)由已知条件得关于a，c的齐次式，再转化为关于e的一元二次方程．
(4)通过特殊值或特殊位置求离心率．
(5)在焦点三角形内求离心率．
【例1】　(1)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若∠AFO＝2∠AOF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为(　　)
A．　 　 B．　 　 C．2　 　 D．或2
(2)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与圆C2：x2＋y2＝，过椭圆C1的顶点作圆C2的两条切线，若两切线互相垂直，则椭圆C1的离心率是(　　)
A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．
类型1　定义法
√
√
(1)B　(2)B　[(1)在Rt△AFO中，因为∠AFO＝2∠AOF，
所以∠AOF＝30°，则tan 30°＝＝，
所以e＝＝＝＝，故选B．
(2)由题意顶点显然不在短轴端点，因为两切线互相垂直，即∠APB＝90°，
所以∠APO＝45°，
所以sin ∠APO＝＝＝，
所以b＝a，所以c＝＝a，
所以e＝＝．故选B．]
【例2】　已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C的一个交点P，设△PF1F2的面积为S，若(|PF1|＋|PF2|)2＝12S，则双曲线C的离心率为(　　)
A．2 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．2
类型2　几何法
√
C　[设|F1F2|＝2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，则|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2＝4c2，又根据双曲线的定义得：||F1P|－|F2P||＝2a，
∴|F1P|2＋|F2P|2－2|F1P|×|F2P|＝4a2，
∴|F1P|×|F2P|＝2(c2－a2)，
又△PF1F2的面积等于S，即S＝ |F1P|×|F2P|＝c2－a2，
又(|PF1|＋|PF2|)2＝(|PF1|－|PF2|)2＋4|PF1|·|PF2|＝4a2＋8(c2－a2)＝8c2－4a2，所以若(|PF1|＋|PF2|)2＝12S，
则8c2－4a2＝12(c2－a2)，整理得，c2＝2a2，
则双曲线的离心率e＝＝，故选C．]
【例3】　已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，MF2与y轴交于点P，以MN为直径的圆经过点P，则C的离心率为(　　)
A． 　　　　B．2 　　　　C． 　　　　D．
类型3　齐次式法
√
C　[由已知，易知：M，N，P，
所以·＝·＝c2－＝0，
化简得：3b4－4a2c2＝3(c2－a2)2－4a2c2＝3c4－10a2c2＋3a4＝0，
即3e4－10e2＋3＝0，(3e2－1)(e2－3)＝0，
因为e＞1，故e＝，故选C．]
【例4】　已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，则离心率e的取值范围为(　　)
A．[，＋∞) B．[，＋∞) C．(1，] D．(1，]
类型4　求离心率的取值范围
D　[依题意得，点(a，0)到渐近线bx＋ay＝0的距离不大于a，
∴≤a，即≤a，∴≤，解得e2≤5．
又e＞1，∴1＜e≤．]
√
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破解圆锥曲线的离心率问题
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夯实基础知识 · 熟悉命题方式
自我检测提能 · 及时矫正不足
本节课掌握了哪些考点？
本节课还有什么疑问点？
课后训练
学习反思
课时小结
THANKS微专题6　破解圆锥曲线的离心率问题
离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，求离心率的方法主要有：
(1)通过已知条件列出方程组，解出a，c的值．
(2)由a，b的关系求离心率e＝(椭圆)或e＝(双曲线)．
(3)由已知条件得关于a，c的齐次式，再转化为关于e的一元二次方程．
(4)通过特殊值或特殊位置求离心率．
(5)在焦点三角形内求离心率．
类型1　定义法
【例1】　(1)过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若∠AFO＝2∠AOF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为(　　)
A．　　B．　　C．2　　D．或2
(2)已知椭圆C1：＝1(a＞b＞0)与圆C2：x2＋y2＝，过椭圆C1的顶点作圆C2的两条切线，若两切线互相垂直，则椭圆C1的离心率是(　　)
A． B． C． D．
[尝试解答]___________________________________________________________
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类型2　几何法
【例2】　已知F1，F2分别是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C的一个交点P，设△PF1F2的面积为S，若(|PF1|＋|PF2|)2＝12S，则双曲线C的离心率为(　　)
A．2　　　B．　　　C．　　　D．2
[尝试解答]___________________________________________________________
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类型3　齐次式法
【例3】　已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，MF2与y轴交于点P，以MN为直径的圆经过点P，则C的离心率为(　　)
A． B．2 C． D．
[尝试解答]___________________________________________________________
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类型4　求离心率的取值范围
【例4】　已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，则离心率e的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
[尝试解答]___________________________________________________________
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